Уравнения в задаче трех тел

УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ [c.325]

Уравнения в задаче трех тел. Рассмотрим движение двух планет от, и от, по отношению к Солнцу 5. Возьмем центр Солнца за начало, и пусть координаты от, будут (лг,, у г,) и координаты от, будут (де у. , 2,). Пусть расстояния Солнца от от, и от. соответственно равны А, и и пусть г,,, обозначает расстояние от от, до /к. Тогда диференциальные уравнения движения, как выведено в 148, будут иметь вид [c.325]

Второй способ понижения порядка системы дифференциальных уравнении в задаче трех тел связан с именем Якоби. Способ этот состоит в том, что рассматривается движение точки относительно системы, имеющей начало в точке как и в предыдущем способе, а движение точки в з — относительно система с началом в центре масс двух точек и (система tf, с началом С12 на рис. 3.16). Обе вспомогательные системы движутся поступательно и являются неинерциальными. Уравнения относительного движения точки мы уже получили. Запишем теперь уравнение движения точки <Мг [c.166]

Задача интегрирования этих дифференциальных уравнений называется задачей трех тел. Эта задача до сих пор строго не решена. Еще более трудная задача возникает для нашей планетной системы, так как число тел, входящих в нее, больше трех. [c.14]

В случае, когда новый триэдр движется относительно основного равномерно и без вращения, он определяет новую ньютонову систему отсчета. Уравнения движения сохраняют нри этом свою форму (1.1.1) или (1.1.2), хотя выражения для X, У, Z теперь должны быть представлены через новые координаты, их первые производные и время. (В задаче трех тел, где действующие силы зависят только от их относительных положений, уравнения движения имеют одну и ту же форму в любой ньютоновой системе.) [c.15]

Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка. В 29.8 мы показали, что уравнения движения в задаче трех тел в случае плоского двин ения допускают понижение до шестого порядка. Этот результат можно получить и другим путем, если исходить из уравнений в форме, приведенной в 29.10. [c.597]

Итак, уравнения ограниченной задачи трех тел могут быть записаны в следующем виде [c.145]

ПО двухчастичным операторам столкновений T z), которые удовлетворяют уравнениям (3.3.10). Как уже было отмечено в разделе 3.3.2, излагаемый подход во многом аналогичен методу Фаддеева в задаче трех тел (см., например, [147]). [c.241]

При /3 = 0 уравнения (5), (6) переходят в уравнение ограниченной задачи трех тел с одинаковыми массами двух тяготеющих тел. Соответственно точки стягиваются при /3 —) О к точке 2(0, 0), и точки (г = 1... 5) превращаются в точки либрации ограниченной задачи трех тел (например, = у/З /2 и т. п.). [c.125]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

В большинстве случаев (например, в задаче трех тел) не удается ни решить систему дифференциальных уравнений движения, ни достаточно полно исследовать поведение решений. В этой главе рассматривается несколько простых, но важных задач, в которых уравнения Ньютона решаются. [c.21]

Теперь выведем из уравнений (8.31) и (8.32) уравнения общей задачи трех тел в той форме, которую придал им А. М. Ляпунов в своих исследованиях по задаче трех тел. [c.350]

Так как, кроме классических первых интегралов, нам до сих пор не известны никакие другие интегралы, то дифференциальные уравнения общей задачи трех тел не могут быть проинтегрированы полностью и общее решение этой задачи мы получить (по крайней мере в настоящее время) не можем. [c.738]

Дифференциальные уравнения движения точки ЛЬ в задаче двух неподвижных центров получатся из обших уравнений ограниченной задачи трех тел (14.35 ), если координаты о, 11о и 1, т]1 двух конечных масс Л1о н М рассматривать как величины постоянные, или, если положить в уравнениях (14.39) ==0, е = 0. [c.774]

Дифференциальные уравнения неограниченной задачи трех тел в других системах координат и в явном виде приведены в книгах [I] —[5]. [c.525]

А. М. Ляпуновым выведены уравнения движения в задаче трех тел [1] в специальных переменных, особенно удобных для отыскания частных решений Лагранжа. [c.527]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] К исследованию на экстремум некоторой функции Ри смысл которой следующий пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, 1.13) с аналитической по ц при цо функцией Гамильтона Р вида [c.793]

Эти соображения позволили Зундману преодолеть математические трудности, возникающие из-за возможных двойных соударений в уравнениях движения задачи трех тел. Зундман не нашел необходимые и достаточные условия отсутствия всяких соударений в задаче трех тел, но, изучив характер соударений с помощью метода регуляризации независимой переменной, устранил эти особенности в дифференциальных уравнениях задачи трех тел. [c.820]

