Теорема о предельном переходе

ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ [c.42]

Заметим еще, что на основании ограничений, наложенных на функции к t) ш g t), и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла справедливо равенство [c.76]

Теорема о предельных вероятностях в данной задаче применима, если при некотором м > О все элементы матрицы перехода л через п испытаний (выборочных проверок) положительны. Иными [c.118]

Шварца интегрируема, если f — бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой, аналогичной теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, и получить, что [c.259]

Мы систематически используем различные теоремы (их доказательства см., например, в [15]) о предельном переходе под знаком интеграла. Наиболее употребительна теорема Лебега. [c.27]

Следует отметить существенное различие между двумя способами изучения плоскопараллельного движения, связанными с первой и второй теоремами о перемещениях. Разложение движения на поступательную и вращательную части связано с выбором фиксированной точки плоской фигуры — полюса. Оно позволяет исследовать как распределение скоростей, так и распределение ускорений. Представление движения плоской фигуры как непрерывной последовательности вращений вокруг мгновенных центров вращений позволяет, как будет показано ниже, изучить лишь распределение скоростей. Такое ограничение связано с пренебрежением малыми второго порядка малости по сравнению с A — малыми первого порядка, при приближенной замене последовательных действительных перемещений вращательными вокруг мгновенных центров. Это приближенное представление позволяет после предельного перехода найти точный закон распределения линейных скоростей, но не позволяет найти закон распределения ускорений, который приходится рассматривать отдельно. [c.187]

Н. Е. Жуковский доказал теорему о подъемной силе для произвольного тела в плоском потоке в 1904 г. и о подъемной силе лопатки в решетке в 1912 г. С тех пор эта важная теорема была доказана и другими способами. Рассмотрим доказательство теоремы Жуковского для решетки и получим теорему для одиночного профиля предельным переходом. [c.67]

В большинстве книг по механике теорема Эйлера — Даламбера обычно формулируется применительно к конечным поворотам твердого тела с тем, однако, что непосредственно вслед за установлением существования осей конечных поворотов производится предельный переход к мгновенным осям вращения и затем определяется распределение мгновенных скоростей точек твердого тела при его сферическом движении. Следовательно, рассмотрение оси конечного поворота тела в теореме Эйлера—Даламбера — лишь промежуточный этап на пути к установлению (доказательству) существования мгновенных осей вращения и к заключительному выводу о распределении мгновенных скоростей точек твердого тела при сферическом движении. Именно этот заключительный вывод и представляет собой сущность рассматриваемой теоремы и состоит он, как известно, в том, что распределение мгновенных скоростей точек сферически движущегося твердого тела такое же, как и точек твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси, и что, следовательно, мгновенная скорость любой точки N твердого тела при сферическом движении выражается такой л<е формулой, как и при вращении вокруг неподвижной оси [c.28]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Теорема, сформулированная выше, дает возможность построить семейство решений реальной (то > 0) задачи, сходящееся при то — О к разным идеальным кеплеровским движениям для 1 0. Тем самым для правильного описания предельного перехода следует учитывать и разрывные решения идеальной кеплеровской задачи, у которых скорости тел р2 и Рз меняются скачком в момент столкновения. На этой идее и основаны примеры обмена НЕ ПНЕ , г ф j) в области к <(), указанные в табл. 2. [c.144]

Нужно теперь с помощью теоремы существования Коши доказать, что новые координаты Vk к = 1,. .., 6) как функции s останутся регулярными также и при s = si. Для этого исследуем прежде всего поведение этих координат при предельном переходе s si (О s < si), для чего используем результаты 6. Соответственно этому заставим стремиться rjk к = 4, 5, 6) при i ii, т. е. при s si, к их предельным значениям, и расстояния Г2з, ri2 — к положительным пределам. В соответствии с (7 11) получаем [c.68]

Остановимся на втором условии и заметим ), что класс всех функций Бэра есть наименьший класс функций на Г, содержащий (5 (Г) и замкнутый относительно поточечных предельных переходов в последовательностях. Итак, если мы хотим остановить свой выбор на условии 2, имеющем простой операционный смысл [поскольку с каждой точкой у е Г ассоциировано чистое состояние на (Г) и наоборот см. две леммы на стр. 84], то 2 (Г) вновь оказывается простейшей из возможностей. Заметим, наконец, что регулярную борелевскую меру ассоциированную в силу теоремы 9 из гл. 1, 2 (или, точнее, в силу теоремы Рисса о представлениях) с состоянием ф на (Г), очевидно, можно сузить на 9 Ж ), так что интеграл [c.189]

