Обобщенный случай Лагранжа

Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами 1 = (М, 7), 2 = Мз ( 3 гл. 2). [c.208]

Явная квадратура обобщенного случая Лагранжа, условия существования интеграла [c.232]

Интегрирование этой системы в [248] сильно усложнено. Вместе с тем, как было показано в [31], она фактически является одним из обобщений случая Лагранжа (после надлежащей редукции). Действительно, в этом случае уравнения (2.21) обладают векторным интегралом движения [c.239]

Аналогичное представление было получено для обобщения случая Лагранжа (см. (2.7), (2.8)) при с = О, W = О, х = 0. Указанную аналогию можно [c.239]

Аналогичные формулы можно записать для обобщений случая Лагранжа в уравнениях Кирхгофа ( 1 гл. 3) и Пуанкаре-Жуковского ( 2 гл. 3). [c.323]

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

Лагранж рассматривал теорему только для случая двусторонних идеальных связей. Распространением теоремы на случай односторонних идеальных связей впервые занимался французский математик Ж. Фурье в связи с задачей о равновесии нити. В 1834 г. М. Г. Остроградским (1801—1861) была предложена полная формулировка с доказательством обобщенной теоремы Лагранжа для случая односторонних связей. [c.160]

При анализе случая Лагранжа удобнее использовать канонические переменные, в которых обобщенными координатами являются углы Эйлера = ( /, ф, 6) [c.401]

Уравнения (1.15) содержат также как частный случай обобщенные уравнения Лагранжа в зависимых координатах [21]. В самом деле, предположим, что связи (1.1) представлены дифференциальными уравнениями [c.11]

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести (случай Лагранжа). Наличие связей уменьшает число степеней свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера. Для симметричного волчка лагранжиан [c.224]

Замечание 1. Обобщение уравнений Пуанкаре-Жуковского на случай наличия силового поля рассматривалось в [56]. При этом получается гамильтонова система на прямой сумме е(3) so(3). В [56] приведены, без доказательства, некоторые необходимые условия существования дополнительных аналитических и полиномиальных интегралов и указан тривиальный аналог случая Лагранжа, заведомо существующий у подобных систем. [c.183]

Отметим, что линейные интегралы в общих уравнениях динамики твердого тела вокруг неподвижной точки изучались Д. Н. Горячевым в работе [62]. В ней он привел три типичные рассмотренные ниже возможности, которые, в некотором смысле, являются единственными (доказательство последнего, видимо, не является простым). В 3, 4 соответствующие редукции применены к линейным инвариантным соотношениям, систематическое введение которых в динамику принадлежит Т. Леви-Чивита, который также пытался использовать их в динамике твердого тела (наряду с небесной механикой) [ИЗ]. Однако наиболее явное и значительное развитие идей Леви-Чивита получается при рассмотрении инвариантных соотношений типа Гесса, которые, как оказывается, имеются у многих родственных задач динамики твердого тела. В этом случае также существует некоторая циклическая переменная, возможно понижение порядка и имеется аналогия со случаем Лагранжа и его обобщениями. Из нее, в частности, вытекает ряд качественных особенностей движения обобщенных случаев Гесса (например, наблюдение [c.221]

Замечание 6. Аналог случая Гесса при движении твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости (неголономная система) до сих пор не найден. Тем не менее обобщение задачи Лагранжа о качении осесимметричного тела по плоскости существует и проинтегрировано С. А. Чаплыгиным [122]. [c.253]

Вернемся к уравнениям Лагранжа (22) и рассмотрим случай, когда движение изучаемой системы происходит в потенциальном поле и все силы потенциальны. Для систем такого рода, как указывалось выше, все обобщенные силы также потенциальны, т. е. для них имеют место равенства (28). Подставляя в уравнения Лагранжа (22) выражения (28) для обобщенных сил, получаем [c.132]

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (либо Б форме (29)). После подстановки в левые части этих уравнений выражений для кинетической энергии Т (или лагранжиана L) и соответствующих дифференцирований получаются уравнения, уже не обязательно разрешенные относительно старших производных. Может случиться, что некоторые (или все) из этих уравнений содержат не одну, а несколько (или все) старших производных от обобщенных координат [c.136]

Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому - = 0 перенеся все члены в левую часть и [c.433]

Подставляя в уравнение Лагранжа вместо обобщенной силы ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы [c.261]

Интегрируя уравнения Лагранжа для случая заданных активных сил, получим все обобщенные координаты как функции времени и 2п постоянных интегрирования. Для определения этих постоянных следует дополнительно задать начальные условия, т. е., например, при I = О задать [c.396]

Обратимся теперь к случаю уравнений Лагранжа второго рода с обобщенными координатами д, qr r>k), под- [c.419]

Отсюда видно, что уравнение (2.17) представляет обобщение принципа Гамильтона в форме (2.2), приводящее к уравнениям Лагранжа для случая неконсервативных сил. [c.53]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Необходимо отметить, что впервые Мопертюи ) ввел понятие действия для случая одной только материальной точки с массой т, относящееся к любой дуге траектории s в виде mvs. Показав неудобство этой оценки действия, Эйлер подставил вместо нее, тоже для случая одной только точки, вышеуказанный интеграл, который потом был обобщен на системы какого угодно числа точек Лагранжем. [c.410]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

При рассмотрении этого более общего вида преобразований наша точка зрения несколько отличается от той, которой мы придерживались в гл. III. Там при переходе к обобщенным координатам предполагалось, что новая форма функции L была получена из старой путем непосредственной подстановки формул преобразования. Это является частным случаем (называемым точечным преобразованием) преобразования более общего вида, рассматриваемого нами сейчас. Теперь уже нет прямого соотношения между двумя формами функции Лагранжа. [c.88]

