Резонанс параметрический главный

Рассмотрим в качестве примера параметрических колебаний стержень постоянного сечения, лежащий на упругом основании (рис. 7.29). Стержень нагружен осевой периодической силой. Требуется получить области главного параметрического резонанса методом Рэлея, ограничившись первым приближением (одночленным). Уравнение изгибных параметрических колебаний стержня имеет вид [c.230]

Приравняв определитель системы (7.256) нулю, получаем уравнение, из которого определяем границы главной области параметрического резонанса [c.231]

К сосредоточенной массе (рис. 7.40) приложена периодическая сила, направленная под углом а к оси Х2. Требуется определить (приближенно) уравнения границ главной области параметрического резонанса. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением. [c.233]

Тот факт, что главный параметрический резонанс возникает при б = 2Q, легко поддается объяснению — за то время, которое необходимо, чтобы любая точка оси балки совершила один цикл колебания, центр сечения, совпадающего с шарнирно подвижной опорой, совершает два цикла колебания вдоль оси стержня. [c.463]

Рис. 18.116. График зависимости амплитуды колебаний при главном параметрическом резонансе от частоты а) в случае нелинейной упругости (штриховой линии соответствует неустойчивость) 6) в случае нелинейного затухания в) в случае нелинейной инерционности (штриховой линии соответствует неустойчивость).

Таким образом, основная собственная частота условного осциллятора оказалась равной 2pi, что при некоторой периодической пульсации частоты исходной системы соответствует зоне главного параметрического резонанса. В дальнейшем на этом интересном и вполне закономерном результате мы остановимся подробнее. [c.147]

Указанному интервалу в первом приближении отвечает область главного параметрического резонанса исходной системы. [c.150]

Периодическое изменение жесткости приводит к вынужденным колебаниям с Частотой 2(йс с резонансом при 2(0 = Q и к параметрическим колебаниям с главной областью при 1/2 ги>( = Q, где Q — низшая собственная частота поперечных колебаний системы. Малый коэффициент ц для обычных подшипников (2 6) ив целом Немалое демпфирование в подшипниках качения заставляют предполагать, что Параметрические колебания в подшипниках качения не могут иметь существенного значения [c.177]

Приближенный расчет производят с использованием усеченных определителей [9]. Для главного параметрического резонанса [c.126]

Критические значения коэффициентов возбуждения. Наименьшее значение коэффициента возбуждения, при котором возможно возникновение неустойчивости, называют критическим. Приближенное критическое значение для главного параметрического резонанса в системе, описываемой уравнением (20), легко найти из соотношения (39) [c.126]

На рис. 5.2 представлены результаты расчетов по изложенной методике. Сплошными линиями показаны границы области устойчивости при возрастании уровня замыкания п (область устойчивости слева от границ). При выбранных параметрах затухания и широкополосности (г, а) характерным является существенное снижение критической дисперсии воздействия при 0 = 2Q (аналог главного параметрического резонанса). [c.144]

Более существенное количественное и качественное влияние оказывают аддитивные помехи (рис. 5.4, б). Как видно на графиках, интенсивное широкополосное воздействие может резко исказить форму области динамической неустойчивости, соответствующей чисто периодическому возбуждению. При этом зона главного параметрического резонанса сглаживается , в зоне малых частот область неустойчивости расширяется. [c.147]

Из полученных соотношений для передаточной матрицы видно, что в спектре колебаний помимо частот возмущений (Oj имеются частоты (oj 0д. Наличие переменных коэффициентов в уравнениях оказывает влияние и на резонансные свойства вибрации. При параметрическом резонансе колебания с возрастающей амплитудой имеют место в некоторых интервалах значений параметров системы, в то время как при обычном резонансе они наступают при определенных значениях параметров системы. Кроме того, амплитуды возрастающих колебаний при параметрическом резонансе изменяются по показательному закону, а при точечном резонансе — по степенному. Обычный резонанс наступает при совпадении частот возмущений с частотами собственных колебаний. Параметрический резонанс возможен, когда частоты изменения параметров 0 кратны собственным частотам системы. Границы главных областей неустойчивости определяются зависимостями, представленными в работе [П4]. Введение демпфирования сужает области параметрического резонанса. [c.684]

