Пути к хаосу

Путь к хаосу через удвоение периода. Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. Затем, по мере изменения какого-либо параметра эксперимента — назовем его X — происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С дальнейшим изменением X система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения X, при которых происходят последовательные удвоения периода, подчиняются при л — 00 следующему автомодельному соотношению (см. также гл. 1) [c.64]

Рис. 2.17. Схематическое изображение движения пары связанных осцилляторов и плоскость Пуанкаре, которая позволяет проследить квазипериодический путь к хаосу.

Путь к хаосу через удвоение периода. [c.309]

Аналогичные пути к хаосу обнаружены не только в жидкостях, но и в других системах. Например, в лазерах порог генерации соответствует бифуркации Хопфа, а распад лазерных импульсов в ультракороткие импульсы — бифуркации предельного цикла в тор. При других условиях периодическое движение по предельному циклу может сменяться хаотическим режимом или, точнее, периодическими колебаниями, модулированным хаотическим движением. Исследование сценариев для широких классов систем и разработка методов построения общей картины — важная задача будущего. [c.309]

Путь к хаосу через удвоение периода. Последовательность Фейгенбаума [c.397]

Одним из типичных примеров самоорганизации диссипативных структур является переход ламинарного течения жидкости в турбулентное. До недавнего времени он отождествлялся с переходом к хаосу. В действительности же обнаружено, что в точке перехода путем самоорганизации диссипативных структур происходит упорядочение, при котором часть энергии системы переходит в макроскопически организованное вихревое движение, схематически представленное на рис. 3. Таким образом, гидродинамическая неустойчивость при переходе ламинарного течения в турбулентное связана с образованием динамических диссипативных структур в виде вихрей. [c.23]

С ростом степени стеснения пластической деформации плотность дислокаций увеличивается, что приводит к хаосу в структуре — беспорядочному распределению дислокаций. Диссипация упругой энергий при нагружении металлов и сплавов может происходить также путем образования двойников мартенсита деформации, путем поворота структурных элементов и др. [100], но и эти процессы требуют движения дислокаций других точечных дефектов. [c.104]

Во = 0) может быть несимметричным (рис. 9.15, б — е), во-вторых, переход к хаосу происходит путем бифуркаций удвоения периода, а при дальнейшем увеличении В наблюдаются обратные бифуркации (рис. 9.15, г и ж)- При еще больших В появляются островки периодических движений. Так, например, на рис. 9.15 д ж и изображены фазовый портрет и спектр движения с утроенным периодом. [c.273]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

В данной главе мы будем иметь дело со вторым, совсем иным, типом хаоса. Мы будем исходить из полуклассических уравнений для лазера, которые, очевидно, являются детерминированными и никаких флуктуаций заранее не содержат. Тем не менее мы увидим, что решения уравнений соответствуют излучению, которое ведет себя случайным образом. Однако это случайное поведение отличается от той хаотичности, о которой мы говорили в связи с тепловым излучением здесь большое число атомов, действуя когерентно, дает хаотический лазерный свет. Данная глава посвящена этому новому типу хаотического излучения. Сначала мы приведем пример, а затем обсудим критерии, на основе которых можно решать, является ли излучение хаотическим или, допустим, только квазипериодическим. После этого поговорим о некоторых простых механизмах, которые могут привести к генерации хаотического света. В заключение покажем, что возможны разные пути установления хаоса, начинающиеся с обычного одномодового режима лазера. [c.204]

Рис. 8.5. Переход (а—д) к хаосу путем удвоения периода, наблюдавшийся в Не—К е-лазере непрерывного действия [8.16]. Последовательность осциллограмм получена за счет изменения наклона одного из зеркал относительно положения, соответствующего точной юстировке.

