Законы сохранения и соответствующие им дифференциальные уравнения

Прежде чем перейти к анализу разностной схемы (3.33), остановимся на важных требованиях, предъявляемых к любым разностным схемам, которые соответствуют дифференциальным уравнениям, получаемым на основе записи законов сохранения энергии, массы, количества движения для произвольного объема сплошной среды. Очевидно, что для получения разностного решения, хорошо описывающего реальный процесс изменения температурного поля в количественном и качественном отношениях, целесообразно потребовать выполнения закона сохранения энергии и для разностного решения. [c.85]

Нет необходимости выписывать соответствующее дифференциальное уравнение для координаты г>, так как оно, в силу закона сохранения [c.287]

Наиболее важное свойство МКО состоит в том, что уравнение (5.76) выражает в интегральной форме закон сохранения соответствующей экстенсивной величины для контрольного объема Vp, т.е. отвечает уравнению (5.72). Тем самым для любой группы контрольных объемов (КО) и, следовательно, для всей пространственной области гарантируется реализация свойства сохранения. Это проявляется при любом числе КО, а не только в предельном случае — при очень большом их числе. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам. Это свойство МКО особенно важно при построении решения дифференциальных уравнений переноса с нелинейными, существенно переменными (разрывными) коэффициентами и источниковыми членами, описывающих, например, распространение теплоты [c.152]

Основные представления об ударных волнах были даны в гл. I. Показано, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости допускают существование разрывных решений, которые описывают ударные волны. Гидродинамические величины плотность, давление, скорость по обе стороны поверхности разрыва связаны между собою разностными уравнениями, соответствующими дифференциальным уравнениям, которыми описываются области непрерывного течения. И те и другие уравнения являются выражением общих законов сохранения массы, импульса и энергии. Из законов сохранения следует, что на поверхности разрыва испытывает скачок (возрастает) и энтропия вещества. Величина возрастания энтропии в ударной волне определяется только условиями сохранения массы, импульса и энергии и термодинамическими свойствами вещества и совершенно не зависит от механизма диссипации, приводящего к росту энтропии. [c.359]

Соответствующими дифференциальными уравнениями в виде законов сохранения являются [c.171]

Теоретически исследованы осцилляции газодинамических параметров плазмы, возникающей при воздействии на нее мощного лазерного излучения с интенсивностью, промодулированной с СВЧ-частотой, когда характерное время изменения интенсивности лазерного излучения существенно меньше характерного времени изменения газодинамических параметров плазмы. Показано, что при таком режиме воздействия условия на скачке уплотнения, записанные в виде законов сохранения потоков массы, импульса и энергии, требуют учета производных по времени от газодинамических величин, вычисленных на основании соответствующих дифференциальных уравнений. [c.176]

В настоящей работе рассматривается процесс поглощения плазмой промодулированного по интенсивности с СВЧ-частотой лазерного излучения в режиме световой детонации. При таком воздействии характерное время изменения интенсивности лазерного излучения будет существенно меньше характерного времени изменения газодинамических параметров плазмы и их отношение можно рассматривать как малый параметр. Решение задачи ищется в виде разложения по этому малому параметру. При этом получаются результаты, близкие к решению, имеющему место в случае отсутствия модуляции, и отличающиеся от него лишь членами следующего порядка малости. Характерно, что при таком режиме воздействия законы сохранения потоков массы, импульса и энергии, записанные в области, где осуществляется модуляция, требуют учета производных по времени от газодинамических величин, вычисленных на основании соответствующих дифференциальных уравнений. Это приводит к изменению вида условий на скачке уплотнения по отношению к рассмотренной в [ 1 ] ситуации, когда не учитываются быстро осциллирующие процессы. [c.176]

Наиболее универсальным является метод баланса. Здесь область исследования разбивают на элементарные ячейки, связанные определенным образом с выбранным шаблоном, а далее для каждой ячейки составляют баланс, соответствующий физическому закону сохранения, на основе которого получено исходное дифференциальное уравнение. [c.63]

Используя законы сохранения энергии и массы, а также систему обобщенных уравнений Онзагера для случая градиентной зависимости между термодинамическими силами и соответствующими потенциалами переноса, получаем систему дифференциальных уравнений переноса [c.412]

