Уравнение моментов относительно мгновенной оси

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). Нри таком подходе отпадает необходимость в уравнении движения центра масс. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид [c.47]

Уравнение моментов относительно мгновенной оси. Когда тело движется в пространстве и имеет одну степень свободы, то, вообще говоря, не существует мгновенной оси вращения. Однако, как было доказано в п. 225, движение твердого тела всегда можно представить как результат вращения тела около центральной оси и его перемещения вдоль той же оси. [c.392]

Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. 39). Конечно, частота этих колебаний не может зависеть только от масс, но зависит н от их распределения. Система представляет собой своеобразный физический маятник, и квадрат частоты свободных колебаний пропорционален статическому моменту веса и обратно пропорционален моменту инерции маятника относительно мгновенной оси. [c.438]

Для этого составим уравнение моментов сил относительно мгновенной оси вращения катка - точки Р, [c.156]

При равномерном качении колеса для определения движущей силы Р, приложенной к оси колеса, составляется уравнение моментов относительно точки В, которая рассматривается как мгновенный центр поворота колеса [c.107]

Обозначим через Ог вертикаль, вдоль которой конус касается стены в положении равновесия. Пусть в момент времени i коиус касается стены по образующей ON, где гОЫ = а. Обозначим через ОА ось конуса. Разлагая силу тяжести на две составляющие, параллельную и перпендикулярную прямой ON, и, вычисляя моменты этих составляющих относительно мгновенной оси вращения ON конуса, получаем уравнение = —(g sin сг) sin р. Далее, при повороте конуса вокруг прямой ON на угол 6 dt центр А основания конуса переместится на расстояние (а sm р) 0 dt, поэтому, если перпендикуляр к 0N обозначить через ОП, то точка Я переместится на такое же расстояние. Но это перемещение равно OH-da, т. е величине а os р da. Поэтому имеем 0 tg р = сг. Подставляя это значение 6 в приведенное уравнение и значение из примера 7 п. 17, без труда находим длину эквивалентного математического маятника. [c.434]

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного в одной точке. В этом случае тело не может совершать поступательного движения, так как скорость одной его точки всегда равна нулю, и движение можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, которая изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но все время проходит через неподвижную точку тела. Мы могли бы выбрать три неподвижные оси, проходящие через эту точку, и написать уравнения моментов (13.25) относительно этих трех осей. Однако положение этих осей в теле, вообще говоря, будет изменяться, и связь между моментами импульса относительно трех осей и скоростями точек тела будет сложной. С другой стороны, если мы выберем оси, жестко связанные с телом, то связь между моментами импульса относительно этих осей и скоростями точек тела будет достаточно простой, но определение характера движения этих осей окажется сложной задачей. Поэтому мы не будем рассматривать в общем виде задачу о движении тела, имеющего одну закрепленную точку, а ограничимся только специальным, но важным случаем, когда тело быстро вращается вокруг мгновенной оси, а требуется определить, как будет двигаться эта ось под действием внешних моментов. [c.446]

Непрерывное движение. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в теле есть некоторая линейчатая поверхность 2, уравнение которой может быть получено путем исключения t из уравнений (О) этих осей в подвижной системе координат. Геометрическое место тех же осей в абсолютном пространстве, т, е. относительно неподвижной системы координат, представляет собой другую линейчатую поверхность, уравнение которой получается из уравнений (D ). В произвольный момент времени обе эти поверхности имеют общую образующую, которая является мгновенной винтовой осью для этого момента. Более того, они касаются друг друга вдоль этой образующей. В самом деле, вообразим некоторую точку М, описывающую на неподвижной поверхности произвольную кривую таким образом, что в каждый момент времени I она находится на мгновенной оси, являющейся для этого момента общей образующей. Эта же точка описывает относительно движущегося тела некоторую кривую, расположенную на связанной с телом подвижной поверхности Е. В момент I абсолютная скорость этой точки М касается в М поверхности 21, а ее относительная скорость относительно тела касается в М поверхности Е. Наконец, переносная скорость Vg, возникающая вследствие движения тела, направлена вдоль общей образующей МО, так как все точки тела, принадлежащие этой образующей. являющейся мгновенной винтовой осью, только скользят вдоль нее. Так как вектор есть геометрическая сумма векторов V,. и Vg, то все эти три вектора лежат в одной плоскости. Плоскость и Vg, т. е. плоскость и МО, касается поверхности Е1 плоскость У и Уд, т. е. плоскость У и МО, касается поверхности 2. Так как обе эти плоскости совпадают, то поверхности 2 и, 21 касаются друг друга в точке М. Но эта точка взята на образующей произвольно. Следовательно, поверхности 2 и 21 касаются вдоль всей образующей. [c.74]

