Кратные решения системы уравнений

Кратные решения системы уравнений [c.16]

I si КРАТНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 17 [c.17]

Эта система должна иметь нетривиальное решение. Следовательно, вновь находим характеристическое уравнение (1). Если это уравнение не имеет кратных корней, то решение системы уравнений (о), которое соответствует корню уравнения (1), можно представить в следующем виде [c.251]

Обратимся снова к системе уравнений (1.117). На основании изложенного для значений М, кратных четырем, частное решение системы уравнений (1.117) можно записать в виде [c.57]

На основе развития общих методов анализа точных решений А.Ф. Сидорову удалось продвинуться и в аналитическом описании ряда конкретных неодномерных течений истечений в вакуум из многогранных углов, не стационарного движения угловых поршней в газе, течений через искривленные ударные фронты. Следует отметить, что важный цикл работ А.Ф. Сидорова по точным решениям системы уравнений газовой динамики послужил отправной точкой для его новых исследований по ряду интересных направлений. Так, анализ условий примыкания к области покоя связан с разработкой общего метода построения решений в виде специальных (в том числе характеристических) рядов, а точные решения уравнений кратных волн существенно использовались А.Ф. Сидоровым в дальнейшем при исследовании проблем, связанных с безударными сжатием вещества. [c.9]

ЛС Лагранж полагал, что в случае наличия кратных корней уравнения частот (характеристического уравнения) в общее решение системы дифференциальных уравнений движения войдут члены, содержащие время t вне знаков синусов или косинусов. Например, в случае двукратного корня характеристического уравнения общее решение системы дифференциальных уравнений, по мнению Ж. Лагранжа, должно содержать члены [c.253]

В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые вековые члены , содержащие вместо постоянного вектора Нд, полином относительно t -f- u kt В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется формулой [c.218]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Рассмотрим зависимость мультипликаторов системы (3) (а следовательно, и ее характеристических показателей) от малого параметра е. Так как правые части системы (3) аналитичны по , то и фундаментальная матрица решений X t, е) также аналитична по е. Отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения (14) — аналитические функции е. Но мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. Они будут обязательно аналитическими, если характеристическое уравнение при = О имеет только простые корни. Если же при = О уравнение (14) имеет кратные корни, то аналитичность его корней относительно е при е О может не иметь места. Отметим, однако, что независимо от наличия при = О кратных корней корни уравнения (14) при 7 О, во всяком случае, непрерывны по е [c.551]

Рассмотрим теперь условия, при которых система уравнений (18.7) на k-м шаге имеет решения периодов, кратных Т. При этом будем считать, что функция у1А—1] — периодическая функция периода Т. Из периодичности коэффициентов рассматриваемой системы в соответствии с условиями (19.28) следует [c.152]

Получим условия, определяющие существование и единственность решений системы дифференциальных уравнений (9.29) периодов, кратных Т. Необходимым и достаточным условием существования таких решений является [c.272]

Для рассматриваемого механизма можно решить задачу синтеза также по заданным значениям скоростей и ускорений (кратное интерполирование) аналогично решению задачи для четырехзвенных механизмов [31, где коэффициенты приближающей функции вычисляются из системы уравнений, которая получается, если приравнять нулю выражение взвешенной разности и ее производных в узлах интерполирования. [c.39]

Синхронные движения объектов с частотами со = п ш, кратными частоте возмущения (О, возможны при условии, что частоты = лежат внутри этих диапазонов. Предположим вначале, что каждому решению (32) при всех рассматриваемых и соответствует по крайней мере одно 2л/ш-периодическое решение порождающих уравнений системы связей [c.225]

