Теория центральная предельная теорема

Рассмотрим решение задачи для частного случая, когда распределения нагрузки и несущей способности подчиняются нормальному закону. Этот случай имеет широкое применение и позволяет получить простое замкнутое решение. Применение нормального закона оправдано в случае совместного действия достаточно большого числа случайных-возмущений, подчиняющихся различным законам распределения если среди них нет превалирующего, то результирующее возмущающее воздействие согласно центральной предельной теореме теории вероятностей имеет распределение, близкое к нормальному. На практике распределения многих возмущений отличны от нормального хотя бы потому, что целый ряд параметров (предел прочности, размеры и т.п.) не могут быть величинами отрицательными. Но усечения законов распределения обычно невелики, что позволяет игнорировать теоретическую нестрого сть допущения нормального распределения. [c.8]

Однако вычисление вероятности безотказной работы по формуле (4.15) в больщинстве случаев приводит к серьезным аналитическим трудностям. Если число элементов достаточно велико, можно воспользоваться известной в теории вероятности центральной предельной теоремой. В соответствии с этой теоремой сумма достаточно большого числа случайных слагаемых имеет приближенно нормальное распределение (для практических задач уже 10-12 слагаемых обычно бывает достаточно). Если известны среднее значение величин , равное Г, и ее дисперсия о , то сумма п таких случайных величин будет иметь среднее значение пТ и дисперсию по , т.е. искомая вероятность приближенно может быть записана как t [c.155]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

ГОСТ 12997—76). Отсюда -s/.. . 3. Тем самым определяется и требование к ограничению каждой некоррелированной влияющей величины, причем в нормальных условиях действие влияющих величин по уровню приближается к шуму. Шумы, встречающиеся в физике и технике, можно описать при помощи нормального распределения, что является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.43]

При таких условиях в теории вероятности доказывается центральная предельная теорема Ляпунова, в соответствии с которой распределение суммы большого числа независимых случайных величин (с произвольными законами распределения ) подчиняется нормальному закону. В практике нормальное распределение встречается очень часто погрешности изготовления и измерения деталей, рассеяние механических свойств материалов, распределение различного рода случайных воздействий и т. п. Нормальный закон распределения обладает устойчивостью, линейные функции нормальных случайных величин также следуют этому закону. Во многих задачах с помощью нормального закона или его модификаций можно приближенно представить другие распределения. Плотность распределения при нормальном законе выражается следующим равенством [c.218]

Формулы (2.2) и (2.3) соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой [c.123]

Число реализаций при решении задач методом СИ определяется требуемым уровнем точности получаемых результатов. Пусть цель моделирования - вычисление вероятности Р появления некоторого случайного события Е. Например, при исследовании точности механизмов практический интерес могут представлять вероятности выхода значений ошибок положения, скорости, ускорения ведомого звена за определенные пределы. В качестве оценки для искомой вероятности Р принимают частоту LjN наступления события Е при реализациях (ще L - число испытаний, при которых происходит событие Е). По центральной предельной теореме теории вероятностей частота L/N при достаточно больших значениях N имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием М LjN = р и дисперсией [c.482]

Для выборочных распределений доказано еще много полезных теорем. Наиболее полезной и ценной теоремой статистики как с теоретической, так и с прикладной точки зрения является центральная предельная теорема. Исторически для формулировки и доказательства центральной предельной теоремы потребовалось более двух столетий. Вклад в ее развитие внесли многие выдающиеся математики. Основными вехами являются следующие результаты [c.325]

Третий прием, упрош,ающий вычисления, заключается в переходе к асимптотическим оценкам при t оо. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей сумма большого числа случайных величин, имеюш,их средние значения и дисперсию а , асимптотически нормальна и имеет среднее значение tii и дисперсию па" , где л —число слагаемых. То есть для любого t [c.110]

Нахождение плотностей /о(Л) и /с(Л) при произвольных отношениях сигнал/шум представляет большие трудности. В ряде случаев можно использовать различные приближения. В случае обнаружения слабого сигнала, как уже указывалось, количество отсчетов в выборке должно быть достаточно большим. Поэтому законы распределения отношения правдоподобия /о(Л) и/с(Л) в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей близки к нормальному. Запишем плотность вероятности Л при отсутствии сигнала в виде [c.68]