С другой стороны, моменты относительно оси вращения АВ внешних сил, каковыми являются вес и реакции линеек, равны 0. Поэтому если исследовать движение тела вокруг своего центра тяжести G, для которого АВ является главной осью инерции, то одно из уравнений Эйлера покажет, что в этом движении составляющая г по оси АВ мгновенной угловой скорости вращения тела постоянна. Отсюда еще один первый интеграл. [c.230]

Мгновенный центр ускорений. Приравняем правую часть векторного равенства (11,1) к нулю. Тогда мы получим уравнение Для радиуса-вектора Pq такой точки Q твёрдого тела, ускорение которой в рассматриваемый момент равно нулю. Эта точка носит название мгновенного центра ускорений. Рассмотрим указанное уравнение, определяющее положение мгновенного центра ускорений Q относительно системы осей Л г С, неизменно связанных с телом, написав его в следующем виде [c.114]

Следует заметить, что уравнения (56) представляют в точности те уравнения, которые могли бы быть получены из формул (51) и (53) при выражении того обстоятельства, что скорости изменения моментов количеств движения по отношению к фиксированным осям, совпадающим с мгновенными положениями осей эллипсоида, равны соответствующим моментам внешних сил. Уравнения (56) действительно эквивалентны системе (13), причем L, М, N теперь должны относиться только к одним возмущающим силам, так как при том распределении давления, которое дается формулой (54), моменты этих давлений относительно указанных осей будут равны нулю. Нетрудно также и непосредственно показать тождественность уравнении (56) и (13). [c.919]

Уравнения (12) называются динамическими уравнениями Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки. В левые части этих уравнений входят три неизвестные функции р, г, которые представляют собой проекции мгновенной угловой скорости на подвижные оси. хх, уу, гг — осевые моменты инерции относительно главных осей. В общем случае моменты внешних действующих снл зависят от положения (ориентации) тела по отношению к неподвижным осям, т. е. от углов Эйлера [c.436]

Пусть N — сила нормального давления тела на сферу в точке их соприкосновения, <о — мгновенная угловая скорость сферы, Va — скорость точки А сферы при ее скольжении на наклонной плоскости, Узе, Jyy Jz — моменты инерции сферы относительно подвижных осей координат. Движение точки С определяется уравнениями [c.57]

Уравнения движения передней стойки шасси самолета. Составим линеаризованные уравнения движения рассматриваемой системы при малых отклонениях от стационарного состояния. Пусть А — момент инерции стойки с колесом относительно оси Оуъ В — момент инерции относительно оси О — центробежный момент инерции относительно этих осей, С — момент инерции колеса относительно оси собственного вращения. Согласно рис. 6.27 и таблице (3.1) мгновенная угловая скорость системы имеет проекции на оси (с точностью до малых величин 2-го поряд- [c.379]

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x y z , начало которой находится в некоторой точке — полюсе, жестко связанном с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) в том же виде, как и относительно неподвижного начала (или неподвижной оси). [c.39]

Заметим, что появление мгновенных сил Р , Р .....р1 приложенных к телу, имеет следствием появление в тех точках, в которых укреплена ось вращения, соответствующих реакций, которые гакже имеют характер внешних мгновенных сил. Но эти мгновенные реакции не входят в написанное уравнение, так как их моменты относительно оси вращения г равны нулю. [c.307]

Эта задача может быть легко решена первым методом. В самом деле, если два перпендикуляра к осям Ох, Оу в точках А и В пересекаются в точке Ы, то точка N представляет собой мгновенный центр вращения. Вычисляя моменты относительно точки Ы, получаем уравнение [c.396]