B. Г. Демину [87]. Им доказано, что в случае спутниковых орбит или в случае орбит, охватывающих обе притягивающие массы, гамильтоновы уравнения ограниченной задачи трех тел, путем замены переменных, можно привести к невырожденному случаю (хотя первоначальная задача является вырожденной) и [c.846]

Интегралы задачи. Канонические уравнения (2), являющиеся уравнениями движения в задаче трех тел, допускают несколько простых первых интегралов. [c.30]

Если воспользоваться результатами 5, то равенство (7) означает, что сделанное преобразование переменных является каноническим преобразованием. Поэтому каноническая форма уравнений (2) не нарушается, и в новых переменных уравнения движения задачи трех тел имеют вид [c.34]

Мы предположим, что функции Х зависят от параметра ц (в задаче трех тел в качестве параметра принимают одну из возмущающих масс). Предположим, что при = О дифференциальные уравнения (1) проинтегрированы, и что в этом случае найдено определенное периодическое решение спрашивается, при каких условиях мы имеем право сделать отсюда вывод, что существуют также периодические решения при малых значениях (i [c.416]

Постоянные 01 и Р , которые получаются при интегрировании уравнения (8), в общем случае непригодны для использования в качестве новых переменных в задачах динамики. В задаче трех тел, например, в уравнении (8) содержится в правой части умноженный на время член, который создает при интегрировании значительные и ненужные трудности. Для кеплеровской эллиптической промежуточной орбиты давно уже известен метод, как можно введением новых переменных преодолеть эти трудности (см. 5 гл. V). Для других промежуточных орбит необходимо вводить другие преобразования, но до сих пор нет общей теории отыскания таких преобразований. [c.522]

Прежде чем применить это преобразование к регуляризации соударений в задаче трех тел, определим те траектории в задаче двух тел, для которых Н = 0. С помош,ью преобразований (31) н (32) гамильтоновы уравнения (17) можно привести к виду [c.64]

Это и есть дифференциальные уравнения ограниченной задачи трех тел. Хотя эта система имеет только четвертый порядок, мы сейчас еще далеки от ее полного решения. Дифференциальные уравнения (3) выгодно записать в комплексно сопряженных переменных [c.169]

Уравнение (26) дает интересное заключение о возможном движении /и, лишь на основании одного этого уравнения, без использования подробных свойств движения по коническому сечению. Так как левая часть по необходимости положительна (или нуль), то г может принять лишь такие значения, при которых правая часть будет положительна (или нуль). Следовательно, л<2а во всем движении, каково бы оно ни было. Этот результат очевиден в этом простом случае, где все обстоятельства движения вполне известны, но аналогичные рассуждения в Задаче трех тел [c.141]

В разд. 5.11.3 было показано, что, используя координаты Якоби, можно общие уравнения движения задачи трех тел выразить соотношениями (5.90) и (5.91). Если ввести силовую функцию [c.292]

Задача трех тел. Если число частиц в системе больше двух (число частиц, прямо связанных парным взаимодействием), то встает задача отделения несвязных частей, которые отвечают свободному пролету одной или более частиц и нарушают фредгольмовский характер соответствующих уравнений (см. п. 1). В задаче трех тел матричный элемент потенциала может быть записан в виде [c.263]

Итак уравнения огргшиченной задачи трех тел в форме (2.1) не имеют независимого от функции Я формально аналитического по параметру /i интеграла Ф == коэффициенты которо- [c.187]

Сотрудниками группы О. Ю. Шмидта (Г. Ф. Хильми и др.) качественными способами были выведены критерии, которым должны удовлетворять начальные значения в задаче трех тел, чтобы этому соответствовало движение гиперболо-эллиптическое или гиперболическое при неограниченном возрастании времени. Затем путем численного интегрирования уравнений движения этой задачи пытались проверить выполнение этих критериев при очень больших положительных и отрицательных значениях времени. Предварительные подсчеты показали как будто возможность захвата, чем результаты Шази и были поставлены под сомнение. Хотя результаты, полученные нри помощи численного интегрирования на очень большом промежутке времени очень ненадежны и не обоснованы, тем не менее исследования О. Ю. Шмидта возбудили широкий интерес, и проблема Шази подверглась тщательной проверке и изучению. [c.353]