Некоторые из перечисленных выше путей возникновения хаоса можно наблюдать в настоящее время с помощью лазеров (рис. 8.5— 8.7), и в физике лазеров открываются широкие возможности исследования новых механизмов. В последующих разделах мы рассмотрим ситуации, в которых может наблюдаться или уже наблюдался хаотический лазерный свет. Обсуждение математических деталей, связанных с различными механизмами возникновения хаоса, выходит за рамки данной книги, и я отсылаю заинтересованных читателей к моим книгам [8.5, 8.6], в которых рассмотрены эти проблемы. [c.217]

Замечательной особенностью перехода к хаосу путем бесконечной цепочки бифуркаций удвоения является его свойство универсальности [15]. Оказалось, что интервал изменения параметра Ь, внутри которого существует цикл периода 2 , с ростом п сужается по закону геометрической прогрессии [c.478]

Как было показано во введении, при изменении управляющего параметра система может, последовательно теряя устойчивость, переходить из одного состояния в другое. Структуры, возникающие после того, как предыдущее состояние становится неустойчивым, могут быть различного типа. Если мы ограничимся только временными структурами, то речь может идти о стационарном состоянии, периодическом движении, квазипериодическом движении, хаосе и различных переходах между этими состояниями в точках, где происходит потеря устойчивости. Такие переходы приводят, например, к затягиванию или захвату частоты, удвоению периода (генерации субгармоники с вдвое меньшей частотой). Весьма важен вопрос о том, какая последовательность переходов характерна для той или иной конкретной системы. Такого рода последовательности принято называть путями, в особенности если они ведут к турбулентности, или хаосу ( путь к турбулентности ). Теоретическое обсуждение пути обычно называют сценарием, или картиной. [c.306]

Как ранее отмечалось, приложение волнового принципа — процесс творческий, который нельзя уложить в прокрустово ложе механически исполняемых действий и точных математических формул. И все же сторонник волнового принципа, рискующий совершенно конкретными суммами, не является эдаким свободным художником , действующим без жестких правил, четких предписаний и ограничений. Путь к эффективной работе лежит вовсе не через хаос, бессистемность или произвол в мыслях и делах. Необходимо придерживаться определенных принципов , которые служат единственной опорой в условиях, когда ни в чем другом нет стопроцентной уверенности. [c.220]

Три недели тому назад, анализируя перед вами современное состояние системы теоретической физики и ее вероятное дальнейшее развитие, я старался главным образом показать, что в теоретической физике будущего наиболее важным и окончательным подразделением всех физических явлений будет подразделение их на обратимые и необратимые процессы. В следующих затем лекциях мы видели, что с помощью теории вероятностей и с введением гипотезы элементарного хаоса все необратимые процессы могут быть разложены на элементарные обратимые процессы, другими словами, что необратимость не является элементарным свойством физических явлений, а является исключительно свойством скопления многочисленных однородных элементарных явлений, из которых каждое в отдельности вполне обратимо, и обусловлена особым, именно макроскопическим, способом рассмотрения самого явления. С этой точки зрения можно с полным правом утверждать, что в конце концов все явления природы обратимы. Необратимость явлений, образованных из средних значений элементарных явлений, т. е. макроскопических изменений состояния, не противоречит этому утверждению, — это я подробно излагал в третьей лекции. Я позволю себе здесь сделать одно более общее замечание. Мы привыкли искать в физике объяснения явлений природы путем разложения их на элементы. Мы рассматриваем каждый сложный процесс, как состоящий из элементарных процессов, анализируем его, рассматривая целое как совокупность частей. Этот метод, однако, предполагает, что при таком подразделении характер целого не меняется, совершенно так же, как каждое измерение физического явления происходит в предположении, что введение измерительных инструментов не влияет на ход явления. Здесь мы имеем случай, когда вышеупомянутое условие не выполняется и где прямое заключение о целом по части привело бы к ложным результатам. Действительно, как только мы разложим какой-либо необратимый процесс на элементарные составные части, беспорядок исчезает, и сама необратимость, так сказать, ускользает из-под рук. Таким образом, необратимый процесс останется непонятным тому, кто стоит на той точке зрения, что все свойства целого могут быть выведены из свойств его частей. Мне кажется, что с подобным затруднением мы встречаемся также в большинстве вопросов, касающихся духовной жизни человека. [c.571]

В случае б вид аттрактора и характер точечного отображения существенно отличаются от случая а (рис. 9.38). Зависимость х от X, построенная нэ основе точечного отображения на секущей плоскости х = —0,13 (рис. 9.38,6) по форме близка к параболе (рис. 9.38, в). Переход от периодического режима к хаотическому при изменении параметров наблюдался только путем бифуркаций удвоения периода. По сравнению со случаем а спектр колебаний в режиме хаоса является более узким, а корреляционная функция спадает медленнее (рис. 9.39). [c.300]