Строгая формулировка этого результата следует из центральной предельной теоремы для интегралов от случайных процессов (формулировка теоремы содержит также условие типа Ляпунова—Линде-берга [38]). Если трактовать интеграл в правой части формулы (5.11) как предел римановой суммы, то последняя будет содержать большое число случайных слагаемых, которые станут практически независимыми при I 2—к > Тс. Таким образом, здесь имеем аналог центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.170]

R соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей сумма Sjy большого числа случайных величин приблизительно нормальна, т. е. имеет плотность распределения вида [c.57]

Можно показать, что данное предположение эквивалентно предположению о том, что распределение переменной А (t) описывается гауссовым законом, который связан с законом больших чисел (или с центральной предельной теоремой) теории вероятностей. [c.13]

Условия возникновения нормального распределения устанавливаются центральной предельной теоремой теории вероятностей [8]. Так как эти условия на практике часто выполняются, то нормальное распределение является самым распространенным распределением, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы. [c.59]

Доверительный интервал зависит от закона распределения , от числа измерений п, а также от выбранной доверительной вероятности ро- Оценку точности и надежности подходящих значений статистических характеристик относительных изменений сопротивлений тензорезисторов, основываясь на центральной предельной теореме теории вероятностей, проводят, принимая, что случайные величины замеров распределяются по нормальному (гауссову) закону. [c.208]

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин Хг/л будет сколь угодно близким к нормальному. Тогда, заменяя дисперсию ее точечной оценкой [см. формулу (6.46)], можно для оценки доверительной границы погрешности результата воспользоваться равенством (6.53). Число наблюдений п, при котором это становится возможным, зависит, конечно, от распределения случайных погрешностей. [c.115]

Основной теоремой, представляющей особую важность для нас в последующих приложениях статистики, является центральная предельная теорема. Мы сначала сформулируем эту теорему [c.39]

II фаза иитерферограммы. Возможны два разных подхода. Один основан на предположении, что полное число фотоотсчетов многоэлементного фотоприемника достаточно велико и к действительной и мнимой частям величины Ж ро) применима центральная предельная теорема. Тогда задача определения амплитуды и фазы иитерферограммы сводится к задаче определения амплитуды и фазы постоянного фазора комплексного гауссовского шума с круговой симметрией. Такой подход был использован в работе [9.18]. Мы выберем другой несколько более простой подход, основанный иа другом предположении. Вместо того чтобы привлекать центральную предельную теорему, мы предположим, что ширина шумового облака иа рис. 9.5 намного меньше длины истинного значения фазора вдоль действительной оси (см. гл. 2, 9, п. Д и гл. 6, 2, п. В, где проводился подобный анализ в том же предположении большого отношения сигнала к шуму). Обращаясь к рис. 9.5, можно записать эти предположения в виде [c.471]

Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) — выдающийся русский математики механик. После окончания Петербургского университета с 1885 по 1902 г. работал в Харьковском университете. В связи с избранием в Российскую академию наук в 1902 г. переехал в Петербург. Скончался в Одессе в 1918 г. Создатель математической теории устойчивости равновесия и движения (основная работа Общая задача об устойчивости движения , 1892 г.), автор центральной предельной теоремы в теории вероятностей (1900 г.), трудов по движению тел в жидкостях, по фигурам равновесия вращающейся жидкости, по теории потенциала. Научные заслуги А. М. Ляпунова получили всемирное признание он был избран почетным членом многих университетов, чле-ном-корреспондентом Парижской академии наук, иностранным членом Римской академии наук и др. [c.17]

Теоретическим обоснованием использования нормального распределения служит одна из центральных предельных теорем теории вероятностей. Согласно ей распределение среднего независимых случайных величин, распределенных по любому закону (или даже имеющих до N различных распределений с конечными математическими ожиданием и дисперсией), при неограниченном увеличении числа наблюдений в выборке приближается к нормальному. Хотя центральная предельная теорема связана с большими выборками, распределение выборочного среднего стремится к нормальному даже при относительно небольших значениях п, если значения дисперсии какого-либо элемента или небольшой группы элементов не является преобладающим и распределение элементов выборки не слишком отклоняется от нормального. На примере гамма-распределения, рассмотренного в начале этого раздела, было показано, что уже 12 независимо действующих факторов приводят к распределению, практически не отличающемуся от нормального. [c.419]

