Удвоение периода последовательность

Путь к хаосу через удвоение периода. Последовательность Фейгенбаума [c.397]

Можно отметить и определенную последовательность в удвоении периода от одной эры к другой 1- 1->2 2->4 4. Это позволяет прогнозировать, что при переходе к следующей эре реализуется переход к т=8 8. [c.173]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Одна из возможных бифуркаций аттрактора, часто реализующихся в системах, зависящих от параметра, — последовательность удвоений периода устойчивого цикла. Эта последовательность бифуркаций, происходящая на конечном интервале изменения параметра, приводит систему от устойчивого периодического режима к хаосу. [c.79]

Рис. 30. Три последовательные бифуркации удвоения периода в типично семействе отображений, сохраняющих площадь (гамильтонов случай)

Системы с аттракторами Фейгенбаума. Известно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода [c.151]

Переход от периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров в случае а может происходить как путем бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, так и жестким образом [54, 222, 392]. Первый тип перехода наблюдался, например, при 26 = 1,1 А = 1,73 а = соо = = 1 7 = = 0,27 и увеличении параметра g. Получилась следующая последовательность бифуркационных значений g = 15,66 24,07 25,50 25,80 25,86), которая приводит к следующей последова- [c.296]

Система уравнений (4.19) исследовалась численно в работах [425, 618] при е = / = 0,2. В этом случае условие колебательной неустойчивости второй особой точки совпадает с условием ее рождения. При не очень больших значениях колебания являются периодическими. Им соответствует в фазовом пространстве однооборотный цикл (рис. 9.40, а). Начиная со значения о, = 3,5 возникает последовательность бифуркаций удвоения периода (рис. 9.40,6, виг). Критическое значение о, равно Цоо = 4,20. Затем в фазовом пространстве системы возникает хаотический аттрактор, имеющий слоистую структуру (рис.. 9.40,5, е, ж). Слоистая структура пропадает при л = 4,60 (рис. 9.40, з). При [c.302]

При В > 5 р 1,3 переход иа области синхронизации в область хаоса происходит путем последовательности бифуркаций удвоения периода цикла. Так, для случая 5 = 2 удалось проследить первые три такие бифуркации (см. рис. 9.69). Фазовый портрет цикла после первой бифуркации удвоения (5 = 2, V = 0,38) показан на рис. 9.71. [c.327]

Ао = 0,4, 5=1,2, а = 0,05. При этом частота автоколебаний автономной системы равнялась соо = 0,375. Бифуркации удвоения периода и переход к хаосу наблюдались при увеличении частоты модуляции ю. Последовательность бифуркаций начиналась при со = 0,712, а заканчивалась при О) = со , = 0,7877. После этого с ростом со интенсивность сплошного спектра росла так, как это показано на рис. 9.88. Линейный участок зависимости (сплошная линия) хо- [c.343]

Сценарий Фейгенбаума (1978— 79) появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения л п+1 = П хп, 1) отрезка О л 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный [c.132]

ЦИСЛО ФЕЙГЕНБАУМА. Вблизи значения Я = 3,56994... прекращается удвоение периода и последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону [c.87]

В общем случае, эволюцию системы описывают бифуркационными диаграммами, содержащими каскад бифуркаций, отвечаюший последовательности Фейгенбаума [25] при переходе через порог устойчивости период Т удваивается в последовательности 2Т, 4Т, 8Т и т.д. Такая последовательность отвечает последовательности бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.10 показан [c.41]

В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодического движения, обозначаем как То (а не ft). Критические значеиня числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, будем обозначать здесь иосредством Ri. Rj,. .., опуская индекс кр (число Ri заменяет прежнее Rhpz). [c.170]

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172]

Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2,. ..) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникно ением несоизмеримых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в 30 механизма. [c.172]

Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции [(х X) значении параметра X = Л, . Ясно поэтому, что функции, образованные из f(x X) путем многократ-ног-о итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении X. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра к от значения Лоо. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции f x) ). [c.177]

В момент бифуркации (при X = Л ) каждый элемент (точка) 2" -цикла расщепляется на пару—две близкие точкп, расстояние между которыми постепенпо возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. нри последовательных отображениях Xj+i = f(xj к)), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2" единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. [c.178]