В разделе I представлены работы А.Ф. Сидорова, посвященные развитию методов точного интегрирования системы уравнений газовой динамики, анализу новых классов решений, постановке содержательных начально-краевых задач в этих классах (первые работы по этой теме были выполнены совместно с его научным руководителем Н.Н. Яненко). В цикле работ излагаются результаты построения и исследования решений, характеризуемых функциональными зависимостями между искомыми функциями (течений с вырожденным годографом, кратных волн), линейностью поля скоростей по части независимых переменных, инвариантностью относительно преобразования растяжений (стационарных и не стационарных конических течений). При описании указанных классов решений часто возникают сложные переопределенные системы дифференциальных уравнений, требующие проведения громоздких вычислений при выяснении условий их совместности. Поэтому и вывод систем уравнений, описывающих специальные классы решений, и построение точных решений этих систем представляют собой трудоемкие задачи. [c.8]

Наиболее известный прямой метод решения больших систем линейных алгебраических уравнений — приведение Гаусса с обратной подстановкой. Процедура решения системы п линейных алгебраических уравнений методом гауссова приведения состоит из п—1 шагов. На каждом шаге уравнения, кратные очередному уравнению системы, вычитаются из остальных уравнений с тем, чтобы исключить одну переменную. Обратная подстановка заключается в решении последнего оставшегося уравнения для последней переменной, затем предпоследнего уравнения относительно предпоследней переменной и т. д. до тех пор, пока не решено первое уравнение относительно первой переменной. Поскольку число уравнений обычно очень велико, но каждое содержит не более девяти переменных, большинство элементов матрицы системы равно нулю. Эго позволяет расставить уравнения таким образом, чтобы матрица системы приняла ленточный вид, т. е. чтобы все ненулевые элементы были сгруппированы вблизи ее диагонали. Тогда система решается довольно просто. Подробное описание этого метода и различные варианты его усовершенствования можно найти в литературе [115]. Хотя прямые методы и требуют большего объема машинной памяти, чем итерационные методы, они чище в том смысле, что не содержат проблемы сходимости. Благодаря доступности больших компьютеров прямые методы становятся все более пригодными для решения практических задач. [c.152]

Из условия разрешимости этой системы уравнений при фиксированных а и ft можно найти / решений Eav k) (v=l, 2,. .., /). Следовательно, одному /-кратно вырожденному атомному уровню в кристалле соответствует / квазинепрерывных полос энергии, некоторые из которых могут частично или полностью перекрываться. [c.139]

В случае существования кратных корней характеристичного уравнения система (1.36) с периодическими коэффициентами может допускать решения более общего вида. А именно, кратному корню р могут соответствовать решения, для которых функции 1) в (1.53) будут представляться выражениями [c.36]

Однако среди корней уравнения D(x)=0 могут быть, вообще говоря, и кратные, и тогда возникает вопрос, не появятся ли среди решений системы (13.105) такие, которые содержат множителем какую-либо степень t. Пуанкаре доказал, что даже в случае кратных корней такие решения не существуют. Действительно, допустим опять обратное, т. е. что система имеет решение вида [c.724]

Правая часть этого равенства при тФО неограниченно растет вместе с временем, в противоречии с интегралом (13.105). Таким образом, должно быть т = 0 и все корни характеристического уравнения должны быть чисто мнимыми, а в случае, когда они кратные, им соответствуют чисто тригонометрические решения системы (13.105). [c.724]

Из исследования кратных решений следующей системы уравнений вытекает одно из важнейших приложений теории функциональных определителей. [c.16]

Итак, находим, что если якобиан при определенных значениях XV. у обращается в нуль, то этим значениям всегда соответствуют кратные решения рассматриваемой системы уравнений. [c.19]

Если, наконец, 27 а (1 — х) = 1, то уравнение (3.8) имеет две пары кратных чисто мнимых корней г 2/2. И в этом случае уже нет устойчивости в линейном приближении, так как (см., например, [89]) общее решение системы (3.4) первого приближения содержит неограниченно растущие со временем слагаемые вида [c.27]

