ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебание стержней. Примеры из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Будем предполагать, что стержни приходят в контакт, если расстояние между концами В, С стержней становится равным расстоянию межмолекуляр-ного взаимодействия. Тогда оба стержня можно рассматривать как части одного стержня при условии, что обе эти части находятся в контакте до тех пор, пока они давят одии на другой, т. е. пока растягивающее усилие в точке контакта отрицательно. Они разъединяются, когда общее растяжение в точках S н С становится положительным. Как только это происходит, стержни начинают двигаться как отдельные тела, однако их взаимодействие может возобновиться, если в этом движении концы В п С снова сблизятся на расстояние межмолекулярного взаимодействия. [c.500] Для определения ф н используем следующие условия 1) при i = О имеем v— V для всех д отл =Одол = I v = О для всех д от л = до д = /j -f /y s = О для всех J от д -- - О до л = Ч , 2) при х = О всегда s = О, и прн х= li- - 1% всегда S = 0. [c.500] Легко находим, что ф н г 5 представляют собой одну и ту же функцию и что кривая у = (х) состоит из ряда последовательно чередующихся прямолинейных отрезков, длины которых равны 2li и 2/ , а ординатами являются и О соответственно. Они представлены на рис. 59. Ось у разделяет систему симметрично. [c.500] После того как вид кривой у = f (х) установлен, следующее простое правило дает возможность найти в любое время i состояние движения точки Р, отстоящей от А на расстояние х. [c.500] Чтобы определить, разъединятся ли стержни, необходимо установить, когда общее растяжение в точках В н С исчезнет н станет положительным. Поэтому пусть R н R выходят из S и S. Сначала ординаты точек R к R равны О и VaK соответственно. Через время t = 2lja точка R достигнет В и ее ордината станет равной иулю. Поскольку 1 li, то точка R еще не достигнет Е, где DE = BD, и ее ордината по-прежнему будет равна нулю. Следовательно, величииы u и s в этот момент времени становятся равными пулю в точке контакта В. [c.500] В момент t= 21 /а точка R, выходящая из С, достигает и ее ордината становится равной Тогда в точке С растяжение становится положительным, а скорость равной так что вследствие обеих этих причин конец С начинает удаляться от конца В. Если бы стержни оставались в контакте, то растяжение и скорость в точке В сразу претерпели бы подобные изменения, однако это ие так в данном случае. Поскольку весь стержень ЛВ в этот момент находится в состоянии мгновенного покоя и не подвержен растяжению, конец В остается неподвижным. [c.501] В результате имеем 1) стержни давят одни на другой в течеиие промежутка временн IJa-, 2) они находятся в контакте без взаимодействия в течеиие промежутка временн 2 (li — У/а 3) затем стержень D отделяется от АВ, оставляя последний в покое и в недеформированном состоянии. [c.501] Если стержни имеют разные начальные скорости, скажем Fj и V i, то можно свести этот случай к рассмотренному, сообщая дополнительно каждой точке обоих стержней скорость, равную и противоположную Vi. Общие результаты не изменятся, только стержень АВ в конце не будет неподвижным, а будет иметь скорость Ка. [c.501] При ударе этих двух стержней полный импульс М V одного нз стержней перейдет к другому, центр тяжести которого, следовательно, станет удаляться со скоростью Vljl . Живая сила также перейдет ко второму стержню, ее часть преобразуется в живую силу поступательного перемещения, а оставшаяся часть, т. е. (1 — /i/Q, — в энергию (кинетическую и потенциаль ную) внутренних колебаний. Эга внутренняя энергня равняется нулю, если стержни имеют одинаковую длину. [c.501] Полезно сравнить результаты, даваемые теорией, с теми, которые дает экспериментальный ньютонов закон удара (т. 1, п. 179). Так как при ударе, очевидно, происходит потеря живой снлы, то стержни (хотя и предполагаются упругими) в формуле Ньютона должны рассматриваться как абсолютно неупругие Нетрудно вндеть, положив и = О в этой формуле, что коэффициент е равен lylli. Заметим, что этот эффект зависит пе только от характера материала. [c.501] Пуассон для рассмотренного нм случая также привел соответствующие выражения. [c.501] Пример 4. Два стержня с длинами 1 , соударяются н в момент контакта движутся со скоростями Ух, У2, имея растяжения равномерно распределенные по длине стержней. Пусть величины азх, У - - положительны и оба значения первой из них больше, чем значение второй. Доказать, что стержни будут давить однн на другой в течение интервала времени 2/1/а, останутся в контакте, не взаимодействуя, на время (/ — если /2 2/1 и затем, если5а О, разъединятся. Еслн s О, то онн снова приходят в соприкосновение в течение времени 2/1/а, прекраш,ают взаимодействовать на время (/2 — и затем разъединяются. [c.502] Пусть точка Р ненатянутой струны занимает положение Р па струне в ее натянутом состоянии, и если струна совершает движение, пусть ее положением в момент / будет Р. Обозначим через х, х абсциссы точек Р и Р1, а через х = = д - - у — коордннаты точки Р положим также х х - г 1х. Пусть /, / — длины ненатянутой и натянутой струны, т, т — их массы на единицу длины тогда га/= га /, . с// — Х] 1. [c.502] Первый член выражает работу, совершаемую при растяжении элемента длины dx до значения длины dxi, и сейчас его следует опустить. [c.503] Назовем осью линию, проведенную через центры тяжести каждого поперечного сечеиия. Возьмем ось АВ в положении равновесия в качестве оси х, и пусть колебания происходят в плоскости ху. Обозначим через D плотность стержня, через (О — площадь попереч1Юго сечения и через (ut — момент ннерцни поперечного сечения относительно прямой, проходящей через его центр тяжести и перпендикулярной к плоскости колебаний. [c.503] Пусть Р — произвольная точка на оси стержня отрёзок АВ конечной длины находится в равновесии под действием поперечных эффективных снл и снл, приложенных к концам А и В. Обозначим через х абсциссу точки Р в положении равновесия, а через ( т , т]) — ее координаты в момент времени t. [c.503] Пусть действие части АР стержня на РВ приводится к I) двум силам X, К, направленным параллельно осям коордииат и приложенным в точке Р, и 2) паре сил I, направление которой считается положительным, еслн оно противоположно направлению хода стрелок часов. Точно так же пусть в точке В силовое воздействие на произвольную точку М со стороны стержня приводится к Хх, Ух и 1. Реакции, действующие на отрезок РВ стержня, равны —Хх, —Ух и —Ьх. В положении равновесия У к Ух равны нулю, и если Т — заданное растягивающее усилие в стержне, то X =. 1 — Т. Следовательно, во время движения величины У, Ух малы и X, Х1 мало отличаются по направлению от силы Т. [c.504] В силу одной теоремы статики можно написать L = F/p, где р — радиус кривизны в точке Р, F = (Е л -f- Т), Е — постоянная, зависящая от материала стержня и обычно называемая модулем Юнга (см. замечания в конце то.ма). Момент L в уравнении (1) взят с положительным знаком поэтому, учитывая, что стержень стремится выпрямиться, имеем L = —F/p. [c.504] Оба эти результата нетрудно также получить из рассмотрения сил, приложенных к элементу в точке Р. [c.505] Вернуться к основной статье