Докажем теперь оценку (8 24). Рассмотрим вектор-функции v , построенные при доказательстве теоремы 8 3. Для этих функций справедливы оценки (8.17). Подставляя в (8.17) q, заданное формулой (8 26), и устремляя N к оо, получим оценку (8 24). Осуществляя этот предельный переход, мы воспользовались оценками (8.1), а также сходимостью к м в Я (со(О, к)) для любого фиксированного к, которая установлена при доказательстве теоремы 8.3. Теорема доказана [c.75]

На основании теоремы 1.1.3 (Витали) для обоснования предельного перехода нужно проверить, что интеграл в левой части (8) стремится к нулю равномерно по Е (0,1), когда У —> О и когда У = (—оо, —А ) и (А , оо) и —> оо. Учтем, что это свойство заведомо выполняется, если е о, а ео—любое фиксированное положительное число. Поэтому достаточно показать, что подынтегральная функция в правой части (8) имеет [c.200]

В обоих случаях необходимо знание закона распределения погрешностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при т> 5) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее Ьри [c.106]

Третий прием, упрош,ающий вычисления, заключается в переходе к асимптотическим оценкам при t оо. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей сумма большого числа случайных величин, имеюш,их средние значения и дисперсию а , асимптотически нормальна и имеет среднее значение tii и дисперсию па" , где л —число слагаемых. То есть для любого t [c.110]

Другой путь основан на представлении об упруго-пластическом теле. Здесь предельная нагрузка отвечает конечной стадии упруго-пластической деформации тела, нередко сопровождающейся большими (иногда — бесконечно большими) деформациями (например, при изгибе и кручении). Фактически этот процесс не прослеживается, и сразу определяется конечное состояние тела при условии малости изменений его конфигурации. Такой переход можно оправдать относительной малостью деформаций упруго-пластического тела при нагрузках, приближающихся к предельной. В обоих случаях теоремы идентичны, речь идет лишь об интерпретации конечных результатов. Мы будем исходить из схемы жестко-пластического тела, не требующей оговорок и внутренне более последовательной. Для этой схемы более естественно формулируются и конкретные краевые задачи. Не нужно, конечно, забывать, что вся сумма допущений содержится в идее жестко-пластического тела и пригодность этого представления должна всякий раз подвергаться анализу. По этой схеме нельзя обсуждать важные вопросы о приспособляемости конструкций, связанные с наличием в ней остаточных напряжений. Эта проблема неизбежно возвращает нас к упруго-пластическому телу. [c.102]

Стохастическая сходимость является следствием того, что при приведенных условиях вероятность перехода за п шагов pW uj при /г ОО. На языке теории матриц условие (7) означает, что вектор (м ) есть левый собственный вектор матрицы (р ), отвечающий единичному собственному значению. Если / (х) обладает соответствующими свойствами (достаточно существования ее третьего абсолютного момента), то справедлива центральная предельная теорема цепей [c.277]

Как указывает подзаголовок этой книги, основным методом изложения избран генетический подход. Авторы стремятся объяснить генезис основных идей и понятий теории динамических систем с ударными взаимодействиями, а также продемонстрировать их естественность и эффективность. Ключевым моментом являются найденные недавно теоремы о предельном переходе, обосновывающие различные математические модели теории удара. Их суть заключается в следующем. Односторонняя связь, наложенная на систему, заменяется полем упругих и диссипативных сил. Затем коэффициенты упругости и вязкости некоторым согласованным способом устремляются к бесконечности. Доказывается, что движение такой свободной системы с фиксированными начальными данными стремится на каждом конечном промежутке времени к движению с ударами. При отсутствии диссипации энергии получаем упругий удар, а при надлежащем выборе диссипативной функции Рэлея (задающей структуру сил трения) можно получить в пределе модель Ньютона и более общий удар с вязким трением. Идея реализации связей с помощью предельного перехода в полных уравнениях динамики восходит к работам Клейна, Пранд-тля, Каратеодори и Куранта. Эти результаты позволяют, в частности, решить ряд новых задач об-устойчивости периодических движений с ударами, а также исследовать эволюцию биллиардных систем при неупругих столкновениях, когда имеется слабая диссипация энергии. [c.4]

В дальнейшем всегда, когда используется интеграл, мы имеем в виду интеграл Лебега это необходимо для того, чтобы вводимые ниже функциональные пространства были полны. Функция, интарируемая в смысле Лебега, называется суммируемой. Справедлива следующая важная теорема Лебега (теорема о предельном переходе под знаком интеграла) [c.15]

