Уравнения характеристик и условия на характеристиках

Уравнения характеристик и условия на характеристиках [c.137]

В рассмотренных примерах разностных схем для волнового уравнения не использованы уравнения характеристик и условия на них. Приведем алгоритм численного счета с использованием характеристик. Рассмотрим квазилинейное уравнение (7.19) гиперболического типа. [c.239]

Ранее было показано, что через каждую точку области, где существует решение, проходят две характеристики, принадлежащие к различным семействам. Дифференциальные уравнения характеристик и условия на них представлены соотношениями [c.239]

Метод решения гиперболических уравнений, использующий характеристики и условия на них, назовем методом характеристик. Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики в случае сверхзвуковых течений (М > 1). [c.241]

Характеристики. Найдем характеристики и условия на них для системы уравнений пузырьковой жидкости (1.5.4) при вы- [c.8]

Перепишем уравнения характеристик и условия на них, беря за независимую переменную в одном случае х. в другом случае у. Характеристики первого семейства (независимая переменная х) могут быть представлены в виде [c.337]

Из рассмотрений 10 вытекает, что при д > с (или М > 1) система (1) является гиперболической. Поэтому для нее важно найти характеристики и условия на них, а также построить транспортные уравнения для описания распространения слабых разрывов вдоль характеристик и выяснения возможности градиентной катастрофы. Необходимые для выполнения этой программы выкладки будут более компактными, если сразу ввести в качестве независимых переменных потенциал скоростей р и функцию тока ф [c.258]

Естественно исходное уравнение (7.19) принадлежит к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу в тех же точках, что и система (7.20). Условия на характеристиках в рассматриваемом случае можно преобразовать к виду [c.236]

Из сказанного следует, что при определенных условиях на характеристику ) всегда допустима эквивалентная регуляризация и, следовательно, индекс сингулярного уравнения (определенный так же, как и для одномерных уравнений) равен нулю. В случае, если исходное уравнение имеет собственные функции, необходимым и достаточным условием разрешимости являются те же условия (3.12). [c.62]

Явные схемы. Рассмотрим схему первого порядка точности, в которой используются односторонние аппроксимации производных. Получим вначале условия на характеристиках в форме, отличной от (2.53). Умножим уравнение (2.3) на —и сложим с уравнением (2.5). Имеем [c.95]

Вывод общего уравнения свободных поперечных колебаний судовых валопроводов. Рассмотрим свободные колебания системы, наиболее близкой по своим характеристикам и условиям работы гребному винту судового валопровода (рис. 95). Диск 1 представляет гребной винт, инерционные характеристики которого — масса т, моменты инерции относительно диаметра 0 и оси вращения 0 — равны соответствующим характеристикам гребного винта, а точка В, являющаяся центром инерции диска, соответствует центру инерции гребного винта. Диск концентрично закреплен на жесткой невесомой консоли ОВ, соответствующей ступице гребного винта (инерция ступицы и заключенного в ней участка вала учитывается в общей инерции диска). [c.238]

В отличие от обычной задачи Гурса, когда начальные данные известны на двух характеристиках, в нашем случае начальные условия задаются на трех характеристиках t = to, г = Го, г = R, но зато и функция /(t), входящая в коэффициент уравнения (10), произвольна. Ее требуется определить так, чтобы все три условия на характеристиках выполнялись. [c.540]

Следует добавить, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна длинной стороне пластинки, лишь значениями некоторых коэффициентов (см. ниже) отличаются от соответствующих уравнений изгиба и устойчивости слоистых балок и стержней. Точно также уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности, аналогичны соответствующим уравнениям изгиба и устойчивости арки. Так возникают пары близких между собой систем дифференциальных уравнений, характеризующих механическое поведение существенно различных элементов конструкций. Ясно, что методы исследования краевых задач для этих близких систем уравнений одинаковы, а результаты, полученные при решении одной из них, сохраняют свое значение и для другой. Поэтому сформулированные ниже выводы о характере и степени влияния поперечных сдвигов, обжатия нормали, вида краевых условий на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости слоистых длинных пластин и панелей остаются справедливыми для балок, стержней и арок. [c.94]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Сначала задача была решена приближенно, путем сведение ее к краевой задаче для уравнения Трикоми (вместо уравнения Чаплыгина) с интегральным краевым условием на звуковой линии. Действительно, для решения уравнения Трикоми в характеристическом треугольнике с однородным граничным условием на характеристике имеет место [10, 11] соотношение между функцией тока и ее нормальной производной на звуковой линии [c.106]

