Колебание стержней. Примеры

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Пример б.З. Рассмотрим поперечные колебания стержня из вязкоупругого материала, описываемые уравнением [c.251]

На рис. 1.9 приведен пример следящей силы Р. Внутри пустотелого консольного стержня движется жидкость со скоростью W. На конце стержня имеется участок, повернутый на угол а, что приводит к появлению сосредоточенной силы Р, зависящей от скорости потока жидкости п сохраняющей свое направление в базисе еу (при е=1). На рис. 1.10 схематично показана технологическая операция сверления глубоких отверстий (м — угловая скорость вращения сверла). При потере статической устойчивости стержня или при малых изгибных колебаниях стержня (сверла) можно считать, что главная часть момента резания (крутящего момента Tj) является следящим крутящим моментом. На рис. 1.11 приведен пример, где реализуется следящая распределенная нагрузка q. По пространственно-криволинейному [c.24]

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ. [c.2]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Рассмотрим более подробно алгоритм получения определителя О на примере колебаний плоского кругового стержня (рис. 4.11) с промежуточными опорами. Колебания стержня происходят в плоскости чертежа. Возникающие [c.93]

Рассмотрим пример приближенного определения первых двух частот стержня постоянного сечения (рис. 4Л6). Ограничимся случаем колебаний стержня в плоскости чертежа. [c.112]

Метод начальных параметров. Метод начальных параметров был изложен в 4.1, поэтому рассмотрим конкретное применение этого метода на примере прямолинейного стержня, состоящего из трех участков /, // и III (рис. 7.10,а). Стержень растянут силой Pj-j. поэтому Q q=Px . Рассматриваются колебания стержня в плоскости чертежа, поэтому воспользуемся уравнениями (7.17)— [c.187]

Вынужденные установившиеся колебания. Рассмотрим точное решение уравнения вынужденных колебаний стержня при установившихся колебаниях на конкретном примере (рис. 7.17). К стержню в сечении К приложен сосредоточенный гармонический момент. Уравнение вынужденных колебаний для стержня постоянного сечения без учета сил сопротивления имеет вид [c.206]

Определение вероятностных характеристик решения. В гл. 6 были рассмотрены случайные колебания пространственно-криволинейных стержней. Для случая колебаний прямолинейных стержней приведенные в гл. 6 соотношения существенно упрощаются. Но проще получить для этого частного случая все необходимые соотношения, рассмотрев, например, уравнение (7.167). Рассмотрим стационарные случайные колебания на примере стержня, приведенного на рис. 7.19,6. Сила Р есть стационарная случайная функция с известными вероятностными характеристиками, в частности известна ее спектральная плотность 5р((о). Рассмотрим случайные колебания стержня с учетом сил вязкого сопротивления [c.216]

Рассмотрим в качестве примера параметрических колебаний стержень постоянного сечения, лежащий на упругом основании (рис. 7.29). Стержень нагружен осевой периодической силой. Требуется получить области главного параметрического резонанса методом Рэлея, ограничившись первым приближением (одночленным). Уравнение изгибных параметрических колебаний стержня имеет вид [c.230]

МОЙ ЖИДКОСТИ. Были приведены примеры (см. рис. В.13—В.15 ч. 1) из разных областей техники, где используются стержни с внутренним потоком жидкости. Стационарный поток жидкости создает статическое напряженно-деформированное состояние стержня, которое необходимо учитывать при выводе уравнений малых колебаний стержня, так как от статического напряженного состояния зависят числовые значения частот стержня. Рассмотрим пример, поясняющий вышесказанное. [c.257]

В результате получаем стержень, нагруженный осевой растягивающей силой Qio, зависящей от скорости потока w, а от осевой силы зависят частоты колебаний стержня. Более подробно этот пример рассмотрен в 9.2. [c.257]

Определим в качестве примера первые две частоты колебаний стержня, показанного на рис. 9.1. Из системы (9.25) получаем уравнение (полагая Ро = 0) [c.262]