Для вычисления предельного распределения пщ (и (т)) составляется система уравнений. Уравнения составляются исходя из предположения, что число j — 2 предшествовавших переходов настолько велико, что, с точки зрения применимости теоремы о предельных вероятностях, практически ничего не меняется от того, будет ли предшествовать данному межироверочному промежутку j или / — 1 повторений. Поэтому можно приравнять [c.112]

Примечания и определение. В доказательстве теоремы 10 существенную роль играет теорема, аналогичная теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, которая применима лишь при использовании последовательностей, а не только сетей. Именно такова математическая причина того, что в условии теоремы 10 введено допущение о метризуемости. Как явствует из доказательства следствия 1, данное предположение оправданно, если пространство Ж сепарабельно. Хотя с математической точки зрения требование сепарабельности пространства ГНС Ж представляет собой более жесткое ограничение, чем наше допущение о метризуемости, оно вполне реально 2), если ф — локально нормальное состояние на квази-локальной алгебре. Поскольку такие состояния играют важную роль в физических приложениях, имеет смысл остановиться на них несколько подробнее и ввести следующее определение. Состояние КМШ называется сепарабельным, если единичный шар в Яф(8i)" метризуем в сильной топологии. [c.260]

Если алгебра 3i сепарабельна, то множество метризуемо в йУ -топологии и (так же, как и при доказательстве теоремы 10) можно предложить еще одно доказательство теоремы 12, основанное на теореме, аналогичной теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. [c.265]

Это соотношение прямо вытекает из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Рассмотрим теперь голоморфную в верхней полуплоскости функцию С г) = пВ г). Поскольку aгgD(z) О при 1т2 оо и 1тО г) > О, то О < < тг для всех 1тх > 0. Далее, из (9) вытекает, [c.338]

Формула (2.5) и последующее указание о направлении силы, действующей на профиль, составляют содержание теоремы Н. Е. Жуковского, полученной им как для одиночного профиля (крыла), так и для решетки профилей. В результате предельного перехода i—>эо при Г = onst формула (2.ф не изменяется, поэтому приведенный вывод можно рассматривать одновременно и как один из наиболее простых выводов теоремы Н. Е. Жуковского для одиночного профиля. [c.22]

Для сплошного течения (0 = 0) выражения Ях ж Яу объединяются и дают точное обобщение теоремы Н. Е. Жуковского для профиля решетки в потоке газа (Л. И. Седов, 1948 Г. Ю. Степанов, 1949) в результате предельного перехода t оо лри Г = onst из этого обобщения следует (для одиночного профиля) [c.126]

Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости систелш. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному. Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением. [c.396]

В дальнейшем пользуемся упрощенной моделью, в которой предполагается, что взаимодействие тела с преградой происходит в течение всего времени пребывания тела в области л >0. Ясно, что это время больше значения t из предыдущей задачи, и для моментов времени t>f получаем физически абсурдную картину стенка удерживает тело т, когда оно двил<ется от стенки в отрицательном направлении. Таким образом, вторая модель не претендует на физическое обоснование теории удара. Однако (какпоказано ниже) в результате некоторого предельного перехода она также приводит к модели удара с трением, изложенной во введении, а простота получающихся при этом формул позволяет развить эффективный метод решения ряда задач устойчивости движения в системах с неудерживающими связями (см. гл. 3). Идея метода состоит в следующем односторонние связи заменяются средой Кельвина — Фойгта, и в решениях полученных уравнений движения совершается предельный переход, при котором коэффициенты упругости и диссипации некоторым согласованным образом устремляются к бесконечности. В пределе получается движение системы с неупругим ударом, причем характеристики среды Кельвина —Фойгта определяются по заданному с самого начала коэффициенту восстановления. Такой подход позволяет при решении задач о движении систем с ударами использовать обычные дифференциальные уравнения динамики с дополнительными силами определенного вида. Основным результатом здесь являются теоремы [c.41]

Результаты д.ля случая, когда флуктуирующими параметрами являются гауссовские марковские процессы пли функции от них, можно получить, исходя из предельной теоремы о переходе суммы независимых те.чеграфных процессов с увеличением числа членов в гауссовский дгарковский процесс. [c.330]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Последний предельный переход справедлив при очень больших значениях N. Из формулы (5.62) следует, что отношение собственных значений при Я = О равно 111 К. Другими словами, всегда имеется ближний порядок, причем корреляционная функция экспоненциально затухает вдоль цепочки [ср. с формулой (1.37)] однако при Т = О, когда два корня (5.62) становятся одинаковыми, размер области упорядоченности стремится к бесконечности. Это есть частный случай общей теоремы, согласно которой дальний порядок существует тогда и только тогда, когда наибольшее собственное значение матрицы переноса асимпт.отически вырождено [29]. [c.196]

