Движение трех тел

Б8. Плоская задача трех тел. Обратимся к результатам п. 47, предполагая, что движение трех тел, Яд, Р Р , происходит в плоскости т). Полагая равными нулю третьи координаты и соответствующие проекции количества движения, мы будем иметь для характеристической функции на основании формулы (96) выражение [c.329]

Новую эпоху в небесной механике вообще и решении задачи трех тел в частности открыл А. Пуанкаре Он показал, что бесконечные тригонометрические ряды, определяющие движение трех тел, будучи расходящимися, могут быть практически использованы для вычисления положений небесных светил только для ограниченных промежутков времени и с тем большей точностью, чем меньше эти промежутки. Пуанкаре создал теорию периодических траекторий, характеризующихся тем, что абсолютная или относитель- [c.107]

Различают следующие случаи движения трех тел при [c.196]

Аналогично можно классифицировать движение трех тел в прошлом, то есть при t оо. Если рассматривать движение трех тел во времени от I = —оо до = + оо, то мыслимы, в частности, такие возможности [c.197]

Движение трех тел осциллирующее 197 [c.336]

Лагранжевы движения трех тел 184 [c.337]

Пример 2. Задача о трех телах. Эта задача состоит в определении движения трех тел, действующих друг на друга ньютонианскими силами. В окончательном виде задача эта не решена, потому что дифференциальные уравнения движения не могли быть проинтегрированы в общем виде. Есть несколько частных случаев решения задачи о трех телах из них приведем здесь частный случай, разобранный Лапласом. [c.496]

Условия (8.47 ), разумеется, выполняются, если все функции Fij одинаковы, т. е. если движение трех тел-точек управляется одним общим законом, например, законом Ньютона, или вообще законом, зависящим только от взаимных расстояний между каждыми двумя точками. [c.362]

Уравнения движения трех тел напишем, несколько изменяя обозначения 1, в виде [c.419]

Напишем теперь дифференциальные уравнения плоского движения трех тел, каждое из которых имеет плоскость симметрии и расположено описанным в предыдуш,ем параграфе образом. [c.428]

Чтобы обнаружить эти частные решения, удобнее и проще всего воспользоваться уравнениями движения трех тел в форме Ляпунова, которые мы прежде всего и выведем )- [c.739]

Рассматривая уравнения Ляпунова (14.24), определяющие плоские движения трех тел с произвольными массами и полагая в этих уравнениях т2 = 0, мы получим следующие уравнения [c.763]

Если рассматривать движение трех тел в плоскости, то движение можно описать канонической системой с тремя степенями свободы. [c.228]

Что касается представления угла ф в (1), то мы сначала рассмотрим случай, когда движение трех тел происходит в одной плоскости. Тогда [c.427]

При этом оказывается, что точки Ri, либо располагаются в вершинах равностороннего треугольника, либо лежат на одной прямой. Таким образом, в окрестности тройного соударения движение трех тел асимптотически близко либо к лагранжевым, либо к эйлеровым частным решениям, чем подтверждается важная роль этих решений для качественного анализа всей задачи в целом. [c.38]

Рассмотрим снова, как и в лекции 1, движение трех тел (материальных точек) р, г = 1, 2, 3 взаимодействующих друг с другом по закону Ньютона — масса тела р . [c.99]

Рассматривается движение трех тел с одинаковыми массами, равными массе Солнца, которая берется за единицу. Единицей расстояния слу кит астрономическая единица, а единицей времени год, деленный на 2тг. При этих условиях постоянная тяготения равна 1, что упрощает вычисление. Мы будем иметь дело с относительным движением по отношению к одному из трех тел, с которым мы неизменно [c.111]

Мы будем рассматривать задачу, известную в науке под именем проблемы трех тел, т.е. задачу о движении трех тел, которые мы будем считать материальными точками, притягивающимися по закону Ньютона. Эти точки мы обозначим через Ро, Р1, Рг их массы соответственно через то, тх, тг, а через го, п, Гг обозначим расстояния между точками Р1 и Рг, Ро и Рг, Ро и Р1. Кроме того, через р мы обозначим расстояние точки Рг от центра тяжести точек Ро и Р . Движения точек мы будем описывать в координатах Якоби пусть х, у, г — координаты точки Р1 относительно осей с началом в точке Ро и г], ( — координаты точки Рг относительно осей с началом в центре тяжести точек Ро и Рг. Координатные оси обеих систем предполагаются параллельными. Интеграл энергии в координатах Якоби имеет вид [c.115]

Теорема 3. При движении трех тел под влиянием взаимных притяжений захват возможен. [c.119]

Таким образом, понятие сферы действия существенно упрощает расчет траекторий движения КА, сводя задачу движения трех тел к нескольким задачам движения двух тел. Такой подход достаточно строг, как показывают сравнительные расчеты, выполненные методами численного интегрирования. [c.116]

Далее в этой главе будем рассматривать только случай гг = 3. Мы хотим доказать, что три постоянные плош адей а, /3, 7 только в том случае могут быть все равны нулю, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости. Так как + /3 + 7 и уравнения движения при ортогональных преобразованиях координат остаются инвариантными и, кроме того, центр инерции Ро находится в начале координат, то можно принять, что при Ь = т три материальные точки лежат в плоскости г = 0. Тогда из (5 8) при а = /3 = 7 = О получаем, в частности, уравнения [c.49]

Уравнения относительного движения трех тел могут быть получены из уравнений (5.85), если каждое из них разделить на т/ [c.174]

