Ковалевской случай интегрируемости

Ковалевская С. В. 165, 168 Ковалевской случай интегрируемости уравнений движения 165, 166, 168, 171 [c.547]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Развитие результатов Эйлера в области динамики твердого тела было проведено в дальнейшем главным образом русскими учеными . Знаменитая русская женщина-математик С. В. Ковалевская (1850—1891) обнаружила новый случай интегрируемости уравнений Эйлера в динамической задаче о движении твердого тела около неподвижной точки. В своей работе Ковалевская задается целью отыскать такие классы движений тяжелого твердого тела, для которых проекции мгновений угловой скорости на подвижные оси выражаются в виде некоторых функций времени, имеющих особые точки только в форме полюсов первого порядка. Этим путем она нашла решение новой, труднейшей задачи о движении несимметричного гироскопа, и ее работа вызвала появление обширной литературы как в нашей стране, так и за границей. [c.33]

Ляпунов, Александр Михайлович (6.6.1857-3.11.1918) — знаменитый русский математик и механик, создатель теории устойчивости движения. Нашел случай интегрируемости уравнений Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости. В обширном мемуаре 1888 г указал и исследовал на устойчивость винтовые движения твердого тела в жидкости. Внес ясность в вопрос о корректности рассуждений Ковалевской, связанных с однозначностью решений в интегрируемых случаях, предложив при этом свой метод, [c.24]

Суперпозиция случаев Ковалевской и Чаплыгина. Существует обобщение интегрируемых случаев Ковалевской и Чаплыгина (с гиростатом), включающее их в единое семейство на всем пучке В этом случае аналог константы площадей также полагается равным нулю М, 7) = О, т. е. указанное обобщение является частным случаем интегрируемости. Гамильтониан удобнее представить в форме [21] [c.300]

Случай Ковалевской. Долгое время не удавалось указать других случаев интегрируемости, пока русский математик С. Ковалевская, участвуя в конкурсе, объявленном Французской академией наук, не открыла еще один, получивший название случая Ковалевской. В случае Ковалевской J = Jц = г- Закрепленная точка располагается на оси симметрии Oz, а центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (плоскости Оху) для неподвижной точки тела. [c.482]

Эллипсоид инерции тела в точке О представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси Oz с отношением полуосей 1 1 V2 центр тяжести этогО тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (в точке х — = —а, у = 0). Если в точке О поместить острие, предоставив телу возможность вращаться вокруг этого острия, то придем к реализации классического интегрируемого случая вращения твердого тела под действием силы тяжести, открытого С. В. Ковалевской (1850—1891) ). [c.294]

Случай Чаплыгина ), Рассмотрим другой случай частной интегрируемости, который с точки зрения структуры твердого тела близок к случаю Ковалевской, поскольку он характеризуется соотношением [c.171]

В этой главе предложен иной подход к задаче качественного анализа случая Ковалевской. Он основан на широком использовании понятий, связанных с теоремой В. И. Арнольда о поведении траекторий интегрируемых гамильтоновых систем. [c.225]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Мы начали писать эту книгу два года назад, задавшись целью собрать в ней все известные интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Нам казалось, что такой проект мы осуществим достаточно быстро и книга должна была выйти в 2000 г — в год 150-летия со дня рождения С. В. Ковалевской. Мы также хотели дать исчерпывающую информацию относительно открытого ею случая и метода. [c.10]

Эти траектории в некотором смысле представляют всю сложность интегрируемого случая Ковалевской, некоторые движения в котором имеют визуально хаотический характер (в абсолютном пространстве движение выглядит еще более неупорядоченным). [c.129]

Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т.е. (М,7) = 0. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем — = 4. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид [c.132]

Общим выводом относительно случая Горячева-Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем. [c.142]

B 7 гл. 5 приведено более общее семейство частных интегрируемых случаев на пучке скобок частными случаями которого являются случай Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона, случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа и случай Богоявленского (I) уравнений Пуанкаре-Жуковского, а также различные гиростатические обобщения. [c.196]

Первое обобщение связывает случай Ковалевской и случай Чаплыгина в единое интегрируемое семейство на нулевом уровне (М,7) = 0. Наиболее общий гамильтониан имеет вид [c.297]

Интерпретация Г. К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г. К. Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом — их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при А = О и ж 7 0. [c.299]

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т.е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля-Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система. [c.307]

Этот результат аналогичен известному результату для волчка Лагранжа, согласно которому в специально подобранной вращающейся системе координат ось симметрии волчка описывает замкнутые кривые. Впоследствии аналогичный результат для точки контакта диска на льду и твердого тела на шероховатой плоскости был указан в работах [32, 40]. В этих задачах такой эффект обусловлен существованием двух различных циклических переменных, что является достаточно редким случаем. Так, например, для (интегрируемого) волчка Ковалевской после исключения средней прецессии апексы будут заметать некоторые области на сфере — проекции двумерных торов. [c.63]

Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено с помош ью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что функция Лагранжа приобретает вид (li) — (I2), если ввести эллиптические координаты qi, qz (Колосов). [c.179]

Наконец, Ковалевская в работе, премированной Академией наук (A ta mathemati a, т. XII), нашла еще один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.137]

Случай интегрируемости Ковалевской. В работе, премированной в 1888 г. Парижской Академией наук и помещенной в т. XII A ta mathema-ti a, Ковалевская рассмотрела новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Приведем сначала форму уравнений движения, из которой исходила Ковалевская. [c.186]

