Уравнения — Решение и корн

При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод однородных решений. По этому методу решение задачи теории упругости иш ется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяюш их однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения однородных решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений. [c.262]

Уравнения — Решение и корни 36 [c.1139]

Преобразование выражений (а) и (б) приводит к квадратичным относительно и уравнениям. Анализ решения этих уравнений показал, что отрицательные корни не представляют интереса, так как [c.73]

Случай большого сопротивления, п >1%. В этом случае корни 1,2=—п п —характеристического уравнения являются действительными и различными. Общее решение (3) уравнения (1) можно при этом записать в виде [c.526]

Предельный случай, n=k. В этом случае корни >ц,2=—п характеристического уравнения являются действительными и равными. Общее решение уравнения (1) можно при этом написать в виде [c.527]

V (х, у) нельзя однозначно определить Uy, Vy и, следовательно, J., Vx. В этом случае кривую Г называют характеристикой системы (7.13), соответствующей решению и (х, у), v (х, у). Уравнение Д = О назовем характеристическим. Это есть квадратное уравнение относительно величины у, которая определяет направление касательной к кривой Г. Если в фиксированной точке х, у при выбранном решении и (х, у), v х, у) характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня у = у = 2. то говорят, что в этой точке система (7.13) гиперболического типа. Если корни вещественны, но совпадают, то система относится к параболическому типу, если корни комплексные, система относится к эллиптическому типу. [c.234]

При известных значениях корней характеристического уравнения (собственных значениях) построение системы решений производится обычным способом [33]. Рассмотрим случаи, когда корни характеристического уравнения могут быть получены в аналитическом виде. Известно, что в виде радикалов в общем случае могут быть представлены решения алгебраических уравнений лишь до четвертой степени включительно. В настоящем случае имеются обстоятельства, которые позволяют получить корни алгебраического уравнения (8.38) и для более высоких степеней. [c.276]

При исследовании бокового движения наиболее распространенным является случай, когда такое движение складывается из трех частных движений — двух апериодических и одного колебательного, что соответствует двум комплексным сопряженным и двум вещественным корням характеристического уравнения. Коэффициенты этого уравнения, а следовательно, и частные и общие решения для приращений параметров зависят от производных устойчивости (с , т ., , тУ, т у, т - , т у, ), а также [c.46]

Поэтому для я, являющегося корнем этого уравнения, в решении (8.27) надо удерживать слагаемые с коэффициентами А и С В = О = 0), причем [c.314]

Решение уравнения (8.22) определяется значениями корней характеристического уравнения (8.23), а корни зависят от соотношения между п и к. Возможны три случая. [c.131]

По существу это есть склейка двух решений, +р и —р представляют собою двойные корни характеристического уравнения, решение рассматривается в нижней полуплоскости Огг р, —°°) = 0, поэтому, если р > О, то нужно брать решение, соответствующее корню +р, а если < О, то решение, соответствующее корню —р. Дифференцируя (10.8.5) по у, получим [c.349]

Таким образом, характеристическое уравнение имеет два двойных корня и решение его [c.403]

Анализ уравнения (49.8) показывает, что для известных пьезокерамик, относящихся к рассматриваемым классам сред, оно имеет два действительных корня А , и четыре попарно сопряженных комплексных корня 8 ш, причем ki, б, <в > 0. Постоянные а(к), р(А ), (к), являющиеся решением однородной системы уравнений с матрицей Иа И, определим по формулам [c.391]

Во второй главе описываются численные методы, используемые при организации расчетов на ЭВМ по точным аналитическим решениям, и приемы программной реализации таких расчетов. Рассмотрены методы вычисления интегралов и определения корней трансцендентных уравнений. Эта глава не связана по смыслу с дальнейшим материалом. [c.4]

Решая уравнение (6) относительно V и выбирая в решении перед корнем один положительный знак, найдем [c.132]

Правая часть возрастает от 1 до со, когда и изменяется по абсолютному значению от О до оо. Поэтому решение получится лишь в том случае, когда левая часть больше 1. В этом случае уравнение даст для и два корня с противоположными знаками. Выберем из них положительный, который дает и для а положительное значение. [c.265]

Если подставим значение одного из этих корней, или, з, в систему (11), то система будет совместна. Мы получаем, таким образом, две системы решений, (И], v , д ),) и ( з, г з- г)-которым соответствуют два постоянных направления векторов (О1 и (Оз, удовлетворяющие поставленной задаче. Величины векторов определяются уравнением (10) они удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям второго порядка [c.154]