Для полного аналитического описания процесса конвективного теплообмена необходимо задать систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии соответствующие специальные законы переноса импульса и теплоты зависимость физических свойств теплоносителя от температуры и давления [c.203]

Аналогичные процессы. Уравнение теплопроводности является прямым следствием закона сохранения, представленного первым законом термодинамики, и пропорциональности плотности потока градиенту температуры [см. (3.1)]. Существует множество других физических процессов, при которых соответствующая плотность потока некоторой величины пропорциональна градиенту этой величины и для которых существует закон сохранения. Отсюда следует, что эти процессы будут описываться дифференциальными уравнениями, аналогичными (3.2). К подобным процессам можно отнести диффузию химических компонент, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, течение в пористых материалах, потенциальные течения, перенос тепла и влаги в почве, а также полностью развитые течение и теплообмен в каналах. Построив вычислительную процедуру для решения уравнения (3.2), мы сможем применить ее и для любого аналогичного процесса, просто придавая новый смысл величинам Т, к, Sfj и др. Например, можно интерпретировать Т как концентрацию, к как коэффициент диффузии, как скорость химической реакции и т.п. Удобнее работать с таким обобщенным дифференциальным уравнением, так как уравнение теплопроводности и другие аналогичные уравнения станут его частными случаями. В дальнейшем будем основываться на подобном обобщенном дифференциальном уравнении. [c.66]

Как известно, дифференциальные уравнения задачи п тел допускают десять классических интегралов шесть интегралов количества движения, три интеграла площадей и один интеграл энергии, которые соответствуют законам сохранения количества движения, кинетического момента и механической энергии системы. Эти интегралы обладают тем свойством, что они алгебраически содержат координаты и скорости точек. На вопрос, существуют ли другие подобные интегралы, отвечает теорема Брунса [c.108]

Как известно из классической механики, систему из N частиц в случае пренебрежения их пространственной структурой (т. е. когда частицы рассматриваются как материальные точки) можно описать при помощи ЗМ дифференциальных уравнений, которым соответствуют 6Л интегралов движения, т. е. величин, сохраняющихся при изменениях, происходящих в системе. Полное число интегралов движения, естественно, задается тем, что в каждый момент времени система определяется ЗМ координатами и ЗА импульсами частиц (см., например, [1]). Среди 6А интегралов движения ) не все играют одинаковую роль. Чтобы выяснить эту роль, рассмотрим изолированную систему, т. е. систему, которая не подвержена действию внешних сил ). Для такой системы имеется десять интегралов движения, которые соответствуют физическим величинам, всегда сохраняющимся при любом произвольном взаимодействии между частицами системы во время движения. Эти величины, по крайней мере, в принципе можно измерить на опыте в рамках классической механики. 10 интегралов движения можно представить, в соответствии с их физическим смыслом, следующим образом 10 = 4-1-3-2. Цифра 4 соответствует закону сохранения [c.9]

В общем случае условия на поверхности разрыва можно получить, исходя из законов сохранения, записанных в интегральной форме. Из замкнутой системы дифференциальных уравнений, описывающих некоторые явления в рамках используемой модели поведения сплошной среды, условия на поверхности разрыва не могут быть получены предельным переходом от непрерывных движений к разрывным. При рассмотрении конкретных задач с возникающими в процессе решения разрывами используют две формы записи законов сохранения и второго закона термодинамики интегральную и дивергентную, которой соответствуют уравнения (3.6), (3.12), (3.36) и неравенство (3.44). [c.85]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Законы сохранения и соответствующие им дифференциальные уравнения [c.13]

Не всякому дифференциальному уравнению в дивергентной форме (1.2) соответствует интегральный закон сохранения, имеющий физический смысл. Примером может служить энтропия, которая сохраняется в отсутствии теплообмена при непрерывных гладких движениях, что позволяет написать для нее уравнение в форме (1.2). Но энтропия может не сохраняться при наличии разрывов у функций ик внутри рассматриваемой области. В этом случае для энтропии нельзя написать интегрального уравнения вида (1.1). Этот вопрос будет рассмотрен ниже, в 1.10. [c.16]