Мы оставляем читателю в виде упражнения установить связь между этой системой и уравнениями (8.3) — (8.5) путем перенормировки переменных. ] Далее мы хотим осуществить минимальную программу получения хаоса. Поскольку зависящая от времени величина представляет собой новую переменную, мы попытаемся провести дальнейшее упрощение уравнений (8.28) — (8.30). В зависимости от того, какую величину мы будем исключать, мы будем приходить к разным моделям. Перейдем к обсуждению этих моделей, [c.218]

Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еше несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха-узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение. [c.66]

Перемежаемость. На третьем пути к хаосу длительные интервалы периодического движения перемежаются со вспышками хаоса. Эта схема называется перемежаемостью. По мере изменения параметра вспышки хаоса становятся все более частыми и длительными (см., например, [125]). Сообщалось об указаниях на эту модель предхаотического состояния в экспериментах с конвекш<ей в ячейке (замкнутом прямоугольном объеме) с градиентом температуры (на- [c.68]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

Здесь автор считает своим долгом предупредить читателя о необходимости соблюдать осторожность. Термин универсальный используется применительно к одномерным отображениям (S.3.3). Существует много хаотических явлений, которые описываются двумерными отображениями или отображениями более высокой размерности (см., например, задачу о продольно изогнутом стержне в гл. 2). В такого рода случаях удвоение периода может быть одним из возможных путей к хаосу, но существует и много других последовательностей бифуркащ1й, приводящих к хаосу другими путями, минуя удвоение периода (см., например, работу Холмса [76]). [c.173]

Отображения такого рода встречаются также в теории Ньюхау-са—Рюэля—Такенса квазипериодического пути к хаосу. [c.287]

Динамические структуры могут возникать в различных средах. Из гидродинамики хорошо известно, что при определенной скорости движения жидкости ламинарное течение сменяется турбулентным. До недавнего времени этот переход отождествляли с переходом к хаосу. В действительности же обнаружено, что в точке перехода путем самоорганизации диссипативных сфуктур происходит упорядочение, при котором часть энергии системы переходит в макроскопически организованное вихревое движение. Переход от ламинарного течения к турбулентности является примером реализации гидродинамической [c.62]

Следовательно, мы должны были привнести их в окончательный результат, используя соотношение (11.2.14). Напротив, исходя из уравнения Больцмана, мы использовали для описания процесса столкновения точную динамическую модель. Наш расчет [равноценен явному вычислению функций памяти ф (Q) и а (Т) в рамках предложенной модели. Наградой служит тот факт, что теперь равновесное распределение следует из модели, а не привно- сится в нее. Поэтому уравнения Больцмана и Ландау представляют значительный шаг вперед на пути к разработке микроскопической теории неравновесных процессов. Однако не следует забывать о том, что уравнение Больцмана было выведено отнюдь не безупречным способом и что важная гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz) находится в очевидном противоречии с механи- кой. Невозможно утверждать, что мы обладаем строгой микроскопической теорией необратимости до тех пор, пока не выясним этот важный вопрос. Указанная проблема рассматривается в общей теории, которая ввиду ее более абстрактного характера будет изложена в заключительной части книги. [c.48]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

Появление резонанса в динамических макросистемах означает, что в фазовом пространстве возникают точки, в которых невозможно вычислить траектории, так как они отвечают одной из форм детерминированного хаоса, связанного с неустойчивостью системы. В случае квантовых систем это условие отвечает коллапсу волновой функции, а классических " разбеганию траекторий. Таким образом, И. Пригожин показал, что хотя основной объект квантовой механики волновая функция удовлетворяет обратимости во времени, без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро-, так и в системах наномира нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию. [c.67]

Хотя основной объект квантовой механики - волновая функция -удовлетворяет обратимости во времени, но без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро-, так и в наносистемах нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию [5]. [c.67]

В основе возникновения стохастических и хаотических движений лежат гомоклинические структуры, именно они порождают сочетание неустойчивости, локального разбегания и общего сжатия. Вместе с тем переход от устойчивости к неустойчивости требует исчезновения устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических движений или достаточно большого увеличения их иериодов, точнее, длин соответствующих фазовых кривых. Устойчивые периодические движения и состояния равновесия могут потерять устойчивость или исчезнуть лишь несколькими вполне определенными способами. В этом смысле можно говорить о различных путях перехода к хаосу и стохастичности. Эти возможные пути были описаны в 1 этой главы. Позволим себе их вкратце перечислить. [c.214]