Применение этого метода встречает, однако, затруднение. Алгебраическое решение системы уравнений (19), (20) приводит к уравнению четвертой степени, и предшествующие вычисления вводят корни этого уравнения. Мы не будем останавливаться на этом осложнении вычислительного характера. [c.263]

Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида и sin будет во всяком [c.239]

Уравнение (5.26) является вековым уравнением, кубическим относительно I, и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путем направление соответствующей главной оси. [c.176]

С помощью этого равенства и уравнений (5.50) и (5.51) функции ф(0 и г )(<) также можно получить посредством квадратур. Однако полином, стоящий под корнем интеграла (5.56), является кубическим, и, следовательно, этот интеграл может быть выражен только через эллиптические функции. Подробное исследование получающихся таким путем решений можно найти в ряде книг ), однако, как и в случае свободного движения твердого тела, здесь физическая сторона явления часто в значительной степени затемняется вследствие большого количества [c.188]

Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчивости, можно разбить на некритические и критические. В некритических случаях вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно для решения задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю. [c.532]

Рассмотрим зависимость мультипликаторов системы (3) (а следовательно, и ее характеристических показателей) от малого параметра е. Так как правые части системы (3) аналитичны по , то и фундаментальная матрица решений X t, е) также аналитична по е. Отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения (14) — аналитические функции е. Но мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. Они будут обязательно аналитическими, если характеристическое уравнение при = О имеет только простые корни. Если же при = О уравнение (14) имеет кратные корни, то аналитичность его корней относительно е при е О может не иметь места. Отметим, однако, что независимо от наличия при = О кратных корней корни уравнения (14) при 7 О, во всяком случае, непрерывны по е [c.551]

Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний. [c.180]

Формы равновесия, возникающие во второй точке бифуркации Вг, неустойчивы, поскольку наличие неположительных корней характеристического уравнения приводит к тому, что общее решение дифференциальных уравнений (относительно Дф1 и Дф2) выражается через гиперболические функции (аналогично тому, как это показано в таблице 18.2) и с течением времени происходит неограниченный рост Дф1 и Дфг. [c.325]

Вид решения определяется корнями Х . уравнения (3. 10). Минимальную частоту собственных колебаний отдельной оболочки определим как наименьшее значение частоты, при котором 64=0 [52]. Минимальной частоте соответствуют корень Х=0 и форма колебаний оболочки как кольца Н/1Е=0. При частоте <о влияние сил инерции на деформации оболочки невелико, все корни имеют действительную часть ВеХу=4=0. Уравнение 4 (со)=0 [c.124]

Задаваясь одним из значений а или Ь с учетом неравенства (194), получаем из (196) уравнение с одним неизвестным, корни которого определят искомое неизвестное значение параметра, недостающего для окончательного решения задачи синтеза системы. При этом, конечно, возникнут чисто алгебраические трудности, так как величина р, входящая в выражение у , содержит а и Ь под знаком радикала. [c.143]

Как видно, решение возможно, если дискриминант вещественного уравнения (2.23) не обращается в нуль. В противном случае, как известно, существует кратный корень уравнения, обращающий в нуль, кроме левой части уравнения (2.23), также производную левой части данного уравнения. Но производная левой части уравнения (2.23) стоит множителем при в уравнении (2.24) и попадает в знаменатель выражения (2.25) для а°, а значит определение соответствующей моментной части корня теряет смысл. [c.29]

Но очевидно, что при обращении в нуль дискриминанта уравнения (2.23) решение все же существует, если одновременно со знаменателем обращается в нуль и числитель (2.25). Это будет в том и только в том случае, когда кратный корень уравнения (2.23) будет одновременно и корнем уравнения (2.24). Положим, что а — корень k-n кратности уравнения (2.23) и корень [к — 1)-й кратности уравнения (2.24). [c.29]

Если дискриминант главной части заданного комплексного уравнения равен нулю, то главная часть уравнения имеет кратный корень, но в этом случае определение моментной части корня, вообще говоря, невозможно, и решение уравнения теряет смысл. Если при этом указанный кратный корень обращает в нуль также и моментную часть уравнения, то моментная часть корня неопределенна. [c.33]

Полное решение уравнения (2.12) складывается из только что найденного частного решения и одного из решений (2.4), (2.7) или (2.9) в зависимости от значений корней характеристического уравнения (2.3). [c.48]