Отсюда находим решение задачи о движении под действием мгновенных сил. Действительно, так как речь идет о твердом теле, вращающемся вокруг оси Ох, то единственной проекцией угловой скорости, не равной нулю, будет р (угловая скорость вокруг неподвижной оси), и мы будем иметь (гл. IV, п. 20) К . — Ар, где А обозначает момент инерции твердого тела относительно Ох. Поэтому уравнение (24) можно написать в виде [c.479]

Рассмотрим теперь двухмассовую систему XVI на рис. 1.2, особенности которой уже отмечались. Начало процесса колебаний можно представить, например, следующим образом. Пусть на диски действуют две равные и противоположно направленные скручивающие пары, которые в некоторое мгновение (принимаемое за начало отсчета времени) внезапно исчезают. Для некоторого мгновения / > о углы поворота дисков равны ф и фа, так что относительный угол поворота равен фз — ф . Момент сил упругости вала составляет с (фа — Фа) и действует на каждый из дисков так, как показано на рис. 11.6. Обозначив через и моменты инерции масс дисков относительно оси вала, получим уравнения движения [c.26]

Вышеописанные движения представляют собою хотя и самые простые, однако не единственные установившиеся движения, возможные для твердого тела, когда на него не действуют внешние силы. Мгновенное движение тела в некоторый произвольный момент, согласно хорошо известной теореме кинематики, представляет некоторое винтовое движение для того, чтобы это движение было установившимся, необходимо, чтобы при движении не менялось положение импульса (которое неизменно в пространстве) относительно тела. Для этого необходимо, чтобы ось винтового движения совпадала с осью соответствующего импульсивного винта. Так как общие уравнения прямой линии содержат четыре независимых постоянных, то это условие приводится к четырем линейным соотношениям, которые должны удовлетворяться пятью отношениями и о г р д Г. При рассмотренных здесь обстоятельствах для всякого тела существует, таким образом, просто бесконечная система возможных установившихся движений. [c.212]

Правая часть этого уравнения представляет собой па основе п. 340 момент сил относительно мгновенной оси вращения и, следовательно, в нашем случае равна выражению gr sin ф. Подставляя значение drldQ, определяемое первым из вспомогательных уравнений п. 501, уравнение движения представим в виде [c.447]

Мгновенную ось можно было бы принять ia ось моментов. Тогда момент натяжения нити был бы равен нулю (сила натяжения нити проходит через мгновенную ось), и угловое ускорение было бы обусловлено моментом силы тяжести относительно этой оси, Это представление очень наглядно, но при составлении уравнения моментов возникли бы затрудтюпия. С одной стороны, нужно было бы принять во внимание момент сил инерции (который относительно оси, не проходящей через центр тяжести, не равен нулю). С другой стороны, нужно 6i>uno бы вычислять момент импульса относительно оси, которая не остается неподвижной в теле (мгиовенная ось перемещается относительно диска). [c.420]

Если равенства (22) продифференцировать по времени и подставить в формулы (20), то получим дифференциальные уравнения движения твердого тела, выраженные через параметры, значения которых для каждого твердого тела могут быть определены. Формулами (14) и (20) непосредственно не пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения гироскопов, так как в общем случае, поскольку тело Т вращается относительно неподвижных осей агд Уа-< 2д и в каждое мгновение занимает новое положение относительно этих осей, моменты инерции Jx, Jy, 12, Jху1 XX и Jyz не остаются постоян- [c.36]

Из Езлоясенного следует, что вектор ш можно в каждый момент рассматривать, как угловую скорость соответствующего тангенциального двия1е]Ч я поэтому вектор ш просто называют угловой екоростъю твердого движения в данный момент. Прямая, проходящая через точку О параллельно вектору m (т. е. ось слагающего вращения при несобственном разложении тангенциального винтового движения, отнесенного к точке О), назы вается мгновенною осью вращения относительно полюса О. Ось тангенциального винтового движения, которая в каждый момент параллельна вектору <о, называется просто осью или центральной осью движения в рассматриваемый момент 2). Центральная ось движения, естественно, вообще меняет свое положение с течением времени как по отношению к подвижным, так и по отношению к неподвижным осям координат. По самому своему определению, она в каждый момент представляет геометрическое место точек, в которых скорость в этот момент параллельна мгновенной угловой скорости поэтому на основе соотношений (27) ее уравнения по отношению к подвижным осям суть [c.181]