При отыскании случаев интегрируемости уравнений динамики совершенно новая идея была внесена в аналитическую механику К. Вейерштрассом. Рассматривая задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, он поставил вопрос о том, когда уравнения этой задачи могут быть проинтегрированы в мероморфных функциях времени Подобное применение теории функций комплексного переменного к аналитической механике сразу дало существенные результаты работы С. В. Ковалевской, открывшей новый случай интегрируемости уравнений Эйлера, и работы П. Пенлеве по интегрируемости уравнений второго порядка, приведшие к открытию семейств новых трансцендентных аналитических функций. [c.24]

После этих классических результатов наступило затишье никому не удавалось найти новый случай, в котором удалось бы найти общее решение. Французская Академия наук объявила конкурс на решение этой задачи — в 1888 г. замечательная русская женщина-математик С. В. Ковалевская получила премию на этом конкурсе за то, что нашла новый случай интегрируемости и одновременно с этим разработала новые общие математические методы, которые с успехом можно применить и при решении других задач. В случае, рассмотренном С. В. Ковалевской, 1х — 1у — 2/z, а центр тяжести тела лежит в плоскости Oxyz ). [c.252]

Существенно более сложный случай интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона, давший толчок новым исследованиям в области интегрируемых систем, был найден С. В. Ковалевской в 1888 г Этот результат был высоко оценен Парижской Академией Наук, присвоившей С. В. Ковалевской в 1888 г. премию Бордена за мемуар о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Заметим, что до этого Академия Наук дважды объявляла конкурс на исследование по этому вопросу, но премия никому не присуждалась. Весной 1889 г Ковалевская была удостоена премии Шведской Королевской Академии Наук за второй мемуар по задаче о вращении твердого тела. [c.14]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Метод Ковалевской. С. В. Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде- [c.130]

Связь этой системы с динамикой твердого тела в суперпозиции однородных полей указана в 1 гл. 4 в этом параграфе также показано, каким образом этот случай может быть продолжен до общего интегрируемого случая в кватернионных уравнениях, являющегося непосредственным обобщением случая Ковалевской. Случай Чаплыгина допускает также добавление гиростата вдоль оси динамической симметрии ( 1 гл. 4). Кроме того, на нулевой постоянной площадей интегрируется система, потенциальная энергия которой представляет собой суперпозицию случаев Чаплыгина и Ковалевской ( 7 гл. 5). [c.176]

Обобщение семейства Яхьи-Ковалевской. В работе Х.Яхьи [285] приведен частный случай интегрируемости L, s) = О, обобщающий случай Ковалевской с гамильтонианом [c.229]

Мемуар С. В. Ковалевской, напечатанный в 12 томе A ta mathemati a (с дополнением к нему в 14 томе), перевод которого дается в этом сборнике, внес ряд новых блестящих страниц в историю задачи о вращении твердого тела. Во-первых, С. В. Ковалевской был открыт новый случай интегрируемости, для которого она нашла четвертый алгебраический интеграл (в дополнение к трем классическим) и дала общее решение. Во-вторых, в связи с полученными С. В. Ковалевской результатами оказались поставленными две математические задачи о существовании однозначных решений задачи [c.158]

Случай Ковалевской. Долгое время не удавалось указать других j y4aeB интегрируемости, пока русский [c.499]

Случай Ковалевской, После исследований Эйлера и Лаг ранжа ученые долго не могли найти других интегрируемых случае] движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Лиш в 1888 г. С. В. Ковалевская в мемуаре О проблеме вращени5 твердого тела около неподвижной точки рассмотрела третий ин тегрируемый случай движения твердого тела около неподвижно точки. В случае Ковалевской эллипсоид инерции твердого тела построенный для неподвижной точки, удовлетворяет условиям [c.436]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью g = тг/2) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии А = diag(l,o,2). Периодическое решение Бобылева - Стеклова сохраняется при любом значении а, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка I = тг/2, L/G = 0. Значения интегралов энергии и площадей h = 4, с = 1. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Как показано на рис. 63, при увеличении а это решение теряет устойчивость и бифурцирует — из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении а, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода неустойчивость интегрируемости этого случая, т.к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н. И. Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69]. [c.150]

Замечание 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37,38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) к должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом к должно быть рациональным. [c.190]

При редукции к системе (4.23) получается интегрируемый случай, вкладывающийся в обобщенное семейство Ковалевской, найденное Горячевым и Яхьей (см. 7 гл. 5, а также 1 гл. 4). [c.219]

В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона как случай Ковалевской , так и случай Горячева-Чаплыгина являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение Ь — А-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера-Пуассона ( 7 гл. 5). [c.219]

Как было указано, В В. Козлов обобщил случай Клебша (Бруна) на уравнения (29) Остается вопрос, не решаемый аналитическими средствами, о распространении на не-голономную систему (29) интегрируемых случаев Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Гес-са-Апельрота классической задачи, а также случаев Стеклова и Чаплыгина задачи Кирхгофа (случаи Лагранжа и Кирхгофа в этих задачах тривиально обобщаются) [c.39]

Аналогия со случаем Делоне. Приведем еще одно общее замечание. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает О своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов, обращается в нуль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения). [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...