Этот закон является одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей. [c.47]

Центральная предельная теорема теории вероятностей утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных. [c.47]

Стохастическая сходимость является следствием того, что при приведенных условиях вероятность перехода за п шагов pW uj при /г ОО. На языке теории матриц условие (7) означает, что вектор (м ) есть левый собственный вектор матрицы (р ), отвечающий единичному собственному значению. Если / (х) обладает соответствующими свойствами (достаточно существования ее третьего абсолютного момента), то справедлива центральная предельная теорема цепей [c.277]

Количество реализаций при решении задач методом имитационного моделирования определяется требуемым уровнем точности получаемых результатов. Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности Р появления некоторого случайного события Е, например, в задачах триботехники практический интерес может представлять вероятность выхода значения коэффициента трения за определенные пределы. В качестве оценки для искомой вероятности Р принимается частота L/N наступления события Е при N реализациях (где L - число испытаний, при которых происходит событие Е ). Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей [4] (которую здесь можно взять в форме теоремы А.Я. Хинчина), частота LjN при достаточно больших N имеет распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием M LIN = P и дисперсией D[Z-//V] = [c.482]

Из приведенных соотношений следует, что для нормального закона равен нулю первый момент, а коэффициенты асимметрии (третий момент) и эксцесса (четвертый момент) равны нулю и трем соответственно. Действительно, первые измерения пульсаций скорости в турбулентном потоке за решеткой, являющимся хорошим аналогом однородной турбулентности, показали, что экспериментальные точки хорошо согласуются с кривой нормального закона распределения, а измеренные Таунсендом [102] коэффициенты асимметрии и эксцесса дали в согласии с теорией значения = = О и Ш4 = 3, 0. Эти результаты были получены для компонент скорости 1, 2, 3 на различных стадиях вырождения и при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты имели ясный физический смысл. Поле турбулентных пульсаций связано уравнениями Навье-Стокса. Следовательно, скорость в любой точке потока обусловлена всем полем случайных скоростей в пространстве, окружающем эту точку. Другими словами, пульсация скорости в данной точке есть результат совместного влияния на нее множества случайных пульсаций во всех прочих областях поля. А это ситуация, при которой справедлива центральная предельная теорема Ляпунова, согласно которой случайные процессы, формирующиеся под воздействием большого или бесконечно большого числа независимых или линейно связанных факторов, имеют нормальный закон распределения. Однако более детальный анализ обнаружил, что эта похожесть на нормальный процесс не полная, а применимость центральной предельной теоремы возможна лишь с определенными оговорками. Так, дальнейшее изучение механизма турбулентности показало, что случайные воздействия, [c.124]

Так называемая центральная предельная теорема в теории вероятности впервые была получена А. М. Ляпуновым. О предельных теоремах в статистической физике см. [4].— Прим. перев. [c.431]

Мы видим, что для диффузии в поле однородной стационарной турбулентности полуэмпирическое уравнение (10.49) (с постоянными коэффициентами диффузии Kij) выполняется лишь при t to + Т, но при таких t зато может быть обосновано весьма убедительно (оно вытекает из нормальности распределения вероятностей для К(т), очень правдоподобного в силу центральной предельной теоремы см. выше п. 9.3). Заметим, однако, что этом случае ценность уравнения (10.49) оказываете довольно ограниченной, так как обш,ее выражение для )Ь X, t) здесь может быть сразу выписано и независимо от этого уравнения (например, исходя из равенств (10.5) и (10.12)). Поэтому основная ценность полуэмпирической теории заключается в возможности ее применения к более общему случаю неоднородной (или нестационарной) турбулентности, к которому мы теперь и перейдем. [c.532]

