Теорема существования Коши

Теорема существования (Коши) и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка y =f(x, у). Если f х, у) однозначна и непрерывна в некоторой области D изменения переменных х, у и если для любых пар точек (л , у,), х, у ) в этой области f х, у) удовлетворяет условию Липшица [c.47]

Тогда теорема существования Коши — Ковалевской ) утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое решение для данных аналитических начальных условий ф, (х 0) при / = 0. [c.180]

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ КОШИ. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ 409 [c.409]

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ КОШИ. ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ 411 ес.т1и, кроме того, предполагать, что ф обращается в нуль при [c.411]

Таково содержание обобщенной Пуанкаре теоремы существования Коши. [c.414]

Из теоремы существования Коши вытекает, что интеграл w этого уравнения, который при = Со принимает значение w = можно разложить по степеням С — Со в форме [c.470]

И тогда по теореме существования Коши все особенности функции [c.480]

Обобщенная Пуанкаре теорема существования Коши показывает, что интеграл уравнений (3) может быть разложен по степеням ц (если ц выбрано достаточно малым) для всех значений времени t, для которых справедливо разложение (3 ), с ограничением, сформулированным в 7 гл. VIH для случая, когда разложение (3 ) сходится для всех значений времени. [c.496]

Теорема существования Коши [c.32]

Теорема существования Коши 33 [c.33]

Теорема существования Коши 35 [c.35]

Теорема существования Коши 37 [c.37]

Нужно теперь с помощью теоремы существования Коши доказать, что новые координаты Vk к = 1,. .., 6) как функции s останутся регулярными также и при s = si. Для этого исследуем прежде всего поведение этих координат при предельном переходе s si (О s < si), для чего используем результаты 6. Соответственно этому заставим стремиться rjk к = 4, 5, 6) при i ii, т. е. при s si, к их предельным значениям, и расстояния Г2з, ri2 — к положительным пределам. В соответствии с (7 11) получаем [c.68]

Д(ж, а) будут регулярными функциями переменных ж и а, и в этой области справедлива оценка (3). Согласно теореме существования Коши ( 4), система (1) имеет единственное решение ж(i, а), для которого ж(0, а) = и Xk t, а) [к = 1, т) суть регулярные аналитические функции комплексной переменной Ь в круге [c.186]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

Будем, как и ранее при рассмотрении трехмерного пограничного слоя на торцовой стенке, предполагать, что для обоих написанных уравнений (281) и функции (283) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши тогда одна и та же интегральная поверхность, описывающая [c.233]

Второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно нри у = 0, Z = 0. Из теоремы существования единственности решения задачи Коши можно утверждать, что другого решения нет. Т.е., если начальная скорость направлена по прямой, следовательно, и сила сопротивления направлена но прямой. [c.75]

Доказательство теорем существования в общем случае. В предыдущих параграфах теорема существования решений гранично-контактных задач была доказана при соблюдении гипотезы Коши, т. е. при допущении неизменности коэффициента Пуассона для всех упругих тел. Теперь мы отказываемся от этой гипотезы и, считая коэффициенты Пуассона различных тел произвольными, но достаточно близкими друг к другу, покажем, что из предыдущего получается доказательство теорем существования для всех гранично-контактных задач и в этом случае. [c.496]

В 5 в пп. 1—9 теоремы существования были доказаны в условиях гипотезы Коши. Распространение на общий случай приводит к условию (5.63). [c.498]

У истоков теории обыкновенных дифференциальных уравнений во всех трактатах по механике лежит первый метод — непосредственное построение уравнений интегральных кривых, решений дифференциальных уравнений. К первому методу дело сводилось долгое время и после того, когда стало ясно, что решения, получаемые в квадратурах — это явление редкое, случайное. И теоремы существования Пикара и Коши, и теория Фукса строились также на фактическом построении решений в виде сходящихся рядов. [c.80]

Теорема существования решения задачи Коши, поставленной для системы (1) с начальными данными на гладкой пространству подобной кривой, справедлива (в малом, т. е. в некоторой окрестности начальной кривой), если начальные данные непрерывно дифференцируемы. [c.138]