Рассмотрим в качестве примера определения собственных значений прямолинейный участок трубопровода с упругой опорой (рис. 9.3). Если в уравнении (9.27) малых колебаний прямолинейного трубопровода положить 1с = 0, то получим уравнение колебаний стержня, показанного на рис. 9.3. Можно воспользоваться и системой уравнений первого порядка (9.25), что более удобно при численном счете. Полагая [c.267]

В разное время однако во всех сечениях эти изменения будут повторяться через одинаковые промежутки времени Т . Иначе говоря, в стержне возникают продольные упругие колебания с периодом определяемым свойствами стержня (на величину периода могут влиять также условия на концах стержня пример этого будет приведен ниже). [c.660]

Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп ш pq с, координатами х и х + dx соответственно. Фиксируя некоторый момент времени t, когда сечение тп занимает положение т п, сечение pq — положение p q, обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была X, через и. Смещение и является функцией двух переменных — времени t и координаты в недеформированном состоянии X, поэтому смещение сечения с координатой x + dx будет [c.187]

В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях стержня длиной I, един конец которого закреплен, а на другом имеется груз массой М (рис. 6.6.2). [c.190]

Пример 20. Исследовать колебания стержня АВ, вызываемые ударами кулачной шестерни (рис. 32), по данным угловая скорость шестерни со в момент каждого удара неизменна, ее момент инерции относительно оси вращения У ., масса стержня т, коэффициенты жесткости пружин Сх и с промежутки времени между ударами т = 7 с, где —период свободных колебаний стержня. Удар считать неупругим начальная скорость стержня (в момент первого удара) Оо=0. Сопротивлением пренебречь. [c.74]

Для того чтобы продемонстрировать метод исследования и установить влияние вязкоупругого демпфирования на динамические характеристики, рассмотрим простой пример крутильных колебаний стержня из композиционного материала, а затем исследуем те же эффекты в более общем случае. [c.166]

Рассмотренный простой пример примечателен тем, что п нем аналитическое решение удалось довести до конца. К сожалению, ато можно сделать лишь в немногих случаях. Часто задачи оптимизации оказываются аналитически неразрешимыми даже в аналогичных простых постановках. Так, при определении максимальной первой собственной частоты изгибных колебаний стержня заданной массы М,,, заделанного на одном конце и свободного на другом, уравнения движения и оптимальности имеют вид [356] [c.264]

В качестве примера вычислим собственную частоту и основные формы поперечных колебаний стержня, один конец которого защемлен, а другой свободен. Предположим, что G=oo, k—i), [c.80]

Прежде всего укажем, на то, что даже не меняющаяся по времени осевая сила, оказывает влияние на поперечные и крутильные колебания стержня. В качестве примера приведем приближенное вычисление частоты собственных крутильных колебаний призматического вала (фиг. 41, а), шарнирно опертого по концам, с массой т, сконцентрированной посредине его длины и сжимаемого осевой силой S. [c.114]

Пример. Определить частоты собственных колебаний стержня, жестко защемленного левым концом и опирающегося на пружину задан-ной жесткости с добавочной массой на правом конце (фиг. 63), [c.406]

Взаимодействие параметрической колебательной системы с источником энергии удобно рассмотреть на примере простой механической модели, изображенной на фиг. 5. Упругий стержень АВ подвергается действию периодической силы в направлении оси х, вследствие чего изгибная жесткость стержня испытывает периодические изменения. При определенных условиях эти изменения могут стать причиной возникновения колебаний стержня в направлении оси у. [c.85]

В качестве примера падения некоторых собственных частот с увеличением частоты вращения могут служить колебания системы, показанной на рис. 6.34. Здесь две группы радиальных консольных стержней закреплены на вращающемся кольце (оболочке). Первая группа — стержни, ориентированные свободными концами в сторону действия центробежных сил, а вторая — в противоположную. Увеличение частоты вращения приводит к росту собственных частот системы, характеризующихся преобладанием изгибных деформаций стержней первой группы и, напротив, вызывает падение частот системы, которым свойственно преобладание изгибных колебаний стержней второй группы, [c.116]