Аксоиды твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Когда твёрдое тело движется вокруг неподвижной точки О, то мгновенная ось вращения ( 62), перемещаясь как в самом теле, так и в неподвижной среде, описывает в этих средах две конические поверхности, носящие названия подвижного и неподвижного аксои-дов. Уравнения этих поверхностей найдутся, если исключить время из двух уравнений (9.17) на стр. 87 для неподвижного аксоида и из двух уравнений (9.11) на стр. 85 для подвижного. Подвижной аксоид, будучи неизменно связан с движущимся телом, вместе с ним перемещается в пространстве. Две рассматриваемые конические поверхности в каждый момент времени имеют общую образующую, являющуюся мгновенной осью вращения для взятого момента. Движение подвижного аксоида происходит так, что он катится по неподвижному без скольжения. Другими словами, оба конуса во всё время движения касаются друг друга по общей образующей кроме того, любая точка мгновенной оси за один и тот же промежуток времени проходит по обеим поверхностям пути одинаковой длины. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно показать, что скорости произвольной точки мгновенной оси в двух движениях, в неподвижной среде и относительно движущегося тела, между собою равны. Пусть Р—произвольная точка мгновенной оси вращения и пусть Гр и рр—её радиусы-векторы, проведённые из неподвижной точки О тела в ненодвижной среде и в движущемся теле очевидна, [c.101]

Существует один метод выбора указанных осей, преимущество которого состоит в том, что он упрощает уравнения движения. Пусть система осей 0 , От), 0 движется вокруг центра тяжести как начала координат с такой угловой скоростью, что если бы в какой-нибудь момент времени изменяющееся тело мгно-монио стало твердым, то движеиие осей в течение времени dt было бы таким же, кик если бы они были неподвижны в теле. Эти оси обладают свойством, что момент количеств движения изменяющегося тела относительно каждой нз них р. шен моменту количеств движения абсолютно твердого тела, связанного с осями и и.чеющего такие же мгновенные моменты инерции и центробежные моменты инерции, как и изменяющееся тело. Моменты количеств движения, следова-чельно, могут быть выражены с помощью обычных формул, установленных для твердого тела, а именно — ЕО. ,. .. [c.31]

М. Р. Mortell [3.1371 (1969) изучал реакцию сферической оболочки при симметричном относительно вертикальной оси деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вырезом (0 = 0о), к краю которой мгновенно прикладывается распределенный изгибающий момент Mq. Исследуется распространение волновых фронтов методом преобразования Лапласа при малых временах. В отличие от обычно применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в виде асимптотических разложений по обратным степеням параметра преобразования р и подставлены в исходные уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко решаются. Решение получено в промежутке 6o<0движения волнового фронта до 0=я и обратно. Выделены и исследованы сингулярные решения при 0 = л. Для больших времен решение выгодно строить методом разложения по собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения волновых фронтов оказывается затруднительным. [c.226]

Будем называть ю вектором мгновенной угловой скорости, а прямую, на которой располагается этот вектор в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О, осью мгновенного вращния, или, короче, мгновенной осью. В общем случае эта ось перемещается относительно системы координат 1, 5з, жестко вязанной с телом. Это следует из того, что уравнение мгновенной оси в этой системе будет иметь вид [c.43]

Для стабилизации мгновенной оси вращения относительно оси Эйлера могутбыть использованы моменты следующей структуры (см. выражения к уравнениям (4.45)) [c.477]

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ, преобразование системы сил, приложенных к тв. телу, в другую, эквивалентную ей систему, в частности простейшую. В общем случае любая система сил при приведении к произвольному центру (центру приведения) заменяется одной силой, равной геом. сумме (главному вектору) сил системы и приложенной к центру приведения, и одной парой сил с моментом, равным геом. сумме моментов (главному моменту) всех сил относительно центра приведения. ПРИВЕДЁННАЯ МАССА, условная характеристика распределения масс в движущейся механич. или смешанной (напр., электромеханич.) системе, зависящая от физ. параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и т. д.) и от закона её движения. В простейших случаях П. м. ц определяют из равенства T= ivV2, где Т — кинетич. энергия системы, v — скорость нек-рой характерной точки, к к-рой приводится масса системы. Напр., для тела, совершающего плоскопараллельное движение, при приведении к его центру масс С будет fi=[l+(P / i ) ]"i где т — масса тела, Рс— радиус инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр С, h — расстояние от центра масс до мгновенной оси вращения (в общем случае величина переменная). ПРИВЕДЁННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ, параметры термодинамически равновесной системы (давление, объём, темп-ра и др.), отнесённые к их значениям в критическом состоянии. Ур-ние, связывающее П. п. с., напр. Ван-дер-Ваальса уравнение при не слишком низких темп-рах, одинаково для всех газов (закон соответственных состояний), т. к. не содержит физ.-хим. констант, характеризующих индивидуальные в-ва. См. Уравнение состояния, Соответственные состояния. [c.585]