Последовательная интерпретация схемы жестко-пластического тела слязана с рядом затруднений. Прежде всего отметим, что решение, построенное по этой схеме, вообще говоря, может не совпадать с решением такой же упруго-пластической задачи при Е->-оо. В ряде случаев (например, при чистом изгибе стержня) упругие области исчезают лишь при бесконечно большой кривизне, т. е. указанный предельный переход требует анализа больших деформаций (или же формулировки особых условий одновременного возрастания Е). Отсутствуют теоремы, которые позволили бы судить о близости решений упруго-пластических задач к решениям жестко-пластических. Далее, требуется, чтобы напряжения в жестких частях имели приемлемый характер при продолжении их из пластической зоны и не достигали условия текучести, т. е. чтобы было Т < т . Это условие трудно проверить, так как в жестких частях распределение напряжений неопределенное. С этим обстоятельством связано характерное для жестко-пластической схемы отсутствие единственности поля скоростей. [c.98]

Важный предельный случай предыдущего предложения мы будем иметь, рассматривая среду, в которой показатель изменяется внезапно при переходе через некоторую поверхность о, оставаясь приблизительно постоянным (но с разными значениями) с одной и с другой стороны. Выполнив в обратном порядке рассуждения п. 18 и перейдя к пределу, мы будем иметь случай лучей с прямолинейным ходом с обеих сторон от поверхности а, которые испытывают преломление при пересечении с этой поверхностью. Установленное выше предложение приводит к известной теореме Малюса—Дюпена-, если пучок световых лучей, выходящих из некоторого центра или, вообще, нормальных к заданной поверхности, подвергается какому угодно числу преломлений, то пучок лучей, выходящих из последней поверхности, будет попрежнему состоять из нормалей к некот рому семейству поверхностей. [c.451]

Наконец, следует сделать замечание о той конкретной вероятностной схеме, которая используется при переходе от интегральной Я-теоремы к локальной. При хаком переходе из факта, показывающего, что в некотором множестве (в нашем примере — множестве точек с данной ординатой) подавляющее большинство элементов обладает некоторым признаком (в нашем примере — являются точками минимума), делается вывод, что обнаружение на опыте элемента с этим признаком подавляюще вероятно. Но для этого, очевидно, необходимо, чтобы внутри множества существовало соответствующее распределение вероятностей, например, чтобы все элементы были одинаково вероятны. (Предельные частости, которые в некоторых случаях согласно теории коллектива, могут рассматриваться как вероятности, в случае рассматриваемой — заранее заданной, реальной в смысле 13 — последовательности, без дополнительных предположений не.имеют никакого отношения к понятию вероятности.) Однако легко видеть, что именно такое распределение не может получить математически корректного определения. Действительно, в нашем примере рассматриваемое множество элементов представляет собой дискретное бесконечное множество точек бесконечно простирающейся Я-кривой, обладающих данной ординатой. Элементам же бесконечного дискретного множества, как подчеркивал С. Н. Бернштейн [20], мы не можем приписать равных вероятностей без того, чтобы не притти в противоречие с основным постулатом теории вероятностей, лежащим также в основе применения понятия вероятности к опыту. Этот постулат состоит в условии равенства суммы вероятностей единице — условии позволяющем предложениям истинным сопоставлять вероятность равную единице, а предложениям ложным — вероятность нуль. Исходя из предположения равновозможности, мы не могли бы приписать элементам нашего множества ни равного нулю (так как при этом и полная вероятность была бы равна нулю, тогда как в действительности заведомо осуществилась одна из точек), ни отличного от нуля значения вероятности. [c.117]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Можно показать, что если соотношение (2.4.9) справедливо в единственной точке, то оно выполняется и вдоль всего луча даже в том случае, когда показатель преломления имеет разрывы на границах отражения или преломления. Этот результат известен как теорема Малюса — Дюпина (см. книгу [11] в гл. 1). Интуитивно этот вывод можно понять, если представить себе лучи как предельные траектории при плавном переходе от среды с непрерывно изменяющимся распределением п(г) к среде с резким разрывом показателя преломления. Поскольку равенство V х (пз) = О выполняется для всех лучей в области с регулярным распределением показателя преломления, это равенство должно оставаться справедливым и при достижении границы разрыва. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...