Пример 1. Рассмотрим продольные колебания стержня (рнс. 4, д) возбуждаемого силой Q И) = Уравнение движения (34) и краевые условия запишем в виде [c.133]

Пример 2. Рассмотрим продольные колебания стержня с присоединенной к его концу массой т (рис. 4, б) Отыскивая движения сечений стержня вида и (дг, I) = запишем [c.134]

Рассмотрим особенности моделирования в задачах о начальными и граничными условиями на примере вынужденных поперечных колебаний стержня о учетом внутреннего трения в материале. [c.63]

На примерах, рассмотренных в этой и предшествующей главах, достаточно ярко показаны ширина и сила метода Рэлея при применении его как к задачам колебаний, так и к задачам устойчивости упругих систем. По существу оба класса задач не отличаются друг от друга. Так, например, в 514—517 силе растяжения Т можно дать отрицательное значение, и тогда мы будем иметь дело со случаем поперечных колебаний стержня, подверженного действию силы сжатия на концах. Из уравнения (36) видно (в нем теперь Т отрицательно), что, при возрастании силы сжатия, р может переменить знак. Следовательно, период колебания окажется сначала бесконечным, а потом мнимым. [c.645]

В качестве примера рассмотрим свободные поперечные колебания стержня постоянного поперечного сечения, шарнирно закрепленного на обоих концах. Здесь формы нормальных колебаний, как было доказано в 214 главы VI, определяются формулой [c.647]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

Получим уравнения малых случайных колебаний стержней, осевая линия которых есть плоская кривая. На рис. 8.1, б ъ качестве примера показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном состоянии (q = 0), так и в нагруженном (q Ф 0) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа если пружину отклонить относительно плоскости - возникнут малые пространственные колебания. Соответствующие уравнения можно получить из системы (8.58)—(8.62), положив [c.347]

К книге Применение потенциалов... приложены Дополнительные замечания... Они представляют большую ценность. В одном из них излагается теория колебаний стержня. В качестве первого примера Буссинеск рассматривает тонкий однородный полубесконечный стержень, ось которого простирается [c.395]

В приведенных ранее примерах вынужденных колебаний упругого трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем интенсивность внешней поверхностной нагрузки принималась постоянной внутри области воздействия. Ее форма в произвольный момент времени была прямоугольной. Интерес представляют также колебания стержня, вызванные поверхностными нагрузками других форм, в частности, синусоидальной. [c.266]

Примеры расчета колебаний стержней при различных нагрузках. Стержневые системы употребляют в ультразвуковой технике в качестве, волноводов, т. е. устройств, с помощью которых колебания электромеханического преобразователя [c.118]

Рассмотрим стержень со свободными концами как пример расчета колебаний стержней с различными типами закрепления. [c.133]

Для частного случая кругового стержня, когда Изо=соп51, системы (3.68) и (3.69) можно свести к одному уравнению. В качестве примера получим уравнение колебаний стержня в плоскости осевой линии [из системы (3.68)]. Исключая последовательно из уравнений системы Оз, Аиз, АС и АС 2. получим после преобразований уравнение относительно иг [c.66]

В качестве второго примера рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.2. Сте(ржень нагружен следящими силой Ро и моментом М.О. постоянны.ми во времени. Равновесная форма осевой линии стержня (например, прямолинейного до нагружения) есть пространственная кривая. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т. Примем приближенно, что точка О (центр масс) совпадает с центром то рцового сечения стержня. Для следящих сил уравнения малых колебаний стержня в связанной системе координат будут однородными, так как проекции следящих сил и моментов в уравнения движения в связанной системе координат не входят. В данном примере имеем следующие краевые условия 1) е=-0, ио(0)=0,до(0)=0 2) в—1, АМ(1)- М =0, АО( 1) + Л = 0, где М , — соответственно момент инерции и сила инерции, дей- [c.80]

