ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема о предельном переходе из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Силы трения, как известно, равны —дФ дх. Они линейны по скоростям. Из механики известно, что если система совершает движение в потенциальном силовом поле с потенциальной энергией V под действием дополнительных сил вязкого трения с функцией Рэлея Ф, то вдоль каждого движения (7 + У)- = = —2Ф. В модель й задаче, рассмотренной в 2, функция Ре-лея Фдг равна kУNx . [c.42] В формулах (3.1) и (3.2) присутствует безразмерный параметр N. который затем будет устремлен к бесконечности. [c.42] При заменах обобщенных координат обе части этой системы уравнений преобразуются по ковариантному закону. [c.43] Скалярное произведение ковекторов дУ1 дх- дФ /дх и д[, дх вычисляется в метрике, двойственной метрике - 1 и задается матрицей, обратной к gij. Условие (3.8) означает, что сила реакции преграды может быть направлена лишь в сторону возрастания функции [. [c.44] Во второй (упрощенной) модели предполагается, что взаимодействие системы с преградой имеет место во всей области /(х) 0. [c.44] При достаточно малых 0 точка x i) заведомо попадет в область /(х) 0. Оказывается, в момент времени i v 1 точка x(t) перестанет взаимодействовать с преградой, причем при Л — оо скорость V в этот момент линейно зависит от V (у = Л ), и собственные значения оператора восстановления Л можно выразить через физические параметры задачи. [c.44] Рассмотрим ковектор р с координатами р = дЦдх1 (0). Пусть , н — метрика в двойственном пространстве Н = р , определяемая матрицей, обратной к /(О) (ср. с обозначением в формуле (3.8)). Положим р = р, р . Пусть ть. ... у,г — корни характеристического уравнения а /(0)—vgi (0) 1 =0 и Сь. .., — соответствующие собственные векторы матрицы 1а /(0) 1 относительно матрицы 11 г7(0)11. В силу условия (3.4) одним нз собственных векторов является вектор нормали п к 2 в точке х = 0. Будем считать, что 61=11. [c.44] Левая часть соотношения (3.10) равна как раз у — скорости точки х(г) после удара. Таким образом, теорема 3 дает физическое обоснование аксиоматической теории удара с трением (введение, п. 9). Если = О (диссипация отсутствует), то 1== —1 8=. -= , =1 и (ЗЛО) является основным соотношением теории абсолютно упругого удара. При lp Vl в рамках второй модели не происходит отскока точки х( ) от поверхности 2 в этом случае удар будет абсолютно неупру-тим (ср. с задачей, рассмотренной в 2). [c.45] Лемма 1 [30]. Пусть /(0)=0 и /(0) 0. Тогда в окрестности точки х=0 суи ествуют локальные координаты Ху,. .., такие, что х) х1 и g i x) =0 для всех / 2. [c.46] Вернуться к основной статье