Уравнение (1-41) не имеет соответствующего интегрального закона сохранения, поэтому соотношение типа (1.43) в виде равенства этому уравнению поставить в соответствие нельзя. Можно предположить, однако, что может быть выписано некоторое неравенство, соответствующее на разрыве дифференциальному уравнению (1.41) [c.74]

В заключение укажем, что закон сохранения энергии-импульса (22.78) включает четыре уравнения, а закон сохранения момента импульса и скорости центра масс (22.83) —шесть уравнений. Физический смысл этих соотношений будет выяснен в связи с соответствующими интегральными законами сохранения. Однако, проследив происхождение дифференциальных законов сохранения, можно уже сейчас установить связь симметрий и соответствующих законов сохранения, совершенно аналогичную существующей в механике связи. Эта связь такова [c.120]

Выделенные таким образом аппроксимации, как и их симметричный вариант (1.3), обладают важным свойством они позволяют получать разностные схемы для дифференциальных уравнений путем аппроксимации соответствующих этим уравнениям законов сохранения. [c.15]

Следует отметить интересную связь машинных методов развязки петель с физическими соображениями при записи законов сохранения энергии, массы, импульса и др. Корректная запись физических законов требует их описания дифференциальным уравнением 2-го порядка, что вызвано различными соображениями. В работе [5] показано, что метод установления 2-го порядка и соответствующий ему аналог итерационного процесса (со вторыми разностями)— линейный оптимальный переходный процесс обладают при решении на ЦВМ лучшей сходимостью, чем методы с порядком уравнений, отличных от второго. [c.225]

Математическое моделирование. При исследовании гидравлических процессов с помощью математического моделирования изучаются явления, отличные от натурных (физических), но описываемые теми же математическими уравнениями. Совокупность уравнений, описывающих определенный физический процесс, называют математической моделью, а изучение его поведения в тех или иных условиях путем решения этих уравнений — математическим моделированием. В отличие от физического (натурного) моделирования математическое не имеет границ при соответствующей математической модели. Математическая модель гидравлического явления или процесса обычно создается на основании применения к ним наиболее общих законов механики таких, как сохранение движения, массы и энергии. Записывая эти законы в виде систем дифференциальных уравнений и аналитически их исследуя, т. е. используя методы классической механики, можно получить информацию о процессах или явлениях, [c.313]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Рассмотренным выше (см. пункты 2—4) принципам соответствуют законы сохранения классической механики — это, так сказать, физическая точка зрения. С аналитической же точки зрения они дают зависимости, которые при соблюдении определенных условий приводят к интегралам дифференциальных уравнений движения. Разработка этих принципов в течение первой половины XVIII в. облегчала установление такой их связи с дифференциальными уравнениями движения. Но для того чтобы их объединить в общей аналитической трактовке (а это, как мы увидим, стало делом Лагранжа), понадобилось установление принципов другого рода, что также стало делом XVIII в. Почему это понадобилось тогда же Ответ таков. В работах, на которые мы ссылались в этой главе, вполне очевидны две тенденции. Их авторы рады любой возможности показать значение своих результатов для познания закономерностей системы мира , т. е. Солнечной системы, а движение небесных тел — движение свободное, на него не наложены никакие связи. Одновременно в этих работах отмечается польза вводимых или обобщаемых принципов при рассмотрении системы со связями— в первую очередь то, что при соблюдении известных условий можно избежать явного введения трудно определяемого воздействия различных препятствий . Ведь задачи со свтзями земной механики еще не имели сколько-нибудь общей теории [c.130]

Такие уравнения полезны как в методах решения задач, так и в случаях, когда внутри или на границе области движения некоторые функции и функционалы разрывны. Уравнения получаются интегрированием по I соответствующих интегральных (по объему) выражений рассмотренных выше законов сохранения массы, импульсов и энергии либо интегрированием по и по К их дифференциальных выражений Но в принципе более правильно считать такие разностно-интегральные уравнения МСС аксиомами, непосредственно согласованными с основным постулатом, определяющим функционалы, так как, по существу, в них допускается возможность не непрерывных (по х, () решений, т. е. решений замкнутой системы в обоби енных функциях. [c.166]