Широко распространенным явился метод, использующий предположение о возможности разложения циркуляции по размаху крыла в виде бесконечного тригонометрического ряда по синусам кратных дуг, принадлежащего к ряду типа Фурье. Точное решение получаемой системы линейных уравнений требует, чтобы оно удовлетворялось во всех точках размаха, что возможно только в случае бесконечного ряда. Таким образом, необходимо решение системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. В связи с этим основная задача теории крыла конечного размаха сводилась к отысканию различных приближенных методов решения как геометрических, так и аналитических. [c.285]

Особо рассмотрим случай а = 0. Тогда 0 — 0 л 0 — 0. Имеем два кратных мнимых корня характеристического уравнения. Если мысленно убрать гироскопические силы, то рассматриваемая система превращается в позиционную линейную систему, уравнение частот которой имело бы один кратный корень, и вся плоскость Оху состояла бы из собственных векторов. В ней следовало бы выбрать взаимно ортогональные, например вдоль осей Ох и Оу, и каждому из направлений соответствовало бы по два линейно независимых решения. Действие гироскопических сил приводит к тому, что система имеет одно собственное направление Ц1 для корня / 1 = 0 = —ш, определяемое из условия [c.597]

Это уравнение при Р = 0 допускает только одно стационарное решение Х1 = 0, так как при этом исходная система должна находиться в покое. При РфО уравнение (3.6.3) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебательную систему с вынужденными колебаниями и амплитудами порядка р и периодом 2л/р, взаимодействующими с собственными колебаниями вследствие нелинейности системы. Вопрос же о существовании стационарных собственных колебаний требует дополнительного исследования, так как в этом случае система, вообще говоря, претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение энергоемких параметров, что может при выполнении определенных частотных соот-нощений привести к эффектам параметрического вложения энергии. При этом предполагается, что амплитуда воздействующей силы Р не ограничена условием малости подобно силам сопротивления и силам, связанным с нелинейными свойствами системы, которые имеют порядок малости р. [c.120]

Система линейных уравнений (10.22) решается последовав тельно, начиная с первого уравнения, которое совпадает с порождающим уравнением, При решении каждого из уравнений отыскиваются только периодические решения одним из указанных ранее способов. Возможные периоды решений могут быть лишь равными или кратными периоду правой части. [c.197]

Если отклонения упругой системы от исходного положения равновесия могут быть полностью описаны N независимыми параметрами (т. е. если упругая система имеет N степеней свободы), то линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения системы приводит к системе N линейных однородных уравнений с N неизвестными. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Указанное условие приводит к уравнению, позволяющему найти точки бифуркации исходного положения равновесия. Если это уравнение не имеет кратных корней, то число точек бифуркации равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. [c.24]

Выше получены условия, при которых система линейных дифференциальных уравнений (9.29) имеет периодические, в том числе кратных периодов, решения. Последние решения и соответствуюш,ие им режимы колебаний называются субгармоническими 129 84]. [c.274]

Для определения величин коэффициентов р нужно в функции вида / (ф) и их производные внести значения углов ф и ijj, соответствующие координатам ш и z кратного узла (см. [2]), а в функции / (фт) — значения параметров ф и В результате решения уравнения (33) найдется величина (или три величины) коэффициента Р4. Затем по уравнениям (27), (29), (31) и (11) нетрудно определить величины коэффициентов рд, р , pi и р . Искомые значения параметров схемы г, d, /, а и 3 вычисляются по уравнениям, получаемым из системы (5). [c.133]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Когда основные уравнения колебаний образованы методом, который был указан выше для цилиндрической оболочки, берутся компоненты смещения в форме, содержащей два фактора первый — это синус или косинус дуги, кратной (р, второй представляет собой элементарную гармоническую функцию от t после этого уравнения приводятся к линейной системе восьмого порядка, служащей для определения зависимости компонентов смещения от широты 6. Условия на свободных краях выражаются при помощч приравнивания нулю для определенного значения 6 некоторых линейных выражений, связывающих компоненты смещения и их производные по 0. Порядок системы достаточен для того, чтобы можно было удовлетворить этим условиям. Если бы решение системы уравнений, подчиненное краевым условиям, было найдено, то это привело бы к определению типа колебаний и их частоты. [c.578]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные корни, то в общее решение системы дифференциальных уравнений (И.331Ь) войдут функции / р(0б , где — кратный корень уравнения (11.334), а fso )—полиномы от 1 степени, на единицу меньшей кратности корня Хр. [c.333]

Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню к р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Ху р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частвт существует и линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае. [c.239]

Трудности изучения волн рангов два и три, являющихся с групповой точки зрения частично инвариантными решениями [14], связаны с необходимостью исследования сложных и громоздких переопределенных систем уравнений с частными производны ми. Несмотря на имеющиеся общие подходы к решению таких задач (алгоритм Картана и его модификации), конкретная реализация их связана с большими аналитическими вычислениями и пока даже с использованием специализированных программ для про ведения аналитических выкладок на ЭВМ не привела к успеху, в частности, при иссле довании совместности системы уравнений потенциальных тройных волн. Фактически каждое серьезное продвижение в теории кратных бегущих волн потребовало специ ализированного аналитического изучения в подходящих пространствах зависимых и независимых переменных. [c.199]

Следовательно, уравнение (1еШ1 (Я) =0 имеет кратные корни Я/ (кратности 2) и кратные элементарные делители р Х) (кратности 2). В этом случае, как известно из теории дифференциальных уравнений, в решении системы (25) множителями при ехр(Х О будут полиномы вида (а -- 3 /), следовательно, имеет место резонансное решение. [c.107]

Изучается поведение малых возмущений стационарных решений произ-вольной системы уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными ж и t в окрестности критической точки, где обращается в нуль одна из характеристических скоростей. Все характеристики системы предполагаются действительными и различными, кроме t = onst, которые могут быть кратными для параболически вырожденной системы. Критические точки совпадают с особыми точками системы уравнений, описывающей стационарные решения. Исследованы их возможные типы. Показано, что нестационарные процессы в окрестности критических точек описываются одним уравнением в частных производных первого порядка, коэффициенты которого определяются собственными числами особой точки стационарных уравнений. Нестационарные процессы исследованы с учетом нелинейных членов. [c.640]

Если характеристичное уравнение не имеет кратных корней, то система (1.36) имеет п частных решений вида (1.53), которые, очевидно, линейно независимы. Поэтому, если рь р2,. ... .., р — различные корни уравнения (1.51), то общее решение системы (1.36) с периодическими коэффициентами напишется следующим образом [c.36]

Если полюс кратный, то системы решений ссмозных уравнений нельзя биортонормировать, но существуют системы главных союзных векторов, для которых биортонормирование осуществимо (см. об этом [13а], стр. 43—50 и 157—159). В работе [4а] Вейль не обратил внимания на это обстоятельство, и соответствующее место этой работы нуждается в дополнении. [c.172]

Корни этого уравнения целые, но есть кратный корень к = 1. Для того чтобы в решение системы (7) не вошли члены вида tlgi и необходимо, чтобы все миноры определителя Д пятого и чет- [c.162]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

На решения уравнений движения налагаются периодические граничные условия к координате каждой частицы добавляется величина, кратная L=V столько раз, чтобы кубическая ячейка воспроизводилась не менее 26 раз. Это приводит к тому, что если одна частица покинет ячейку, то через противоположную грань в нее войдет другая частица с тем же импульсом. При этом плотность и энергия системы сохраняются. Для упрощения вычислений размер ячейки выбирается так, чтобы он был значительно больше радиуса действия потенциала. Для систем с дальнодей-ствующим кулоновским потенциалом используют специальные методы расчета. [c.190]

Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо р = 1, либо р = — 1 (рис. 2, а и б). В первом случае одно нз решений на границе будет f-периодическим, во втором оно будет гТ-периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные QX р — (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодиче-ское решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовле воряют соотношению (12). [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...