Таким образом, оба формализма имеют в настоящее время свои преимущества, что и делает необходимым пользоваться и тем и другим. Оба формализма тесно связаны друг с другом. Исходя из лагранжиана и вводя импульсы, можно в случае, если импульсы—независимые функции от скоростей, получить гамильтониан. В настоящей работе построена более общая теория, применимая к случаю, когда импульсы не являются независимыми функциями от скоростей. Получена обобщенная формулировка гамильтонова принципа, которую по-прежнему можно использовать для квантования и которая оказывается особенно удобной для релятивистского описания динамических процессов. [c.705]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Зависимость u t) выражается через эллиптические функции. Функция f u) называется гироскопической и представляет собой кубический полином, в общем случае она имеет вид, показанный на рис. 20. Аналогичная квадратура с полиномом R u), возможно, более высоких степеней имеется и для различных обобщений случая Лагранжа, допускающих интеграл Мз = onst. [c.103]

В этой книге представляет интерее глава X, в которой рассмотрено обобщение уравнений Лагранжа на случай неголономных систем с применением метода неопределенных множителей Лагранжа. [c.71]

Ю. А. Гартунг разработал теорию движений тела с обобщенными прецессиями угловой скорости а) с точечным относительны М годографом угловой скорости (случай Лагранжа — Эйлера) б) с орямоли нейным годографом угловой скорости в подвижной плоскости, иосителе вектора угловой скорости (случай Гриоли) в) с круговым годографом г) с эллиптическим годографом. Применялись уравнения Ценова для систем с неголономными связями второго порядка, причем в одних случаях находились управляющие моменты в виде реакций связей, а в других эти дополнительные управляющие воздействия отсутствовали, т. е. находились новые частные случаи, вернее, может быть подслучаи в классической задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.14]

Известны некоторые попытки обобщения уравнений Лагранжа и Аппеля на случай неидеальных связей. Например, П. Пэнлеве предложил эмпирически находить комбинации функций, определяющих трение и входящих в уравнения Лагранжа первого и второго рода. [c.39]

Решение. В отличие от случая Лагранжа волчок на плоскости — система с пятью степенями свободы. Выберем обобщенные координаты X, у — проекции радиуса-вектора центра масс на плоскость и три эйлеровых угла. Радиус-вектор центра масс К = (ж, у, I С08в), скорость [c.289]

В форме, близкой к современной, но без доказательства этот принцип, высказал знаменитый математик и механик (швейцарец по происхождению) Иогаин Бернулли (1667—1748). В общем виде принцип впервые сформулировал и доказал Ж. Лагранж U788 г.) Обобщение принципа на случай иеудерживающих связей было дано М.В. Остроградским в работах 1838—1842 гг. [c.361]

Нам неизвестно, как отнесся бы этот непримиримый аналитик к современной версии Аналитической механики, в которой геометрическими иллюстрациями служат не образы трехмерного пространства, которыми должен был довольствоваться Лагранж, а образы более просторного и гибкого риманова пространства N измерений. Он имел бы, я полагаю, серьезные возражения. Переход от геометрических средств к аналитическим был долгим и трудным делом. Каждый прием должен был быть тщательно проверен перед включением его в новую схему он должен был допускать непосредственное обобщение для случая N измерений и должен был быть очищен от излишних ассоциаций с понятиями эвклидовой геометрии. Нам, вполне освоившимся с понятием N-мерного пространства, кажется странным то медленное развитие этих идей, которое исторически имело место. Первые идеи были довольно неотчетливо изложены Р и м а н о м (Rie-тапп) [1] )в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами (Beltrami) [1] ii в 1872 г. Л и п ши ц (Lips hilz) [1] воспользовались геометрическим [c.7]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Обобщение теории, развитой здссь, на случай нескольких переменных и на трехмерные системы производится совершенно непосредственно. Например, для звуковых волн в трехмерной среде компоненты g, i], вектора смещения I (х) будут функциями X, у, г лагранжиан будет функцией g, Г], С, I, т], t, д1/дх, дЦду, дЦдг, дц дх, d jdy, dr jdz, d ldx, dl /dy и dl /dz. Для каждой из трех компонент мы будем иметь уравнение Лагранжа вида (8.124), а функциональные производные будут уже определяться так [c.213]

Уравнение Лагранжа второго ряда в обобщенных координатах для рассматриваемого случая напишется в следующем виде [c.469]

Лагранж в Аналитической механике рассмотрел многие вопросы этой науки, но одна интересная задача теории удара была оставлена им в стороне частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре К общей теории удара (1854 г., опубликовано в 1857 г.) Остроградский исследовал удар систем в предположении, что возникшие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных пере-мегцений на явление неупругого удара и получил основную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой задачи и, в частности, обобщение одной теоремы Карно. [c.222]

Рассмотрим некоторые предельные переходы. Если в уравнениях (3.83), (3.85), (3.86) принять параметр сдвига (3=°°,то получим уравнения теории многослойных оболочек, построенной на гипотезах Кирхгоффа—Лява для всего пакета слоев в целом. Дополнительно положив 7 з = 1,что зквивалштно однослойной оболочке, приходим к уравнениям [3.20]. Случай = = к22 = О приводит к оригинальным уравнениям Бергера [3.17]. При этом обобщенные перемещения щ, фигурирующие в уравнении (3.83), совпадают с перемещениями срединной поверхности пластины. Приняв далее в уже упрощенном уравнении (3.86) оР = О, получим классическое уравнение Жермен—Лагранжа. [c.72]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...