Л 2 = 1), при т< = О неустойчиво. Во втором случае соответствующее состояние равновесия ( 1 = N2 = 2/3) при Т( = 0 устойчиво. В работе детально исследуется именно второй случай. Результаты исследования следующие. При увеличении %1 и Тг стационарное состояние теряет устойчивость и возникают периодические колебания численности видов. При дальнейшем увеличении и Тг возникают области хаотических режимов, причем переход к хаосу происходит путем последовательности бифуркаций удвоения периода (рис. 9.123). Так, например, при Т1 = 16, и увеличении Т2 каскад бифуракций удвоения периода начинается при Т2 0,77. После его завершения возникает хаоти- [c.378]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Заголовок главы 8 таков Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос и пути возникновения хаоса . Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей главе система динамических уравнений для самопульсирующего лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор устанавливается соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики, описывающих конвекцию в ячейке Бенара. Основная часть главы отведена вопросам хаотизации характеристик лазерного излучения, экспериментальным иллюстрациям процессов удвоения периода, перемежаемости, перехода в пичковый режим и т. п. Читателю, желающему изучить этот круг вопросов более подробно и основательно, следует обратиться к уже цитированным монографиям Г. Хакена [1, 2], а также к статьям советских авторов [25, 26], [c.7]

Новые горизонты в теории лазера открылись в 1968 г., когда было замечено, что переход в каждом лазере от спонтанного излучения к генерации обнаруживает большое сходство с фазовыми переходами в системах, находящихся в тепловом равновесии. Лазер стал первым примером, в котором удалось установить детальную аналогию между фазовыми переходами в системе, далекой от теплового равновесия, и в равновесной системе [Грэхэм и Хакен (1968, 1970 гг.) Де Джорджо и Скалли (1970 г.) Казанцев и др. (1968 г.)]. Вскоре оказалось, что существует целый класс систем, в которых могут возникать макроскопические упорядоченные состояния вдали от теплового равновесия. Это дало толчок рождению новой области научных исследований, так называемой синергетике . Тем самым может быть установлена глубокая аналогия между совершенно различными системами в физике, химии, биологии и даже в гуманитарных науках. В развитии этого нового направления лазер сыграл пионерную роль. В рамках синергетики стало возможным сделать новые предсказания о поведении лазерного излучения. Например, на основе аналогии между динамикой жидкости и лазерным излучением удалось предсказать явление <ихаосау> в излучении лазера (Хакен, 1975 г.). Различные пути установления хаоса в лазерном излучении могут быть выявлены экспериментально. Мы вернемся к этим увлекательным вопросам в гл. 8. [c.31]

Эти уравнения позволяют рассмотреть следующие вопросы (среди других) сдвиги частоты генерации, синхронизацию частот, пульсации заселенностей активную и пассивную синхронизацию мод, незатухающие колебания, ультра короткие импульсы, хаос в лазерном излучении и пути к нему, фотонное эхо распространение волны в инвертированном веществе, оптическую биста бильность, двухфотопный лазер и все вопросы, указанные в п. 1. [c.34]

Интуиция говорит нам, что эта система изменится в желательном направлении. Но на самом деле исследователи хаоса обнаружили, что наиболее вероятно возникновение крупн 1х осцилляций. Даже если более крупный тренд устойчиво направлен вниз, путь к новому равновесию будет сопровождаться неожиданными движениями против тренда. [c.1143]

Природа избрала необычный путь к полному хаосу. Порой (по сути дела, довольно часто) она движется к нему весьма неравномерно. Мир деградирует не монотонно. То здесь, то там наблюдаются процессы созидания. Действительно, посмотрев вокруг себя, мы заметим процессы упорядочения и неупорядочения. Так, в городах разрушаются старые дома. В этом случае человек умышленно увеличивает неупорядоченность домов в городе (хаос возрастает). За счет увеличения такого хаоса возрастают площади под новое строительство в городе. Достигнув определенного значения, хаос замедляется в системе (городе) и начинаются процессы упорядочения (интенсивная застройка жилого массива) Но такая упорядоченность вызывает появление хаоса в другой системе. [c.89]