В каждом из этих пяти случаев движение трех тел происходит в неподвижной плоскости. В двух решениях три массы образуют постоянно вершины равностороннего треугольника, причем в одном случае лежит на одной стороне от прямой т т , а во втором случае — на другой. Размеры этого треугольника не остаются одинаковыми, так как массы и описывают вокруг конгруентные эллипсы, линии апсид которых образуют между собой постоянно угол в 60° для обоих эллипсов является одним из фокусов. При трех остальных решениях /Пз находится постоянно на прямой, которая соединяет и /П2 при этом в одном случае занимает постоянное положение между и а во втором и в третьем — три массы образуют последовательности /Пц ТП,, /Из и /Из, /Пд, т . В каждом из этих трех случаев /Пз и двигаются по подобным эллипсам оба эллипса имеют своим фокусом. Направления линии апсид совпадают с направлением прямой, проходящей через массы, но в случае последовательности т , долготы перигелиев отличаются на 180°. [c.127]

Как известно, в общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело (рис. 1.3), положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками А, В и С, обладает шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек Л, В и С, т. е. девятью координатами (х , Уа, л), у в, Zg] и (Хс, Ус, с)- Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний АВ, ВС, СА. Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, равно шести и тело обладает шестью степенями свободы. Движение такого тела может быть всегда представлено как вращение вокруг и перемещение вдоль трех произвольно выбранных взаимно перпендикулярных осей х, у и [c.22]

Вид первых трех уравнений, определяющих поступательную часть движения твердого тела, зависит от выбора полюса, так как координаты различных точек тела различны (рнс. 377). [c.288]

Вид остальных трех уравнений, определяющих сферическое движение твердого тела вокруг полюса, от выбора полюса не зависит. [c.288]

Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел, для чего отделим одно от другого, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колеса 1 и 2 в точках соприкасания зубцов (рис. 159,6). [c.203]

Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, таковы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены, Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее. [c.64]

Идя навстречу многочисленным пожеланиям, авторы внесли новые главы, освещающие дополнительные разделы курса теоретической механики. Это потребовало увеличения объема книги, в связи с чем настоящее издание выходит в трех томах. Первые два тома охватывают материал, отвечающий основному курсу теоретической механики, а третий содержит дополнительные главы. Это вызвало необходимость перенести из первого тома в третий том раздел, в котором рассматривалась кинематика точки в относительных координатах (задачи преследования). Одновременно в первый том включены новые разделы кинематика колебательных движений и общий случай движения твердого тела. [c.8]

Заметим, наконец, что когда в поле тяготения тела 5 (Солнца) движется одновременно несколько тел Я, (планет), то точное решение задачи требует учета не только сил притяжения между телами и телом S, но и взаимного притяжения тел Pj. Точное решение возникающей отсюда задачи и тел, т. е. задача о движении п материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, связано с большими математическими трудностями, и его не удалось пока найти с помощью известных в анализе функций даже для случая трех тел. [c.396]

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

Движение твердого тела в пространстве определяется движением трех его точек, не лежащих на одной прямой [c.159]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Как указывалось выше, Ж. Шази установил классификацию движения трех тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, при неограниченном возрастании времени. Пользуясь теорией интегральных инвариантов, [c.114]

Эти точки, определяющие положения отно сительного равновесия (во вращающейся системе отсчета), называются точками либрации. Очевидно, что решение системы (12.5) представляет частный случай лагран-жевых движений трех тел (см. (9.2)). Подставляя в (12.5) производные [c.89]

Поэтому если плоское движение трех тел возможно, то для этого должны выполняться какие-то условия, определяютцие форму тел и т х внутреннее строение. [c.425]

Теорема Зундмана. В заоаче трех тел 1с = 0 только в том случае, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости (см. [5]). [c.819]

Движение трех тел относительно их барицентра. Наряду с инерциальной системой координат Oxyz, в которой движение трех притягивающих тел описывается уравнениями (6.1.1), (6.1,4), (6.1.5), будем рассматривать систему координат с [c.213]

Уравнения движения трех тел относительно их барицентра будут иметь вид уравнений (6,1.1), (6,1,4), (6,1,5), в которых радиусы- тгторы Г1, Г2, Гз заменены соответственно па рь р2, рз. Для полу- [c.213]

О.Ю.Шмидт рассматривал движение трех тел в одной плоскости, с одинаковыми массами, равными массе Солнца, принятой за единицу. Единицей расстояния служила астрономическая единица длины, а единицей времени год, деленный на 2тг. Точка Ро бралась неподвижной, координаты XI, ух точки Р1 и Х2, У2 точки Р2 задавались относительно осей с центром в Ро. Начальные данные в момент = О таковы, что невозмущенной орбитой точки Рх под притяжением Ро был бы эллипс с большой полуосью, равной 200 астр. ед. и эксцентриситетом Уз, а невозмущенной орбитой точки Рз гипербола. В этом случае движение трех тел было изучено от момента времени = —129764 до < = -Ь8000 численным интегрированием проблемы трех тел. Предварительные вычисления были сделаны лично О. Ю. Шмидтом, а затем точные и подробные вычисления были выполнены в Геофизическом институте Академии наук СССР под руководством Н. Н. Парийского. Начальные положения и скорости тел Ро и Р1, а также их положения и скорости для крайних моментов времени сведены в табл. 1. [c.117]

Представляют интерес для организации устойчивой межпланетной станции для наблюдения за явлениями, происходящими на земном шаре и на Луне, для астрономических исследований и в более далеком будущем - космогорода устойчивые либрационные точки в системе Земля-Луна (точки 4 и 5 (см. рис.2.3)). В 1961 г. в системе Земля - Луна в окрестности точки 5 польский астроном Кордилевский обнаружил два тусклых облакоподобных объекта. Позже было сообщение об обнаружении подобного же облака в районе Рис. 2.3. Пшъ точных решений Лагранжа 70ЧКИ Ь задачи движения трех тел [c.110]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...