Наиб, успехи в использовании динамич. подхода достигнуты при исследовании перехода от ламинарного к хаотическому во времени течению жидкости. Наиб, распространённые сценарии перехода к хаосу в простых ситуациях (течение Тейлора—Куэтта между вращающимися цилиндрами, термоконвекция)—это разрушение квазипериодич. движений перемежаемость бесконечная последовательность удвоений периода. В экспериментах наблюдаются и более сложные сценарии, однако обнаружение именно этих канонич. сценариев в реальных течениях обосновало справедливость представлений о дннамнч. характере процессов в области перехода к Т. Эти же сценарии обнаружены и в численных экспериментах с полными [точнее, моделируемыми на компьютере с достаточно большим числом (>10 ) ячеек сетки] ур-ииями Навье—Стокса при числах Рейнольдса Ю . [c.183]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма, характеризующая переход динамической системы от порядка к хаосу, который сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [188]. В общем случае движение такой системы описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом, для которого функция последования записывается в виде [186] [c.106]

В генераторе наносекундных импульсов накопительные конденсаторы С и С2 заряжаются от высоковольтного импульсного трансформатора (Тр) через зарядный дроссель (Др1) и зарядный отсекающий диод (Д) до некоторого амплитудного значения напряжения. После включения тиратрона конденсатор С перезаряжается до противоположного знака и АЭ оказывается под удвоенным потенциалом последовательно соединенных конденсаторов С С . Конденсатор С4 является обостряющим, обеспечивающим крутизну фронта импульса тока накачки. Индуктивность L4 служит для создания цепи зарядки конденсатора С2, а в межимпульсный период закорачивает разрядный промежуток АЭ, [c.269]

Прежде всего, остановимся на переходе от порядка к хаосу, сопровождающемся бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [444, 445, 447, 448]. Такой переход характерен для систем, движение которых точно или приближенно описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом. Если вблизи максимума, который без ограничения общности можно считать расположенным в точке а = 0, функция последования записывается в форме [c.240]

Как уже отмечалось, кроме бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, в принципе возможна такая же последовательность бифуркаций утроения периода. Она также должна подчиняться ряду универсальных закономерностей [130, 516]. Для систем, описываемых одномерным точечным отображением с функцией последования вида (4.1), эти закономерности подобны закономерностям Фейгенбаума, но с другими константами. Зависимость констант б и а от показателя степени % в выражении (4.1) для последовательности бифуркаций утроения периода продемонстрирована в табл. 8.5 [516] [c.247]

Как при мягкой, так и при жесткой упругой характеристике хаотические колебания существуют цри достаточно большой амплитуде внешней силы в интервале частот м, где соответствующая амплитудно-частотная характеристика неоднозначна (область бистабильности). Как показали численные эксперименты, эти колебания возникают путем последовательности бифур,-каций удвоения периода. Области таких бифуркаций и хаотических колебаний для /с = 1 — 4 а = 0,4 В = 0,115 Во —О получены в [517] с помощью АВМ. Критическое значение час- [c.267]

В работах 637, 638] брюсселяторы полагались идентичными, а коэффициенты С и Су — разными. При этом было выбрано 1= 2 = 4 = 2, С /Су = д = 0,1. Параметры Сх и В = В1==В2 варьировались. Оказалось, что при малых С переход к хаосу происходит через образование и разрушение тора [637], а при больпшх — через последовательность бифуркаций удвоения периода цикла [638]. Чтобы продемонстрировать эти переходы, [c.345]

Л 2 = 1), при т< = О неустойчиво. Во втором случае соответствующее состояние равновесия ( 1 = N2 = 2/3) при Т( = 0 устойчиво. В работе детально исследуется именно второй случай. Результаты исследования следующие. При увеличении %1 и Тг стационарное состояние теряет устойчивость и возникают периодические колебания численности видов. При дальнейшем увеличении и Тг возникают области хаотических режимов, причем переход к хаосу происходит путем последовательности бифуркаций удвоения периода (рис. 9.123). Так, например, при Т1 = 16, и увеличении Т2 каскад бифуракций удвоения периода начинается при Т2 0,77. После его завершения возникает хаоти- [c.378]