Наибольший интерес представляет область неустойчивости, лежащая около частоты 0 = 20г, которая называется главной областью динамической неустойчивости. Сплошные области, в пределах которых система становится неустойчивой, — специфическая черта параметрических систем. Резонанс системы, наступающий при частоте внешнего возмущения, равной удвоенной частоте собственных частот, называется основным параметрическим резонансом. [c.195]

Существует принципиальная возможность параметрического возбуждения колебаний оболочки под действием переменного электрического поля. Технически наиболее простым представляется возбуждение главной моды [п — 2) в зоне основного резонанса (к = 1) при соответствующем выборе параметров системы. [c.61]

Уравнения (56) подробно исследованы в книге [7]. Важнейший результат, относяш,ийся к главной области параметрического резонанса, состоит в следующем помимо резонанса вблизи соотношения 0 = 20, возможно возбуждение поперечных колебаний 9 = ш/ (ш/ — частота продольных колебаний). [c.366]

Физическое истолкование результата. Вблизи 9 = со имеет место резонанс продольных колебаний, вследствие чего резко возрастает динамическая продольная сила в стержне. Поэтому жесткость стержня по отношению к поперечным колебаниям вблизи 0 = ш/ является периодической функцией времени с большой амплитудой изменения. Главные области параметрического возбуждения при отсутствии демпфирования показаны на рис. 10. При больших значениях коэффициента возбуждения ц области сливаются. [c.366]

Графики зависимости амплитуды Uq от частоты возбуждения 0 схематически показаны на рис. 12, а—в в окрестности главного параметрического резонанса. [c.368]

Избежать параметрических резонансов радиальных колебаний практически невозможно. Однако благодаря малости общего числа фазовых колебаний в ускорителе и затуханию их по мере ускорения частиц, а также отсутствию максимально выраженных параметрических резонансов возрастание радиальных колебаний под влиянием фазовых колебаний в общей сложности не превышает нескольких десятков процентов (и происходит главным образом на начальной стадии ускорения). [c.215]

Кроме главных, возможны еще и комбинационные параметрические резонансы. Границы зон комбинационных областей неустойчивости определяются из соотношения [c.119]

Как следует из анализа уравнений (5.60), в области главного параметрического резонанса имеем возрастающее по амплитуде колебание. [c.120]

Для нижней критической частоты главного параметрического резонанса и для соответствующего ей значения амплитуд колеба- [c.386]

Основное уравнение параметрических колебаний (151) называется уравнением Матье. Решения этого уравнения носят колебательный характер и главным образом зависят от конкретных значений параметров а и q. В одних случаях данной комбинации а и q соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других - колебания с возрастающими амплитудами. Основную практическую важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс, и система неустойчива. [c.159]

Рассмотрим область неустойчивости, связанную с параметром а, равным единице. Если в уравнении (7.221) положить О2=0, то получим уравнение свободных колебаний (без сил сопротивления) с частотой р1 =а. После перехода к времени п [соотношение (7.223)] получаем а=4р1 /(о2. Параметр а равен единице при ы=2р1, т. е. при частоте изменения параметра ш, равной удвоенной частоте свободных колебаний системы. Область неустойчивости на диаграмме Айнса — Стретта, соответствующая а=1, называется областью главного параметрического резонанса. Области, связанные с точкой а=4, соответствуют условию а)=р1. Из рассмотрения полученных областей неустойчивости (диаграмма Айнса — Стретта) следует одна из основных особенностей параметрических колебаний, из-за которой эти колебания представляют большую опасность в технике. Неустойчивые колебания (параметрические резонансы) возможны не для одной фиксированной частоты (О, как, например, при обычных резонансах, а для интервала значений со. [c.223]