Формула (26.25) и ее упрощенные варианты (26.28) и (26.32) (см. ниже стр. 558) показывают, что флюктуации (д ) представляются в виде интеграла от п с некоторыми весовыми функциями, распространенного на рассеивающий объем V. Если линейный размер этого объема Ь очень велик по сравнению с внешним масштабом турбулентности то объем V можно представить в виде суммы очень большого числа частей с размерами порядка Ьд. При этом ф (->с) будет представлено в виде суммы очень большого числа практически некоррелированных слагаемых, и в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей можно ожидать, что случайная величина ф (д ) (при фиксированном д ) имеет нормальное распределение. Следовательно, рассматривая флюктуации интенсивности света /, можно ожидать, что случайная величина 1п (/// ) = 21п (Л/Л(,) = 2 является нормальной, а сама интенсивность / — логарифмически нормальной. Этот вывод нашел хорошее подтверждение в результатах измерений мерцания искусственного источника света в приземном слое [c.556]

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА —одна из важнейших предельных теорем вероятностей теории, описывающая асимптотику при больших N распределения вероятностей суммы N случайных величин. [c.425]

Предположение о нормальном распределении величины оправдывается результатами непосредственных измерений напряжений в рамах тележек локомотивов [33, 34], электровозов [52], в пол-уосях автомобилей [34] и некоторых других случаях. Нормальность распределения е можно объяснить на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей, так как на [c.159]

Предположение о нормальном рас- пределёнии величины г оправдывается результатами непосредственных измерений напряжений в рамах тележек, локомотивов, электровозов, в полуосях автомобилей и в других случаях. Нормальное распределение е можно объяснить с помощью центральной предельной теоремы теории вероятностей, ибо на величину е оказывают влияние значительное количество случайных факторов, каждый из которых влияет незначительно., [c.290]

Широкое распространение нормального распределения погрещ-ностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейщие математики— А. де Муавр, Р. де Лаплас, К- Ф. Гаусс, П. Л. Чебыщев и А. М. Ляпунов. [c.103]

В заключение отметим, что логарифмически нормальное распределение играет в теории перемножения независимых случайных величин такую же важную роль, как нормальное в теории суммирования. Для него выполняется аналог центральной предельной теоремы распределение произведения п независимых ноложитель-дых случайных величин при некоторых общих условиях стремится [c.82]

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Теоретическая схема, отображающая реальные условия возникновения рассеивания случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, лежит в основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. Этой теоремой доказано, что случайная величина, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых (или слабозависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. [c.73]

Если интервал временного сглаживания р выбран достаточно большим в смысле центральной предельной теоремы (8), то каждое сглаженное по времени наблюдение Д в некотором приближении может считаться нормально распределенным со средним (/) и дисперсией о 1р. Более того, в силу той же теоремы каждое такое сглаженное среднее асимптотически (по р) статистически не зависит от конфигурации в начальный момент интервала, по которому проводится сглаживание, поэтому набор наблюдений (/s) асимптотически статистически независим между собой. Следовательно, значения /, определяемые формулой (104), приблизительно нормально распределены со средним (/) и дисперсией а 1МрР = a n, что нам было известно и ранее. Однако в обычной статистической теории малых выборок дисперсия о р оценивается в виде обычной дисперсии выборки sj/p набора (/ ) [c.312]

Усредним это выражение. Очевидно, что при распространении плоской волны в неограниченном пространстве, не обладаюш ем поглощением, плотность потока энергии должна сохраняться, т. е. должно выполняться соотношение (YT ) = onst. Так как случайные величины х и Re [Ф —<Фа>] стоят под знаком экспоненты, то для выполнения операции усреднения необходимо знать закон распределения вероятностей этих величин. Величина х-как было установлено выше, выражается при помощи интеграла от случайной величины е . В случае, если расстояние L значительно превышает радиус корреляции Lo флуктуаций е, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распределения X приближается к нормальному ). [c.330]

Теорема 3.19 (см. [4], [6]). Диффеоморфизм Аносова с мерой Лиувилля класса изоморфен автоморфизму Бернулли (в частности, он эргодичен, перемешивает, обладает /С-свойст-вом, имеет положительную энтропию) кроме того, он обладает свойством экспоненциального убывания корреляций и удовлетворяет центральной предельной теореме теории вероятностей для функций, удовлетворяюших усло1вию Гёльдера. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...