Вид решения определяется корнями Ху уравнения F (X) = 0. Минимальную частоту собственных колебаний отдельной оболочки м определим как наименьшее значение, при котором 64 = 0. Этому условию и корню X = 0 соответствуют колебания оболочки как кольца Л = 0. При частоте а> (и влияние сил инерции на деформации оболочки невелико, все корни имеют действительную часть Ке X,- 0. Уравнение (со) = 0 имеет три корня со, со", со". Если частота равна одному из этих значений, то решение имеет особенность, характерную для кратных корней линейных дифференциальных уравнений. Помимо указанных частот имеются другие, когда уравнение Т (X) имеет кратные корни. Поскольку при наличии кратных корней Ху матрица А становится вырожденной, она не может использоваться непосредственно для расчета составной конструкции и должна быть преобразована. Другая цель преобразования матрицы А — получить матрицу с действительными Элементами, так как, используя матрицы с комплексными элементами, мы теряем в точности расчета. [c.20]

Для решения этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим соответствующее характеристическое уравнение /. -j- А = 0. Корни характеристического уравнения равр(ы — и решение уравнения запишется в виде [c.188]

Из уравне14ий (21) и (22) видно, что для корней первого частот-нога уравнения частное решение будет иметь вид [c.630]

Подставляя один из корней уравнения (11.208) в системули-нейных алгебраических уравнений (11.207), найдем, что одно из уравнений этой системы является следствием остальных. Отбрасывая это уравнение, можно, как и в 91, написать решение системы (11.207) в следующем виде [c.259]

При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нулшо прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один корень, вещественная часть которого положительна, то вопрос об устойчивости решен и нет смысла исследовать элементарные делители, т. е. решать задачу более сложную. Точно так же задача сразу решается, если корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с нулевой вещественной частью соответствуют простые элементарные делители), а остальные кропи имеют отрицательную вещественную часть. [c.146]

Решение этого уравнения дает три вещественных корня оц Ог, Оз (при этом 01>а2>(Тз)- Эти три напряжения называются главными. Внося последовательно эти корни в уравнения (1.4) и присоединив к ним уравнение (1.5), находят величины направляющих косинусов для каждого главного напряжения. Определив напрявляющие косинусы, можно заключить, что главные площадки, соответствующие значениям главных напряжений о, 02, Оз, являются взаимно перпендикулярными. Значения главных напряжений не могут зависеть от направления осей координат, поэтому коэффициенты уравнения (1.4) Яь аг, аз должны сохранить свои величины при любом выборе осей координат. Многочлены, образующие эти коэффициенты, называют инвариантами преобразования координат. [c.10]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

Услолием существования отличных от пуля решений и является равенство нулю определителя этой системы, приводящее к дисперсионному квадратному уравнению для определения (А ), корни которого имеют вид [c.311]

Трансцендентное характеристическое уравнение (л) имеет бесконечное множество корней p.i = fei i, отсюда ki = iilh- Тогда общее решение (и) уравнения (16.1) является суммой всех частных решений [c.247]

Наконец, перейдем к вопросу решения системы уравнений. Для решения систем уравнений МКЭ применяют как прямые, так и итерационные методы. Причем последние обычно используют в тех случаях, когда объем оперативной памяти не позволяет хранить всю глобальную матрицу даже с учетом ленточного симметричного вида. Из прямых методов хорошо зарекомендовал себя на практике и получил широкое распространение метод квадратного корня. Этот метод пригоден только для систем линейных уравнений с симметричной матрицей и по затратам машинного времени примерно вдвое быстрей метода исключения Гаусса. В математическом обеспечении ЭВМ имеются стандартные программы, реализующие метод квадратного корня. Предусмотрен и случай систем с ленточной матрицей (стандартная подпрограмма МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [15]). В заключение подчеркнем, что использование той или иной стандартной подпрограммы решения системы уравнений требует определенного способа записи глобальной матрицы в одномерный массив. Применяемые способы различны для разных подпрограмм, т. е. может организовываться запись по [c.146]

Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню к р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Ху р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частвт существует и линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае. [c.239]

Поскольку нас интересуют лишь корни характеристического уравнения, поз-воляюш,ие судить об устойчивости или неустойчивости формы равновесия, общего решения задачи не ищем. [c.324]

В формуле (13.10) первое слагаемое учитывает влияние переходных процессов. Проведение оценок (13.10) исключает необходимость интегрирования системы дифференциальных уравнений движения, отыскания всех корней характеристического уравнения и вычетов относительно полюсов подыинтегральных функций. Все вычисления выполняются в компактной форме с использованием аппарата матриц. Проведение уточненных оценок требует разбиения периода Т на несколько участков, для которых определяются коэффициенты /л , ni Нетрудно видеть, что при такой форме записи решения вопрос об экстремальных значениях характеристик решается весьма просто. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...