ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Законы сохранения и соответствующие им дифференциальные уравнения из "Нелинейные волны в упругих средах " Будем обозначать через Uk [к = 1,2.п) параметры, задающие в каждой точке состояние сплошной среды, включая ее движение, различные поля и другие необходимые характеристики. Любая другая функция состояния будет представлять собой функцию от щ, U2,. .. Пп- В частности, для физических величин, входящих в законы сохранения, можно ввести понятия плотности их распределения в объеме fi uk), где г - номер сохраняющейся величины, и векторы потоков этих величин gi(uk) с числом компонент, равным размерности пространства. Здесь и далее использована сокращенная запись f uk), которую следует понимать как / щ,и2. и ), или f uk), к = 1,2. п. Зависимость функций от одной переменной Uk с определенным номером к будет всегда оговариваться особо. [c.14] Здесь с - скорость света, -произвольная неподвижная ориентируемая поверхность, опирающаяся на контур L, причем направление обхода контура и вектор п нормали к dS образуют правовинтовую систему, Е я В - векторы напряженности электрического и магнитного полей. [c.15] Таким образом, в одномерном случае эти уравнения принимают такой же вид (1.1), как и законы сохранения, и мы их также будем называть законами сохранения. [c.15] По повторяющимся индексам здесь и всюду далее предполагается суммирование. [c.16] Не всякому дифференциальному уравнению в дивергентной форме (1.2) соответствует интегральный закон сохранения, имеющий физический смысл. Примером может служить энтропия, которая сохраняется в отсутствии теплообмена при непрерывных гладких движениях, что позволяет написать для нее уравнение в форме (1.2). Но энтропия может не сохраняться при наличии разрывов у функций ик внутри рассматриваемой области. В этом случае для энтропии нельзя написать интегрального уравнения вида (1.1). Этот вопрос будет рассмотрен ниже, в 1.10. [c.16] Иногда при построении моделей в механике сплошной среды некоторые из соотношений постулируются в дифференциальном виде. При этом они, вообще говоря, могут не иметь дивергентного вида или иметь различные дивергентные формы записи, но не обладать соответствующими интегральными законами сохранения. [c.16] Такой же вид приобретают уравнения (1.2), если в качестве Пк использованы сами плотности / . Все три формы записи (1.2), (1.3), (1.6) эквивалентны и будут далее использоваться в равной мере. Коэффициенты этих уравнений fij gij, а не зависят от производных от Пк, а только от самих функций Пк- Такие системы называются квазилинейными. Если же указанные коэффициенты постоянны, то система называется линейной. [c.17] Многие системы механики сплошной среды, такие как уравнения газовой динамики, уравнения магнитной гидродинамики, уравнения теории упругости, уравнения Максвелла принадлежат к описанному типу систем уравнений, выражающих законы сохранения, и мы в дальнейшем будем рассматривать в качестве основного случая именно такие системы. [c.17] Под решением уравнений, выражающих законы сохранения, будет пониматься п функций гi, (a ,i), г = 1,2,. ..,п, таких, что уравнения (1.1) выполняются при любых Ж1, Х2 и Ь. Такое определение решения происходит из механики сплошной среды (см. Седов [1994], Жермен [1983], Уизем [1977], Годунов [1978]). Часто предпочитают говорить об обобщенных решениях дифференциальных уравнений, которые вводятся посредством некоторых определений, вытекающих из законов сохранения (Рождественский и Яненко [1978], Курант [1964]). [c.17] Вернуться к основной статье