Случай динамической симметрии

Для случая динамической симметрии А = С получим, [c.172]

Исследование значительно упрощается, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Этот случай динамической симметрии космического аппарата часто встречается на практике. [c.175]

Случай динамической симметрии [c.85]

Случай динамической симметрии. Рассмотрим систему (4.8) при условии динамической симметрии 1 = /2 = 1). Оказывается, что она сводится к двум степеням свободы и к системе Неймана. Гамильтониан (4.8) системы в этом случае может быть представлен в виде [c.215]

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движение тела, у которого Аф В, и движение тела в случае, когда А В, т. е, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. В случае А = В мы будем говорить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако А = В, т. е. имеет место динамическая симметрия. [c.195]

Общий случай АФВ (отсутствие динамической симметрии). В случае Эйлера главный момент Мо приложенных сил относительно неподвижной точки равен нулю, и поэтому [c.195]

Случай В (динамическая симметрия). Рассмотрим теперь частный случай, когда тело имеет ось динамической симметрии. Так как ось симметрии всегда является главной осью инерции, ясно, что одна из осей греческой системы должна быть направлена по оси симметрии. Направим по ней ось Z- Учитывая, что А = В, т. е. что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, из последнего уравнения системы (60) сразу получаем, что [c.200]

Случай Лагранжа — Пуассона. В этом случае тело, имеющее одну неподвижную точку О, находится под действием только силы тяжести и форма этого тела такова, что для него А=В С, т. е. эллипсоид инерции для неподвижной точки О тела есть эллипсоид вращения, и центр тяжести тела лежит на подвижной оси Oz на некотором расстоянии от неподвижной точки О. При этом ось Oz является осью симметрии эллипсоида инерции и называется оаю динамической симметрии тела. Такое тело, имеющее одну неподвижную точку, часто называют симметричным гироскопом (рис. 391). Его положение определяется тремя Эйлеровыми углами <р, ф и 0. [c.709]

Случай Эйлера и случай Лагранжа — Пуассона можно демонстрировать на гироскопе колоколообразной формы, вдоль оси динамической симметрии которого передвигается винт, чем можно по произволу привести точку опоры О (острие винта) в совпадение с центром тяжести С или же поместить центр тяжести С выше точки опоры О на оси винта (рис. 392). [c.711]

Помимо проблемы устойчивости движения, одной из классических задач теоретической механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, т. е. тела, закрепленного при помощи сферического шарнира. Этой задачей занимались самые выдающиеся ученые-механики Эйлер, Лагранж, Пуансо. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо для этого же случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки дал наглядную геометрическую картину этого движения. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ось динамической симметрии, проходящую через неподвижную точку. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки имеет первостепенное значение для теории гироскопов, которая находит широкое применение в различных областях современной техники. После Эйлера и Лагранжа многие ученые безуспешно пытались найти новые случаи решения этой задачи. В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию в этом конкурсе получила первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). В своей работе Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С. В. Ковалевской мировую известность и, по выражению Н. Е. Жуковского, немало способствовала прославлению русского имени . [c.26]

Рассмотрим теперь случай, когда Э = r I и тело имеет ось динамической симметрии. Пусть, например,/ = /2. Тогда уравнения (16) имеют четыре первых интеграла [10] [c.94]

Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляет значительные математические трудности. Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи, а именно случай вращения динамически симметричного тела вокруг неподвижной точки по инерции (случай Эйлера) и случай движения под действием силы тяжести, когда тело имеет относительно неподвижной точки ось динамической симметрии, а центр тяжести лежит на этой оси (случай Лагранжа ). [c.322]

Качественное исследование движения волчка Горячева-Чаплыгина начато Л. Н. Сретенским в работе [67]. В ней подробно изучается случай, когда тело приведено в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси эллипсоида инерции, на которой лежит центр тяжести. Нетрудно показать, что в этом случае справедливо неравенство Iiu 4/ , т.е. ось динамической симметрии может занимать вертикальные положения. Л. Н. Сретенский вводит в уравнения движения малый параметр, соответствующий быстрым вращениям тела, и в первом приближении по этому параметру получает формулы [c.170]