Граничное условие ы =Го(0 теперь дополняется условием на характеристике х = — и = Ы( = 0. Указанная задача называется смешанной задачей для гиперболического уравнения, так как граничные условия задаются как на характеристике х = —а Ь, так и на не характеристической прямой х = 0. [c.273]

Газодинамические приложения теории характеристик показали, что главным в этой теории является изучение случаев существования интегрируемых комбинаций условий на характеристиках. Мы обращаем внимание, что как дифференциальные уравнения характеристик, так и условия на них пишутся одинаково для нелинейного и линейного уравнений. Этот раздел курса находит применение в современной сверхзвуковой авиации и аэродинамике ракет. Излагаемая здесь теория позволяет правильно рассчитать контуры сопел для сверхзвуковых аэродинамических труб, сопел ракетных двигателей, крыловые профили и т. д. [c.299]

Найдя коэффициенты Л и В из (1.15) и подставляя их в (1.14), получим связь между дифференциалами скоростей вдоль характеристических направлений. Так как в каждой точке имеем два значения X, то из указанных уравнений получим две связи между йи, йи. Эти связи называются условиями на характеристиках. В газовой динамике их называют характеристиками в плоскости годографа скоростей. [c.303]

Статически допустимое поле напряжений в жестких концах полосы было построено в [13]. Метод состоит в следующем. Поле характеристик продолжается за жесткопластическую границу О—1—2 (фиг. 22) по условиям на характеристике О—1—2 и прямой О—7 (рассматривается случай гладкого основания). Из точки 2 проводится линия разрыва напряжений 2—7, справа от которой имеет место одноосное напряженное состояние сг =сг (г/), сг =т =0. Условия непрерывности напряжений, действующих иа линии разрыва, определяют ее уравнение и функцию а.(г/) [c.470]

Между решениями уравнений эллиптического и гиперболического типов существуют качественные различия, В первом случае имеем гладкие решения. Во втором же возможны разрывы на характеристиках. Условие на характеристике (вытекающее из разрешимости неоднородной алгебраической системы с вырожденной матрицей ) дает своеобразный эффективный способ решения гиперболических уравнений. Используя (3.3), запишем уравнения баланса сил (12,1) как [c.232]

Это уравнение получено при помощи соотношения (21.4) i на положительной характеристике и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте волны сильного разрыва [c.185]

Оказывается, что в данном случае решение задачи (53), (54) просто совпадает с функцией Римана уравнения (52) с точностью до постоянного множителя. Действительно, функция Римана W(r, I Го, Iq) должна быть, как функция переменных (г, I), решением того же уравнения (52) в силу его самосопряженности и должна удовлетворять следующим краевым условиям на характеристике г =- го - условию [c.165]

Для построения условий на характеристиках находятся соответствующие корням х левые собственные векторы матрицы А х), которые могут быть взяты в виде (1, tgQ). Поэтому условия на характеристиках получаются почленным сложением первого уравнения (7) со вторым, умноженным на tg а, и после небольшого преобразования оказываются такими [c.260]

В предыдущем разделе на базе уравнений двухжидкостной модели были определены гидродинамические характеристики расслоенного течения жидкости и условия стабильности данного режима течения при распространении возмущений в системе. В ряде случаев, когда допущения, принятые в разд. 5.3 при выводе уравнений расслоенного течения, теряют свою правомерность, необходим более строгий теоретический анализ, основанный на фундаментальных уравнениях гидромеханики. Такой метод, как было указано в разд. 5.1, получил название модели сплошной среды. В данном разделе в рамках этой модели будут даны постановка и решение задачи о распространении возмущений в газожидкостной системе и о стабильности межфазной поверхности при расслоенном течении в горизонтальном канале [67]. [c.203]

Такой подход был предложен Никольским [1]. В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [c.45]

Определение 2. Функции на характеристике второго семейства имеют разрыв класса Р , если в точке разрыва выполнены уравнения (1.24), (1.26)-(1.28), неравенства (1.25), (1.29) и условия а), б), в) этого подраздела. [c.55]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Образующая ваЬ имеет в точке а излом. Течение в области ад fea определяется известной характеристикой ад, условием (5.17) для характеристики первого семейства, выродившейся в точку а, и уравнениями (5.14). Функции fi y) и 1 (у) на характеристике сЬ определяются равенствами [c.146]

Преобразуем теперь уравнения (1.3), (1.4). При этом на линии ударной волны используем равенства (6.1) и (6.5). На характеристике Ьс используем равенства (1.13), (1.14), (3.23). Наконец, на линии тока аЬ необходимо использовать равенство (1.10) и условие dip = 0. Уравнения (1.2) и (1.3), соответственно, дают равенства [c.149]

