ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Математические аппроксимации из "Неклассические теории колебаний стержнеи, пластин и оболочек " Это означает, что уравнение Тимошенко (3.3)—вполне гиперболическое и описывает распространение двух слабых разрывов (сдвигового и изгибного) со скоростями (3.9). [c.24] Как видно, уравнение Релея уже не является вполне гиперболическим, оно описывает распространение сдвигового разрыва с бесконечной скоростью и распространение слабого разрыва (изгибного) с конечной скоростью. [c.24] Полагая в уравнении (3.10)а2 =0, получим результат для уравнения Бе рнулли—1Эйлера (3.1) оно описывает распространение любого слабого разрыва с бесконечной скоростью, т. е. относится к параболическому типу. [c.24] Из уравнения (3.14) в силу того, что ФФО, следует уравнение характеристик. Система же уравнений (3.15) — (3.18) не имеет общего решения, отличного от нуля. Следовательно, уравнение (3.3) не допускает существования волн без дисперсии. [c.25] Фазовая скорость с 1) характеризует дисперсию волн. Чем больше кривая с 1) отличается от прямой вида с(/) = = соп51, тем больше дисперсия волн. В частности, наличие дисперсии волн для уравнения Тимошенко можно вывести из дисперсионного уравнения (3 23) фазовая скорость с зависит от / нетривиальным образом, т. е. с(/) =соп51. В большинстве случаев, к сожалению, не удается получить в явном виде зависимость с(1). [c.26] Скорость фронта волны, фазовая и групповая скорости являются основными характеристиками распространения колебательного процесса. Эти характеристики будут рассмотрены ниже для различных уточненных теорий. [c.26] Необходимость условия следует из того, что если уравнение 3.25) гиперболическое, то уравнение характеристик (3.28) имеет только конечные действительные корни . Достаточность устанавливается следующим образом. Если известно, что корни уравнения (3 28) конечные действительные, то исходное уравнение (3.25) является гиперболическим. [c.27] Таким образом, показано, что стремление / к нулю соответствует выходу корней дисперсионного уравнения на характеристики. В качестве примера обратимся к дисперсионному уравнению (3.23), которое, как видно, при /- -0 вырождается в уравнение характеристик. В дальнейшем будем применять теорему предельности. [c.27] Тимошенко. Правда, долгое время уравнение Тимошенко не было исследовано и только впоследствии было обнаружено, что аппроксимация Тимошенко является гиперболической. Эта аппроксимация является плодом глубокой интуиции С. П. Тимошенко и понимания им механических процессов, происходящих в упругих телах. [c.28] Нетрудно убедиться, что аналогичный результат для уравнения (3.3) получить невозможно. [c.28] Уточненная теория Тимошенко существенно улучшила классическую теорию изгиба. Однако вопрос о пределах применимости и значимости этой улучшенной теории долгое время оставался открытым. В связи с этим были предприняты попытки сопоставить результаты этой теории с возможными точными решениями динамической теории упругости. Одна из первых попыток принадлежит С. П. Тимошенко 11.326] (1922). Были построены решения, описывающие гармонические колебания бесконечного стержня прямоугольного тюперёчного сечения, в приближениях плоской деформации или плоского напряженного состояния. [c.29] Аналогичные построения выполнены, исходя из известного решения, для случая колебаний стержней кругового поперечного сечения. [c.30] Сравнение этих приближений точной теории с уравнениями, учитывающими деформацию сдвига и инерцию вращения, обнаруживает незначительное отличие в коэффициентах. [c.30] При с близких к s распределение нормальных и касательных напряжений показано на фиг. 1.4. [c.32] Одно из точных решений для бегущих волн в свободных от поверхностных напряжений стержнях прямоугольного поперечного сечения принадлежит G. Lame [1.233] (1852) . Он получил семейство эквиволюминальных волн, связанных с отдельными дискретными частотами. [c.32] Второе точное решение получили R. D. Mindlin и Е. А. Fox [1.254] (1960) в виде совокупности дилатационных и эквиволюминальных волн также для отдельных дискретных частот и для частных значений отношений ширины к толщине. Они утверждают, что точное решение для всех частот нельзя выразить через конечное число элементарных функций. Сравнение результатов приближенных теорий с этими решениями отсутствует. [c.32] Вычисляя с помощью (3.51) напряжения и подставляя в граничные условия, выражающие отсутствие напряжений Отг, Огб и Orz на поверхности цилиндра г=а, приходим к Т рем совместным уравнениям относительно коэффициентов А, В и С. Следующее отсюда дисперсионное уравнение очень громоздко и было исследовано численно. [c.33] В последние годы появились исследования, обобщающие работу С. П. Тимощенко [1.326] (1922), в которых выполняется подробный анализ и сравнение точных решений плоской динамической теории упругости и решений по теории типа Тимошенко. [c.35] В заключение отметим, что уточненные по Тимошенко уравнения динамики тонкостенных стержией, приведенные на стр. 22, оказываются также уравнениями гиперболического типа. Они являются обобщением теории тонкостенных стержней открытого профиля В. 3. Власова, которая для динамических задач представляет собой параболическую аппроксимацию. [c.37] Вернуться к основной статье