Таким образом, в отличие от случая Горячева - Чаплыгина, лишь в исключительных случаях ось динамической симметрии волчка Ковалевской может сколь угодно близко подходить к вертикали. Всюду ниже будем считать, что Ii ф 2/ + /3. [c.206]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

При движении симметричного твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести (случай Лагранжа) угол 0 между вертикалью и осью динамической симметрии сохраняет во время движения постоянное значение. Какое движение тела реализуется при этих условиях [c.111]

Развиваемый групповой формализм Пуанкаре применил к выводу уравнений твердого тела, содержащего полости, заполненные вихревой идеальной несжимаемой жидкостью. Для этих уравнений он указал случай интегрируемости, характеризующийся динамической симметрией. Он также получил эллиптическую квадратуру и использовал ее для объяснения различных эффектов в прецессии Земли, которую представлял себе как твердую оболочку (мантию) с жидким ядром. Указал также явные формулы для частот малых колебаний и получил необходимые условия устойчивости. [c.24]

Обобщение случая Чаплыгина на уравнения Пуанкаре-Жуковского выполнено О. И. Богоявленским (см. 2 гл. 3), при этом в гамильтониане (1.15) нарушается динамическая симметрия. В 8 гл. 5 мы приводим обобщение этих случаев на пучке скобок и их явное интегрирование. [c.176]

Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами 1 = (М, 7), 2 = Мз ( 3 гл. 2). [c.208]

Другим частным случаем диагональной диссипации, при котором также возможен автономный интеграл, является динамика осесимметричного твердого тела, при этом ai = аг, 6i = 62 = Ь. Дополнительным неавтономным интегралом, линейным по М, является аналог проекции момента на ось динамической симметрии [c.261]

Замечание 5. Анализ движения двумерной площадки на сфере под действием потенциальных сил выполнен в [199], где указан аналог случая Лагранжа, возникающий при динамической симметрии тела. [c.277]

Перейдем теперь к рассмотрению другого важного частного случая, когда притягивающее те ю обладает н геометриче-ско 1 и динамической симметрией относительно некоторой осн. Так, например, геометрической осевой симметрией обладает тело, внешняя поверхность которого есть поверхность вращения вокруг некоторой оси. Тело может быть также простым слоем, распределенным на поверхности вращения. Из одномерных тел 1 ео.метрической симметрией обладает только окружность и, можно сказать, прямолинейный отрезок. [c.230]

Случай Лагранжа (1788 г.) Ai=Ai, г, = гг=0. Новый интеграл— (1)3—проекция угловой скорости на ось динамической симметрии. [c.134]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Знание динамических давлений в кинематических парах позволяет приступить к решению задачи определения их конструктивных размеров. Наиболее просто эта задача решается, если кинематическая цепь и силовая нагрузка имеют общую плоскость симметрии, параллельную движению ее звеньев. В дальнейшем будет предполагаться этот случай. [c.131]

Рассмотренный случай равенства частот oi и С02 позволяет расширить понятие симметрия динамической системы. [c.96]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Для рассматриваемого случая тело является динамически симметричным аг = 2, а центр масс находится на оси динамической симметрии Г1 = Г2 = 0. Дополнительный интеграл имеет вид F , = М3 = onst. [c.102]

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью g = тг/2) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии А = diag(l,o,2). Периодическое решение Бобылева - Стеклова сохраняется при любом значении а, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка I = тг/2, L/G = 0. Значения интегралов энергии и площадей h = 4, с = 1. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Как показано на рис. 63, при увеличении а это решение теряет устойчивость и бифурцирует — из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении а, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода неустойчивость интегрируемости этого случая, т.к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н. И. Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69]. [c.150]