Качественные свойства. Очевидно, что гиперболическая система (7) является симметрической (см. 7). Поэтому для нее справедливы все выводы, полученные для уравнений одномерного движения в 15. В частности, верны теоремы единственности решения задач Коши и Гурса, а также некоторых смешанных задач. Теорема существования гладкого решения. [c.264]

Это и составляет знаменитую теорему существования Коши. Эта теорема получила существенное развитие в работе Пуанкаре, благодаря чему он смог сделать в небесной механике далеко идущие выводы. Теорему Пуанкаре мы разделим на три части. [c.404]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Теорема (Коши) существования и [c.210]

Для случая линейных гиперболических систем разработан [3] метод решения задачи Коши при помощи сходящихся разложений на бегущие волны, когда члены рядов имеют в качестве множителей обобщенные функции, содержащие при увеличении номера члена ряда все более слабые особенности, а коэффициенты при обобщенных функциях определяются из обыкновен ных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости таких рядов сведено к теореме существования Коши-Ковалевской [4]. Однако не видно, как можно перенести эти результаты на случай нелинейных уравнений гиперболического типа. [c.317]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений, вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности чисел линейно-независимых решений данной и сопряженной систем доказывается, что эта разность равна так называемому индексу системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет показано, что уравнения (D ), (DJ, (Г,), (7 J относятся именно к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основные теоремы и альтернатива Фредгольма кроме того, уравнения (D ), и (DJ, (7 г) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе мы докажем теоремы существования для первой и второй задач. [c.266]

Для квазилинейных гиперболических уравнений вида (1.3) из- стна теорема существования в малом и единственности гладкого шения задачи Коши с гладкими начальными условиями (см.,напр., ). Одним из существенных предположений при доказательстве 10Й теоремы является условие гладкости функции ( Х ). В слу-1в негладкой функции возникает затруднение с оп- [c.9]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

П01веденное утверждение является формулировкой так называемой теоремы о существовании главных площадок (главных напряжений). Таким образом, напряженное состояние в окрестности любой точки тела можно представить как растяжение (в алгебраическом смысле) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпадающих с направлениями нормалей к главным площадкам, или, что то же самое, с направлениями главных напряжений. Поверхность (5.8) называется квадрикой Коши ). Подробнее о ней говорится в разделе 2 5.16. [c.387]

Таким образом, предлагаемая трактовка позволила выявить четкую связь между понятием третьей квадратичной формы поверхности и ее характеристикой — индикатриссой. Условие (3.29) удовлетворяет теореме о существовании изометрической системы координат на любой поверхности [9], т. е. системе Коши—Римана, которая в комплексной форме записывается так [c.32]

При выполнении условий теоремы о существовании и единственности решения (теорема Коши, см. ниже) через задан1 ую точку (хо, Уо) проходит единственная интегральная кривая. [c.45]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

Условия существования поставленной в 1 задачи Коши совпадают с условиями существования неявной функции. Согласно теореме о единственности малого решения системы (4.11) в окрестности состояния Х(п) ранг матрицы Якоби Hflijli должен быть равен г [13]. [c.142]

В гл. 4 говорилось о том, что одним из основных возражений против существования стохастических решений дифференциальных уравнепий в свое время была теорема единственности. Действительно, при постановке задачи Коши решение должно быть едипствепным, полностью определяемым начальными условиями и, следовательно, вполне предсказуемым. Как же может возникнуть непредсказуемость Оказывается, что при исследовании стохастических решений постановка задачи Коши неправомерна. Опа никогда не соответствует условиям экснеримента (натурного или численного), поскольку начальные условия принципиально пе могут быть заданы абсолютно точно. Поэтому имеет смысл формулировать задачу на статистическом языке. Пусть в начальный момент времени задано некоторое распределение вероятностей, близкое к б-образному. Если в последующие моменты зто распредблепие по крайней мере не уширяется, то можно с самого начала считать его б-функцией и рассматривать задачу Коши. Решение при этом будет регулярным и предсказуемым. В противном случае, когда первопачальпо заданное распределение вероятностей расплывается и приобретает конечную ширину даже при стремлении начального распределения к [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...