Твердое тело с закрепленной точкой

Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой О. [c.75]

Пример. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой О в случае Лагранжа, когда на тело действует сила веса Mg, существует ось динамической ш симметрии и центр тяжести D расположен на этой оси. [c.281]

Канонические формы для проекции векторов Q к К- Твердо ТЕЛО с закрепленной точкой или отнесенное к системе осей с началом в центре тяжести. Если за центр О приведения моментов (и начала подвижных осей) возьмем центр тяжести твердого тела, так что одновременно исчезнут х , Уд, то формулы (29 ) при-ведутся к каноническому виду [c.240]

Квадратура, определяющая вводит новую произвольную постоянную, которая вместе с произвольными постоянными общего решения системы (340, (35 ) (36) Дает шесть постоянных. От этих шести постоянных и должно зависеть в самом общем случае движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой (голономная система с тремя степенями свободы). [c.102]

Если бы мы захотели описать при помощи системы дифференциальных уравнений, как изменяются в зависимости от времени при движении тяжелого гироскопа все параметры, определяющие это движение, то нам необходимо было бы только сопоставить все, что было сказано в 5 и 6 о постановке динамической задачи о тяжелом гироскопе или, в более общем случае, о тяжелом твердом теле с закрепленной точкой, с общими соображениями 1. Для этого к уравнениям Эйлера тяжелого гироскопа (п. 27), которые здесь в силу известных формул (22), уже неоднократно приводившихся, можно написать в виде [c.140]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Б. Твердое тело с закрепленной точкой [c.183]

МОЖНО убрать черту над буквами, так как в рассматриваемом случае Е ж Е тождественны. Тем самым уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой есть уравнения (13). Еще раз напомним, что в случае Б начало репера совпадает с неподвижной точкой О, а не с центром масс твердого тела, как в случае А. [c.184]

Б) Движение твердого тела с закрепленной точкой. При этом будем оперировать введенными в этом параграфе понятиями и [c.187]

Теперь не представляет труда ответить на поставленный выше вопрос о различии в показаниях первых и вторых счетчиков. Это различие состоит в том, что в то время, как отдельное показание счетчиков углов Эйлера ф, 0 определяет положение твердого тела, отдельное показание счетчиков квазикоординат Р, Q, / , напротив, ничего не говорит о положении тела. Точкам пространства квазикоординат Р, Q, R не соответствуют никакие определенные положения твердого тела с закрепленной точкой, но это вовсе не лишает нас возможности изображать в нем, как и в пространстве конфигураций, то или иное движение твердого тела. Так, например, регулярная прецессия, определяемая уравнениями [c.46]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Покажем теперь, что из уравнений (5.7) могут быть получены динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой. За истинные координаты примем углы Эйлера [c.125]

Пример 1. Твердое тело с закрепленной точкой. [c.156]

Используя эту функцию при составлении уравнений Аппеля, мы приходим к уравнениям Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой. [c.157]

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в 4 гл. 1, записаны для иного представления е(4), соответствующего каноническому разложению подалгебры so(4) so(3) so(3). Для перехода к нему следует ввести новые переменные М, N по формулам [c.282]

Конфигурационное пространство твердого тела с закрепленной точкой — группа вращений 80 (3) трехмерного пространства. Уравнения Эйлера движения твердого тела могут быть записаны как уравнения касательного вектора к геодезической левоинвариантной римановой метрики на 0(3) (метрика задается кинетической энергией тела). Уравнение Эй/.ера движения идеальной жидкости, как показал Арнольд [5], также можно рассматривать как уравнение движения по геодезической. Обобщенным твердым телом (о. т. т.) называется система с конфигурационным пространством —группой Ли О, нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, задающей лево-(или право-) инвариантную метрику на С и равной положительной квадратичной форме на алгебре Ли С( группы [c.312]

Первым подробно исследованным случаем движения твердого тела вокруг закрепленной точки была задача, рассмотренная Л. Эйлером. Л. Эйлер рассматривал твердое тело, находящееся под действием сил тяжести и двигающееся вокруг закрепленной точки, совпадающей с его центром инерции. [c.415]

Последний случай и является новой задачей о движении твердого тела вокруг закрепленной точки, рассмотренной С. В. Ковалевской ). [c.450]

G. Твердое тело о закрепленной осью. Предположим, что неподвижность оси обеспечивается специальными приспособлениями, которые закрепляют две или большее число её точек закрепленных точек может быть и бесконечно большое число они составляют тогда один или несколько отрезков. Физическими моделями твердого тела с закрепленной осью могут служить крышка ящика, имеющая два шарнира (петли), мельничное колесо, маховое колесо. Дверь или створку окна нельзя, вообще говоря, рассматривать как твердое тело с закрепленной осью ось в этом случае может скользить вдоль самой себя (в определенную сторону), так как двери или створки окон в большинстве случаев устраиваются так, чтобы их можно было снимать с петель, поднимая в направлении оси. [c.111]

Заметим, далее, что если бы опора отсутствовала и, следовательно, речь шла просто о твердом теле с закрепленной осью, то необходимое и достаточное условие равновесия заключалось бы в равенстве нулю результирующего момента активных сил относительно оси (п. 8). Мы можем свести задачу как раз к этому случаю, рассматривая временно в качестве активных сил реакции Ф, происходящие от опор. Таким образом, обозначая через Ма и М а результирующие моменты относительно оси а активных сил и соответственно реакций опоры Ф, заключаем, что необходимое и достаточное условие для равновесия нашего твердого тела имеет вид [c.124]