В обобщениях случая Ковалевской и Горячева-Чаплыгина гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Разделение переменных для случая Сретенского (обобщение Горячева-Чаплыгина) указано в [158, 159]. В 7 гл. 5 оно получено нами другим способом и на целом пучке скобок Пуассона. По-видимому, гиростатическое обобщение Яхьи-Комарова случая Ковалевской до сих пор не проинтегрировано в квадратурах. В 7 гл. 5 мы распространим этот случай на пучок скобок Пуассона и предъявим соответствующие дополнительные интегралы. [c.158]

Связь этой системы с динамикой твердого тела в суперпозиции однородных полей указана в 1 гл. 4 в этом параграфе также показано, каким образом этот случай может быть продолжен до общего интегрируемого случая в кватернионных уравнениях, являющегося непосредственным обобщением случая Ковалевской. Случай Чаплыгина допускает также добавление гиростата вдоль оси динамической симметрии ( 1 гл. 4). Кроме того, на нулевой постоянной площадей интегрируется система, потенциальная энергия которой представляет собой суперпозицию случаев Чаплыгина и Ковалевской ( 7 гл. 5). [c.176]

Обобщение случая Чаплыгина (I). Этот частный случай интегрируемости может быть обобщен при помощи добавления постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии (Х.Яхья [285]). Гамильтониан и интеграл можно представить в форме [c.179]

Редукция no интегралу Мз = onst и переменные (1.16) уже использовались нами в 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа. [c.228]

Дифференциальные уравнения движения записываются в перигейной системе координат OXYZ, ось аппликат Z которой коллинеарна радиусу-вектору перигея орбиты, ось ординат У нормальна плоскости орбиты, а ось абсцисс X имеет тангенциальное направление (в сторону движения спутника). Для случая спутника, обладающего осевой динамической симметрией А = В, уравнения движения были указаны В. В. Белецким [10]. Они имеют следующий вид dG [c.760]

Случай Лагранжа— Пуассона (рис. 58.3). Эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, А-ВфС, 2i центр тяжести лежит на оси динамической симметрии (на оси вращения эллипсоида инфции). Это симметричный гироскоп. [c.197]

Проблема воздействия импульсных сил, распределенных вдоль линии, на анизотропное полупространство была рассмотрена для трансверсально изотропного упругого материала в работе Краута [88]. В частности, если поверхность полупространства нормальна к оси симметрии, линейный источник вызывает появление двух волновых поверхностей (рис. 22). Обобщение этого решения на случай соударения с упругим телом к настоящему времени не получено. Волны, образующиеся при сосредоточенном ударном нагружении изотропного полупространства, изучались Пекерисом [135 ], который показал, что большие поверхностные напряжения распространяются со скоростью поверхностных волн Релея. Однако решение динамической задачи об ударе упругой сферы по упругому полупространству до настоящего времени не известно. [c.316]

Лагранжев случай движения весомого твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Симметричный гироскоп. Пусть весомое твёрдое тело S движется вокруг неподвижного полюса О, для которого эллипсоид инерции тела является поверхностью вращения. Пусть при этом центр масс тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, или, как говорят, на динамической оси симметрии тела ( 252). Этот случай движения тела носит название лагранжева случая движения весомого твёрдого тела, а само тело называется HMMeTpH iHbiM весомым гироскопом. Уравнения движения (46.21) на стр. 513 для названного случая примут вид [c.553]

Выше рассмотрен случай, когда дополнительные массы, нарушающие строгую симметрию системы, вводились для одной совокупности сходственных точек (S различающихся дополнительных масс). Более гибко нужная динамическая система с нарушенной симметрией может быть сформирована увеличением числа совокупностей сходственных точек, где производится введение дополнительных масс. Если рассматривается число совокупностей сходственных точек п, то общее число различающихся масс, формирующих нужную асимметрию, может быть равным nS. Решение такой задачи аналогично изложеннО]Му выше, и принципиальных затруднений не вызывает, однако приводит к увеличению числа уравнений,. представляемых в виде матричного уравнения (7.13), в п раз. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...