Описанный метод учета тождественности частиц не является единственным. Изложенный метод не является достаточно эффективным, например, в задаче трех тел, когда все частицы тождественны. Конечно, можно рассмотреть решение такого уравнения, как (16.35), не обращая сначала внимания на то, что частицы неразличимы, и только в конце выполнить симметризацию или антисимметризацию. Обозначим через симметризованное или антисимметризованное состояния например, [c.449]

В задаче трех тел мы обязательно сталкиваемся с процессами перестройки. В соответствии с этим удобно пользоваться операторами Т, обсуждавшимися в гл. 16, 3, п. 1 уравнения для них имеют вид(16.43)и (16.44). В дальнейшем принимаются следующие условные обозначения. Пусть в начальном, состоянии частица 1 падает на связанную пару (2,3). Перепишем гами гьто-ниан, соответствующий этой конфигурации, следующим образом [c.511]

В своем знаменитом трактате Об исключении узлов в задаче трех тел Якоби [24] использовал систему координат, в которой дифференциальные уравнения приобретают каноническую форму, без изменения формы живой С1г. 1ы. Его результат был распространен Аллегре на задачу п тел [25]. Ход этого исследования примерно следующий. [c.191]

Эллиптические орбиты, которые мы пашли для обоих тел А и В, можно использовать в качество первого приближения к истинным орбшам вследствие большой величины массы С и вытекающей отсюда малости разности Н — Н при постоянных значениях элементов, если рассматриваемые интервалы времени малы. Если элементы считать переменными, то их изменения можно определить так, чтобы удовлетворялись точные уравнения (1) задачи трех тел. Дифференциальные уравнения для этих из- [c.202]

После того как былн выяснены особенности свойства сходимости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообш е получающиеся в теории возмущений ряды действительный математический смысл Если бы для достижения этого захотели бы ограничить средние движения, а значит, также и V, такими значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее приближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное множество. Но в действительности на этом пути мы только переместили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши— Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть аналитические функции постоянных интегрирования, и едва ли можно объяснить, как можно использовать решение дифференциальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для определения постоянных интегрирования из наблюдений. [c.504]

С математическими аспектами небесной механики можно познакомиться по книгам [24], (34], [37], [42]. В [37], [42] задачи небесной механики трактуюгс как задачи качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, а книга [24] содержит обстоятельное введение в теорию возмущени№ Работа [2] является обзором результатов, посвященных качественному ана лизу финальных движений в задаче трех тел (см. также [31]). [c.291]

Я не астроном по специальности, поэтому я не пытаюсь улучшить практические методы определения орбит, которые, как известно, хорошо описаны в учебниках. Наоборот, в данной книге речь идет преиму-ш ественно о развитии некоторых установленных за последние 70 лет идей и результатов, касаюш ихся поведения решений дифференциальных уравнений в целом, причем, разумеется, важное место занимают приложения обгцей теории к системам Гамильтона, и особенно к уравнениям движения в задаче трех тел. Но и здесь я не стремлюсь к полноте изложения и выбираю материал, исходя из своих личных интересов, а также с расчетом на внимание слушателей в рамках каждой лекции. [c.13]

В ближайгпих параграфах будут даны основы для доказательства нагпих эвристических результатов. Нельзя найти особую точку I = применяя только теорему существования Когпи и вводя в уравнения движения задачи трех тел вместо t новую независимую переменную Л. Это не удастся хотя бы потому, что по крайней мере одно д при 5 = 0 обязательно имеет особенность. Если высказанные нами ранее предположения верны, то величины, получающиеся из х, у, 1 и из з, уз, 3 преобразованием обратных радиусов, будут при Л = О регулярными. Зундману с помощью введения в дифференциальные уравнения таких новых переменных удалось прийти к желаемой цели. [c.54]

В этом и следующем параграфах мы исследуем поведение координатных функций в задаче трех тел нри нредноложении, что в сингулярности t = ti все три частицы сталкиваются. Хотя в общем случае это приводит к существенным особенностям в координатных функциях, тем не менее можно описать все траектории тройного столкновения в терминах подходящих разложений в ряды. Для последующего изложения удобно заменить t на переменную ti t и обозначить последнюю снова как t, а. t — т соответственно обозначить как г. Исходные уравнения тем самым остаются неизменными. Таким образом, мы предполагаем, что девять координатных функций q = q t) точек Pi, Р2, Р3 являются регулярными на интервале О < i < г, открытом слева, и мы желаем определить их поведение нри i 0. Так же, как в 6 и 9, выражение [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...