После определения искомой точки h и построения характеристики hb выделяется характеристика первого семейства ah. Течение в области ahb определяется решением задачи IVp a для уравнений (1.20) и граничных условий на характеристиках ah и hb. Искомый контур ab представляет собой линию тока dV> = 0, проходящую через точку а и определяемую при помощи равенства (1.10). [c.81]

Здесь для единообразия с общим случаем характеристические направления обозначены через и а второе уравнение дает условие на характеристиках. Именно отсутствие собственного давления во втором уравнении (4.1.6) и приводит к неги-перболичпостн. Последующий анализ показывает, что имеппо отсутствие второго (независимого от первого) давления в системе уравнений двухскоростного течения (4.1.1) делает последнюю систему негинерболической. Другими словами для гиперболично- [c.303]

Построение точных решений уравнений пластичности с условием текучести Мизеса — сложная и не алгоритмичная задача. Если в плоском случае удается решать даже краевые задачи [4, 6, 13], используя характеристики и соотношения на них, а последнее время и законы сохранения [7], то в осесимметричном и пространственном случаях, приходится полагаться только на интуицию и действовать обратным способом. То есть сначала построить точное решение, а потом постараться подобрать для него конкретную физическую задачу. Тем не менее даже такой подход позволяет решить многие практически важные проблемы механики делать оценки предельных нагрузок, строить поля напряжений и т. п. Это показали работы А.Ю. Ишлинского [5], Д.Д. Ивлева [4], В. Прагера [10], Р. Хилла [14], М.А. Задояна [3] и некоторые другие. [c.719]

Итак, для любого гладкого контура аЬ множители се, /3, 7, /Х1, /Х2, Q можно выбрать так, чтобы обратить в нули коэффициенты 7, У, ТУ (г-1,2,3), и, V, , аь и 75 в (3.1). Действительно, для этого требуется вьшолнение соотношений (4.1)-(4.13). Для любого контура аЬ течение в асЬ может быть рассчитано, нанример, методом характеристик и, следовательно, известно. При известных параметрах течения се и 7 на а6 определяются уравнениями (4.9) и (4.10) и условиями (4.13). Затем но (4.11) на аЬ находится /Х1, в частности, /Х15, а но (4.5)-(4.8) с использованием /Х15 - значения /Х1, /Х2, Р на db. Знание этих величин на характеристике и /Х1 на контуре аЬ позволяет нри номогци уравнений (4.1)-(4.4) или эквивалентных им уравнений (4.3)-(4.5) найти /Х1, /Х2, Р в области. Наконец, множитель р на аЬ определяется уравнением (4.12). Ясно, что найденные таким образом множители Лагранжа зависят от формы контура аЬ. [c.529]

При строгой математической постановке задачи о течении в трансзвуковой области при сверхзвуковом обтекании тупого тела помимо полной системы уравнений следует задать лишь условия обтекания, соотношения на ударной волне и условия на передней части тела, минимальный размер которой заранее неизвестен никаких других условий, например, в районе предельных характеристик или звуковой линии ставить не тре буется. [c.152]

Такпм образом, уравнения (6.2.1) являются гиперболическими. Остальные уравнения (1.5.4) имеют в качестве характеристик линии тока (6,х/6,1 и), вдоль которых в качестве условий на характеристиках выступают уравнения, определяюш,ие субстанциональные производные <Хг, а, и ,а- [c.9]

Анализ полей напряжений при вытяжке с утонением был вьшолнеп методом решения приближенных уравнений равновесия и условия пластичности в работе [99], методом характеристик— в работе [121], методом баланса работ — в работе [78]. Решения были получены при значительной схематизации реальных условий деформирования с учетом различного количества факторов, влияющих на процесс деформирования. [c.404]

Пусть найдено решение некоторой задачи (рис. 3.9). Выберем произвольную характеристику первого семейства qt и линию тока ij, лежащие в треугольнике abh. Будем считать характеристику it и точку j, лежащую на характеристике bh, заданными. На характерйстике второго семейства jt выполняются все необходимые условия экстремума. Действительно, на jt выполняются уравнения 2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), поскольку jt есть часть характеристики bh, в точке t, как отмечалось в 3.2.4, выполняется условие (2.34), а в точке j — условие (2.24). Выполнены и прочие условия, поскольку треугольник ijt является частью треугольника abh, в котором построено течение. Следовательно, если величины X, yj, Х , для отрезка линии тока ij считать заданными вместе с характеристикой it, то контур ij обладает минимальным волновым сопротивлением. [c.84]

Проинтегрируем это уравнение по области agfba и перейдем по формуле Грина к контурному интегралу. Используя равенство (5.19), условие гр = о на 5/ и соотношение (5.16) на характеристике первого семейства /Ь, получаем [c.145]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...