Вынужденные колебания, вызванные кинематическим возбуждением. На рис. 7.21,а в качестве примера колебаний с кинематическим возбуждением показан стержень, сечение которого при е=е имеет заданное гармоническое перемещение. Если мысленно отбросить устройство, через которое осуществляется принудительное перемещение сечения К, то на отерн ень при колебаниях действует некоторая неизвестная сила P i) (рис. 7.21,6). В результате имеем задачу о вынун денных колебаниях стержня, нагруженного сосредоточенной периодической силой. Аналогичная задача, только при действии сосредоточенного момента Т (т), была рассмотрена ранее. [c.211]

Стесненное кручение. Кручение называется стесненным, если деплаиация неоднородна вдоль стержня. Примером является кручение стержня некругового сечения, один конец которого жестко закреплен, моментом сил, приложенным к другому концу. Деплана-ция в закрепленном сечении, очевидно, равна нулю, а на проти-воноложном конце она отлична от нуля. Стесненное кручение имеет место при неравномерном нагружении стержня моментами сил и при крутильных колебаниях. [c.159]

В качестве второго примера рассмотрим изгибные волны в тонком стержне с периодическими сосредоточенными препятствиями, оказывающими сопротивление перерезывающей силе. Очевидно, что приведенный выше вывод дисперсионного уравпепия может быть неренесен на этот случай без изменений. Считая, что изгибные колебания стержня подчиняются уравнению Бернулли — Эйлера (5.22), и записывая его функцию Грина в виде [c.184]

Замечание. Для стержней переменного сечения задачу о собственных колебаниях решают приближенными методами (см. гл. X). Точное решение в бесселевых функциях возможно для балок в форме клина или конуса. Примеры применения приближенных методов для определения собственных частот и собственных форм изгибных колебаний стержней можно найтн в [2, 35, 87, 100, 109]. [c.200]

Другие примеры иараметрических колебаний распределенных систем. Примеры систем, в которых изменение параметров можно увидеть непосредственно из расчетной схемы, показаны на рис. 7, а и б. В первом случае изгибные колебания стержня возбуждаются за счет периодического изменения во времени коэффициента упругости опоры, во втором случае — за счет периодического изменения длины стержня. В обоих случаях изменение параметров системы в процессе изгибных колебаний требует поступления энергии от внешнего источника. [c.246]

Изгибно-крутильиые колебания стержней 156, 157, 200, 201 Изгибные колебания 193—200 — Влия ние начальных усилий 199, 200 — Краевые условия 153, 154, 193, 194 —Примеры 195—196— Собственные формы 195 — Собственные частоты 195 — [c.343]

Для вывода уравнений вибрации многослойных конструкций воспользуемся методом динамических жесткостей. ytb метода поясним на простом примере. Рассмотрим продольные колебания стержня с массами на концах. Уравнение продольных колебаний и его общее решение имеют вид [c.251]

Примером другой сложной ситуации, связанной с потерей устойчивости, является стержень, нагруженный следящей силой, те. силой, которая сохраняет направление конца стержня, к которому она приложена (рис. 12.37). Исследования показывают, что при такой нагрузке у стержня имеется единственное состояние равновесия — прямолинейное. Так как по критерию Эйлера (см. 12.2) в критическом состоянии должны появляться смежные состояния равновесия, то казалось бы, прямолинейное состояние такого стержня можно считать устойчивым всегда. Но такое заключение ошибочно, поскольку появление смежных форм равновесия — липть один из возможных признаков потери устойчивости. Исследование движения стержня, нагруженного следящей сжимающей силой, показывает, что существует такая сила, при превышении которой малые возмущения приводят к колебаниям стержня с нарастающей амплитудой. Причиной такого поведения является неконсервативность следящей силы. Напомним, что консервативной силой пазыва- [c.405]

ЮТ такую, работа которой определяется только начальным и конечным состоянием. Работа же неконсервативной силы зависит от нути, каким система нришла из начального в конечное состояние. В нашем примере при превышении силой критической величины колебания стержня происходят таким образом, что на каждом цикле колебаний сила совершает положительную работу, которая идет на увеличение потенциальной энергии деформаций (ведь рассеивание энергии не учитывается). Потому-то и начинают нарастать деформации. [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...