Обсуждаемый здесь резонанс, называемый параметрическим, возникает вследствие изменения параметра системы (в данном случае сжимающей силы). В отличие от обычного резонанса, имеющего место при совпадении частот собственной и вынуждающей сил, параметрический резонанс возникает при совпадении возбуждающей частоты с удвоенной частотой собственных колебаний (главный резонанс). Во-вторых, возбуждение резонансных колебаний возможно при частотах, меньщих, чем частота главного резонанса. В-третьих, [c.463]

X os Рт +sin Наряду с главным параметрическим резонансом (Р = 20 наблюдается аналог второ1 о параметрического резонанса при р = Q. Теоретические результаты этого явления были отмечены в работе [12] и рассмотрены в гл. VI. [c.222]

На рис. 4 изображены первые три области неустойчивости на плоскости (i,, т] = = (u/2 oo. Клииья областей примыкают к частотам (24). Относительная ширина области главного параметрического резонанса имеет порядок .i. [c.123]

Относительная ширина областей иеустойиивости. Пусть система с несколькими степенями свободы находится под действием гармонического параметрического возбуждения. Если все элементы матрицы F в уравнении (46) имеют одинаковый порядок, то относительная ширина всех главных областей неустойчивости, измеряемая по отношениям частот, имеет одинаковый порядок (i,. При слабой связи между обобщенными координатами области комбинационных резонансов могут оказаться уже областей простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы F в главных осях матрицы А С равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными элементами, то области простых резонансов будут уже областей комбинационных резонансов того же порядка. Например, при = О формула (50) указывает на слияние границ основного резонанса (в действительности ширина этой области может иметь порядок или менее). [c.131]

Из рис. 10 видно, как посипедователыюе возрастание параметра р влияет на устойчивость системы в присутствии параметрических сил Вычисления проделаны для случая, когда функ ция Ф (О имеет вид (30) При р = О области иеустоЛчивости весьма похожи на изображенные на рис. 9, г. С ростом ji появляются аналоги главных простых резонансов oj = 2oj и со = Зш,, однако соответствующая область неустойчивости имеет необычную серповидную форму (рис. 10, а) При дальнейшем увеличении р области неустойчивости приближаются к оси частот, а прн > р все точки на этом оси принадлежат области неустончивостм (рис 10, в) Но при этом обнаруживаются изолированные области устойчивости, которые соответствуют некоторым достаточно большим значениям коэффициента возбуждения [c.134]

Для критического значения частоты возбуждения в области главного параметрического резонанса справедливо приблил<енное соотношение [c.16]

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Наряду с главным параметрическим резонансом (у = 2) появляется побочный резонанс при 7 1. При малых частотах (у < 1) переход от устойчивости к неустойчивости носит квазимонотонный характер и определяется свободным членом характеристического уравнения (5.117). При частотах у> 1 характер неустойчивости становится колебательным и определяется главным минором Гурвица. Увеличение параметра широкополосности v, характеризующего нерегулярность изменения угла дифферента, приводит к тому, что гиротахометр становится менее чувствительным к параметрическим резонансам в окрестности у = i у = 2. При этом колебательный характер его неустойчивости начинает проявляться и при частотах у <С I [c.172]

Из этого условия следует, что величина Е = сод2 мала, а это, в свою очередь, дает возможность использовать асимптотические методы Н, Н, Боголюбова и Ю. А. Митропольского [10], развитые в работах [114, 115, 116] для параметрических систем с флюктуирующими параметрами. Эти методы позволяют исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения по малому параметру. Для того чтобы исследовать основной параметрический резонанс, необходимо учитывать члены только первого порядка. Ограничимся исследованиями основного параметрического резонанса, так как в приложениях он играет главную роль. [c.190]

Области неустойчивости, лежащие вблизи частот, соответствующих формуле (38), называют основными областя.ии [5] остальные области — комбинационные. Последнее название подчеркивает тот факт, что колебания внутри этих областей осуществляются главным образом за счет взаимодействия какой-либо пары форм колебаний. Это непосредственно следует из формул (40) и (41), в которые в симметричной форме входят две собственные частоты й/ и й. Аналогично можно говорить об основных и комбинационных параметрических резонансах. [c.361]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...