Решение. Уравнение движения маятника переменной массы получим, приравняв произведение мгновенного значения момента инерции маятника относительно оси подвесана проекцию углового [c.578]

Каждая из винтовых линий МдЛ1 и М М является геометрическим местом точек, которыми в процессе зацепления зуб одного колеса касается последовательно зуба другого колеса. Эти линии называют контактными. В любом сечении цилиндров плоскостью, перпендикулярной к их осям, находится только одна точка зацепления (точка перес-ечения плоскости с линией зацепления МоМ), в которой в некоторый момент времени происходит совпадение двух точек, принадлежащих различным контактным линиям, т. е. происходит касание сопряженных поверхностей зубьев. Поэтому зацепление М. Л. Новикова называют точечным. Таким образом, в отличие от обычных эвольвентных косозубых колес здесь образуется не поле зацепления, а линия зацепления. Кроме точки зацепления в упомянутой плоскости находится также мгновенный центр относительного вращения, соответствующий этой плоскости. Мгновенный центр перемещается по оси Р Р от точки Ра к точке Р с такой же скоростью, с какой точка зацепления перемещается по линии зацепления М М, и описывает на равномерно вращающихся начальных цилиндрах винтовые линии РцР и Р Р. Точки контактных линий, совпадающие в точке зацепления, имеют различные скорости. Например, скорость Vmi точки Ml, принадлежащей первой контактной линии, равна произведению OiM fflj и перпендикулярна к 0,уИ, а скорость Vm, точки М , принадлежащей второй контактной линии, равна произведению О М 2 и перпендикулярна к О М. Относительная скорость Vm.m, этих точек, являющаяся скоростью скольжения контактных линий одной по другой, связана со скоростями Vm, и Vm, векторным уравнением [c.226]

Для дипольного момента в экваториальной плоскости, перпендикулярного оси вращения, второй член пропадает, следовательно, мгновенная ось прецессии совпадает с направлением вектора дипольного момента D. Из уравнения (3.8) очевидно, что ось прецессии совпадает с осью Оу и, если момент D коммутируется и фазируется соответствующим образом относительно инерциаль-ной системы координат Oxyz, в которой Оу направлена вдоль оси вращения, а Му лежит в плоскости, определенной вектором вращения и вектором направления на Солнце, может выполняться коррекция положения оси собственного вращения спутника. [c.119]

Уравнения (а) и (Ь) определяют одну и ту же прямую линию— винтовую ось. Но при движении твердого тела мгновенное распределение скоростей непрерывно меняется со временем. При этом изменяются величины Vo и . При непрерывном изменении коэффициентов уравнения (а) и (Ь) в каждый следующий момент будут вообще определять уже другую прямую. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в неподвижном пространстве Охуг называют неподвижным аксоидом, а геометрическое место мгновенных винтовых осей, определенных относительно системы отсчета OiXiyiZ , — подвижным аксоидом. Эти геометрические места (аксоиды) представляют собой линейчатые поверхности, имеющие в каждый момент по меньшей мере одну общую прямую — мгновенную винтовую ось. [c.81]

Дифференциальные уравнения относительного диижениядиска около его цс тра тяжести получатся теперь при помощи закона изменения момента количеств движения, когирый устанавливает, что производная по оремени полного момента количеств движения любой дзижу-ш,ейся системы относительно любой неподвижной оси равна полному моменту внешних сил относительно той же оси. При вычислении производной момента количеств движения относительно поступательно движуш,ихся осей, проходяш,их через мгновенное положение иентра тяжести О, мы учтем только относительное движение ). [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...