Прямоугольный параллелепипед. Экспериментальные исследования выявили целый ряд возможных путей ( сценариев ) возникновения хаотической конвекции жидкости в подогреваемом снизу прямоугольном параллелепипеде с вертикальными и горизонтальными гранями (см. [123, 124]). Среди них наиболее распространенными являются следующие 1) последовательность переходов с удвоением периода (каскад Фейген-баума) этой последовательности в некоторых случаях предшествует [c.285]

Эллипсоид. Стационарные и автоколебательные конвективные движения в полости эллипсоидальной формы (в том числе вращающейся) подробно исследовались в работах Ф.В. Должанского с сотрудниками. В [127] показано, что конвекция идеальной жидкости в эллипсоиде с пространственно-линейными полями скорости и температуры описывается шестимодовой системой уравнений движения тяжелого волчка. Для конвекции вязкой и теплопроводной жидкости предложены и изучены модели, в которых диссипативные эффекты учитывались феноменологически [128]. Непосредственный вывод шестимодовой модели из уравнений Буссинеска проведен в работе М.А. Закса [129]. Предложенная модель описывает до 13 различных стационарных режимов, обменивающихся устойчивостью при изменении числа Рэлея. Хаотический режим существует на интервалах значений числа Рэлея, ограниченных сверху и снизу последовательностями бифуркаций типа удвоения периода. [c.286]

При учете неабсолютной жесткости связи можно разложить бифуркацию касания на последовательность стандартных бифуркаций неподвижных точек гладких отображений. Так, вышеупомянутая потеря устойчивости сопровождается бифуркацией удвоения периода. Рождаюгциеся в результате устойчивые решения двойного периода в свою очередь либо сливаются с неустойчивыми решениями того же периода и исчезают, либо проходят через удвоение периода и т. д. В случае, когда имеется бесконено много удвоений периода, движение принимает хаотический характер. [c.248]

Таким образом, при значениях 1Ып, /г=1, 2, 3,. .., происходят бифуркации удвоения периода 2 -кратные циклы теряют устойчивость и появляются устойчивые 2 -кратные циклы. Фейгенбаум обнаружил, что последовательность Хп сходится (к пределу Р1сх> 3,57) асимптотически как геометрическая прогрессия с довольно большим знаменателем [c.133]

При [X > 1Ыоо при некоторых х рождаются (парами — устойчивая и неустойчивая) траектории периодического движения (последовательно с периодами 1, 6, 5, 3,. .. (см. рис. 2.26), каждая из которых затем испытывает последовательность бифуркаций удвоения периода со своей точкой сгущения. Кроме того, здесь на отрезке О х 1 существуют полосы стохастического движения, причем при значениях 1Лоо <. .. < л < <. .. < 1 они испытывают обратные бифуркации удвоения пе2иода, при которых число полос уменьшается вдвое, а сами они расширяются (и сливаются), следуя закону подобия с теми же константами б и а, что и выше. Так, после (п+1)-й бифуркации средняя квадратичная ширина полосы равна oг 2Л-oг 2У Wn, откуда Wn = [c.135]

Такое отображение имеет две неподвижные точки — неустойчивую х = у = 0 и устойчивую х=1 — (1— )lbi y = - . При некотором iLi = iLii( ) вторая из этих точек теряет устойчивость, и, кроме того, появляется двукратный цикл, т. е. неподвижная точка второй итерации Хп- -2 = П2(хп). В окрестности своей неподвижной точки эта вторая итерация путем перенормировки значений х, i и приводится к такому же функциональному виду, как исходное отображение (причем перенормировка имеет вид 2 = ). Поэтому далее происходит последовательность бифуркаций удвоения периода с асимптотическими законами подобия Фейгенбаума при тех же параметрах б и а, с той же точкой накопления i x> (при x> = 0) и с аналогичным вышеизложенному дальнейшим поведением при ц > Цс . Для эквивалентного (2.100), (2.90) отображения [c.136]

Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(Хп, ц) для Л -мерных диссипативных фазовых потоков если при некотором jii у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом i происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения 1оо, в которой возникает стохастическое движение (вна- [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...