В рамках феноменологической теории турбулентности многокомпонентного химически активного газового континуума рассмотрен термодинамический подход к замыканию гидродинамических уравнений осредненного движения на уровне моделей первого порядка, позволивший найти более общие выражения для турбулентных потоков в многокомпонентной среде, чем те, которые выводятся с использованием понятия пути смешения. Представление турбулизованного континуума в виде термодинамического комплекса, состоящего из двух подсистем - подсистемы среднего движения (осредненного молекулярного и турбулентного хаоса) и подсистемы пульсационного движения (турбулентной надструктуры) дало возможность получить при использовании методов неравновесной термодинамики реологические соотношения для турбулентных потоков диффузии, тепла и количества движения, обобщающие на случай многокомпонентных смесей соответствующие результаты гидродинамики однородной жидкости. [c.233]

Рейнольдса Тг = —рщи], являющихся лишними неизвестными в уравнениях Рейнольдса (1.3). Вид этих неизвестных (т. е. их зависимость от пространственных координат и времени), по-видимому, должен в значительной мере определяться крупномасштабными особенностями течения, т. е. в первую очередь полем средней скорости и. При определении общего характера зависимости от и можно опереться на внешнюю аналогию между беспорядочными турбулентными пульсациями и молекулярным хаосом и попытаться использовать методы кинетической теории газов. Поскольку в кинетической теории газов очень большую роль играет понятие средней длины свободного пробега молекул 1т, в теории турбулентности при таком подходе прежде всего вводится понятие пути перемешивания I (независимо друг от друга предложенное двумя создателями полу-эмпирического подхода к исследованию турбулентности Дж. Тейлором и Л. Прандтлем), определяемого как среднее расстояние, проходимое отдельным турбулентным образованием ( молем жидкости), прежде чем оно окончательно перемешается с окружающей средой и потеряет свою индивидуальность. Другим важным понятием кинетической теории газов является понятие средней скорости движения молекул в полуэмпирической теории турбулентности ему соответствует понятие интенсивности турбулентности — средней кинетической энергии турбулентного движения единицы массы жидкости. Наконец, ньютоновой гипотезе о линейности зависимости между вязким тензором напряжений (Тц и тензором скоростей деформации ди дх] + дщ1дх1 (причем коэффициентом пропорциональности в этой зависимости является коэффициент вязкости р1тЬт) в полуэмпирической теории турбулентности Прандтля отвечает гипотеза о линейности зависимости между напряжениями Рейнольдса и скоростями деформации осредненного течения. [c.469]

С ростом некоторого характерного управляющего параметра (например, мощности накачки лазера) возбуждается все большее число гармоник с частотами oj, Og. гидродинамике этот путь перехода к турбулентности называют моделью Ландау— Хопфа. В лазерах аналогичную картину можно наблюдать, если все больше и больше несвязанных мод вступает в генерацию и при этом не происходит синхронизации частот. Согласно первоначальной модели Ландау—Хопфа, турбулентное состояние в гидродинамике характеризуется бесконечны.м числом гармоник, частоты которых взаимно иррациональны. Эта идея была отвергнута, поскольку эксперимент показал, что после возбуждения колебаний на двух или трех частотах в гидродинамике уже возникает хаос. В лазерах, однако, наблюдалось большее количество несвязанных мод. Поэтохму нужно отметить один специальный термин. [c.212]

Читатель может спросить, стоило ли писать эту книгу сейчас, когда исследования нелинейных колебаний испытывают такие быстрые изменения. Во-первых, это время оказалось подходящим потому, что я получил приглашение подготовить и прочитать восемь лекщ1й о хаотических колебаниях в Институте фундаментальных проблем техники в Варшаве (Польша) в августе 1984 г. Из этих лекщ1й выросла книга. Во-вторых, в 1984 и 1985 годах меня приглашали прочитать лекщ1и о хаотических колебаниях почти в тридцати университетах и исследовательских лабораториях. Многие мои коллеги высказывали желание получить книгу о хаосе, написанную для экспериментаторов. Я также чувствовал, что многие экспериментаторы и инженеры, занимающиеся колебаниями, не были осведомлены об интереснейших новых результатах динамики. Не сомневаюсь, что, вооруженные новыми подходами к динамическим системам, экспериментаторы придут к дальнейшим достижениям в этой новой области на пути изучения новых приложений и разработки более удобных методов регистрации и описания этих новых явлений. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...