Другой подход к решению смешанной задачи сверхзвукового обтекания тел дан С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым (1961). В этом методе установления решение смешанной задачи о стационарном обтекании тела находится как предел гиперболической задачи неустановившегося обтекания этого тела. На двумерные плоские и осесимметричные течения обобш ается метод решения задач о нестационарных одномерных движениях газа с разрывами, предложенный ранее С. К. Годуновым (1959). В методе установления уравнения плоского или осесимметричного неустановившегося движения в дивергентной форме записываются в виде интегралов по поверхности в трехмерном пространстве координат и времени. Такая форма записи в виде законов сохранения обеспечивает возможность рассмотрения течений со скачками уплотнения и другими разрывами. Далее в этом пространстве с учетом формы обтекаемого тела выбирается сетка и интегралы записываются в виде соответствующих сумм подынтегральных выражений в узлах этой сетки. Система координат не предполагается фиксированной. Интегралы, записанные для отдельной ячейки сетки, используются затем для получения разностных уравнений в подвижной координатной системе, причем в течение каждого шага по времени значения газодинамических величин на каждой границе ячейки считаются неизменными. Эта система конечноразностных уравнений, полученная из интегральных законов сохранения, служит аппроксимирующей системой для точных дифференциальных уравнений. [c.178]

Первое уравнение в (5.84) соответствует уравнению луча и определяет лучевое соответствие между точками и апертуры фокусатора и точками х области фокусировки В. Второе уравнение в (5.84) соответствует дифференциальной форме закона сохранения светового потока по лучевым трубкам и позволяет определить функцию х(и) из условия формирования заданного распределения интенсивности /(х) при X I). И наконец третье уравнение в (5.84) соответствует восстановлению фазы по полному дифференциалу, где слагаемое с о (и) введено дая ком,пенсации фазы освещающего пучка. [c.351]

Теперь естественно возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться законами сохранения для спгивки асимптотических решений, поскольку, они следуют сразу, как только записаны дифференциальные уравнения. Мы покажем ниже, что это не только возможно, но и приводит к ряду упрощений. Ограничимся для краткости только случаем двух связанных осцилляторов. Закон сохранения (16.3) накладывает ограппченпе унитарности на матрицу перехода. В соответствии с формулами (15.8) имеем [c.58]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

Целая глава настоящей книги посвящена этим эффектам из-за их большого значения в технике. Они описываются линейными определяющими уравнениями — уравнениями, необходимыми для замыкания системы дифференциальных уравнений из законов сохранения. Электромеханические взаимодействия следующего порядка приводят к электрострикции — появлению напряжения, зависящего квадратичным образом от приложенного электрического поля и, следовательно, не зависящего от его направления. Этот эффект нелинеен, для его существования достаточно самой слабой симметрии — изотропности. Поэтому электрострикция типична для всех твердых и жидких диэлектриков, причем интенсивность ее изменяется при переходе от одного вещества к другому. Пьезомагнетизм (редко встречающийся эффект) и магнитострикция (очень распространенный) — магнитные аналоги пьезоэлектричества и электрострикции. Для их описания также нужна соответствующая формулировка определяющих уравнений. Взаимодействия более высокого порядка, чем второго, можно рассмотреть аналогичным образом. [c.12]

Лоренц-инвариантиая форма дифференциального уравнения движения материальной точки. Обратимся сейчас к законам Ньютона и рассмотрим их применимость для релятивистской области. В соответствии с законом сохранения релятивистского импульса для свободной изолированной материальной точки делаем вывод первый закон Ньютона справедлив для релятивистской области свободная изолированная материальная точка движется равномерно прямолинейно в любой инерциальной системе. Второй закон Ньютона приводит к очевидным противоречиям с положением о существовании предельной скорости движения материальных тел и должен быть специально обобщен для квазирелятивистской области движения. [c.282]

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда ) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа i sin kt и t eos kt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это отно- [c.96]

Для dQ2 dt и dQJdi справедливы выражения (3. 6) и (3. 7). Дифференциальное уравнение кривой р I) при допущении одинаковой плотности продуктов сгорания воспламенителя и топлива (у = ув) в соответствии с законом сохранения вещества будет [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...