Далее, как и в случае твердого тела с закрепленной осью (гл. VII, п. 5), предположим, что, зная активные силы и ничего не зная заранее о реакции в точке О, мы хотим определить движение твердого тела около неподвижной точки. [c.70]

Обратимся сначала к твердому телу со структурой общего вида, т. е., точнее, предположим неравными три главных момента инерции А, В, С твердого тела относительно закрепленной точки, что равносильно допущению, что неравными являются три главные полуоси а, Ь, с эллипсоида инерции относительно точки О для определенности пусть будет [c.94]

Так, например, если у свободно падающего тела закрепляются неожиданно одна или две точки, то вводятся связи (закрепление в точке, или вдоль оси), под действием которых, по крайней мере в общем случае, должны возникнуть резкие изменения скоростей, потому что движение тела до удара в общем случае не было таким, которое характерно для твердого тела с неподвижной точкой или осью. В этом случае надо принять, что резкое изменение связей произошло до момента, начиная с которого рассматривается импульсивное движение, и уравнение (48) должно применяться только к тем виртуальным перемещениям, которые совместимы со связями, вводимыми внезапно, причем нужно иметь в виду, что в этом специальном случае не войдут активные импульсы (/ = 0). [c.501]

Принцип перенесения в теории комплексных векторов имеет большое прикладное значение. При решении задач кинематики твердого тела с неподвижной точкой угловые скорости изображают векторами, проходящими через одну точку, и применяется алгебра свободных векторов. Если требуется решить задачу о движении свободного твердого тела, то в формулах для соответствующего сферического движения вместо векторов угловых скоростей используются винты скоростей, а вместо углов между векторами — комплексные углы между осями винтов формулы кинематики свободного твердого тела получаются переписыванием формул кинематики тела с неподвижной точкой с заменой строчных бур прописными, а затем развертыванием их. Для всякой задачи кинематики произвольно движущегося тела можно сформулировать соответствующую задачу сферического движения, искусственно введя закрепленную точку решение этой более простой задачи автоматически с помощью принципа перенесения приводит к решению основной задачи. [c.71]

Об одном случае движения твердого тела около закрепленной точки в ньютоновском поле сил [17]. Рассмотрим следуюш.ее движение тела около закрепленной точки в ньютоновском поле сил. Пусть тело обладает динамической симметрией (Л = В), закрепленная точка совпадает с центром масс тела и, кроме того, начальные условия таковы поперечные составляюш ие угловой скорости равны нулю (ро=9о = 0), а продольная составляющая произвольна (го= 0). Если бы не было ньютоновского поля сил, то тело в этом случае, как известно, сохраняло бы постоянное направление оси симметрии в пространстве. Поэтому все эффекты в движении оси тела для рассматриваемого примера обусловливаются [c.392]

При удовлетворении последних трех уравнений твердое тело с закрепленной точкой О будет находиться в равновесии под действием заданных сил независимо от проекций реакцпи X, Y, Z, которые в эти уравнения не входят. [c.58]

Поэтому, если бы мы захотели применить к движеник тяжелого гироскопа (или, в более общем случае, какого-нибудь твердого тела с закрепленной точкой, находящегося под действием какой угодно системы сил) критерии безусловной устойчивости 4 гл. VI, то следовало бы во всех случаях для каждого из шести аргументов Р> Я> > 1 учитывать отклонения, которые возникают в воз- [c.140]

В работах [1, 2] методом малого параметра Пуанкаре для гамильтоновых систем [3] было доказано существование периодических решений в задаче о движении твердого тела вокруг закрепленной точки в центральном ньютоновском поле тяготения. Задача решалась в переменных Андуайе [4]. В работе [5] были построены периодические решения в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в центральном [c.77]

П о ж а р и ц к и й Г. К., Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в ньютоновском центральном поле сил. Прикладная математика и механика, 1959, т. ХХП1, вып. 4, 722—793. [c.414]

Ниже мы будем говорить о движении твердого тела с закрепленной точкой О относительно абсолютного репера Е, начало которого связано с точкой О. Однако, как мы знаем, полученные выводы будут справедливы для движения свободного твердого тела относительно репера Кёнига. (В последнем случае Е - репер Кёнига, О - центр масс тела.) [c.380]

Как известно, произвольное конечное перемещение твердого тела с закрепленной точкой можно осуществить цутем вращения его вокруг некоторой оси, проходящей через нет одвижную точку. Будем изображать, как обычно, это вращение вектором, направленным по оси вращения, длины, равной углу поворота. При этом длину вектора поворота можно считать не большей я. Векторы [c.16]

А. Системы, близкие к интегрируемым. Мы рассмотрели выше довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.). Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах они оказались обмотками торов , заполняющилш всюду плотно инвариантные торы в фазовом пространстве каждая траектория распределена на этом торе равномерно. [c.256]

Шрвоначальио.дод ДС пони1 ли изолированную механи- ческую" систему-с конечным числом степеней свободы откуда и название ДС). Эволюция последней описывается гладким потоком в фазовом многообразии М (нередко Ai = R", но, скажем, для кругового маятника или твердого тела с закрепленной точкой это не так ), т.е. уравнением вида (3). Однако значительная часть соответствующих геометрических (точнее, кинематических) представлений — движение точки в Ai по фазовой кривой я т. д.—не зависит от того, описывает ли уравнение (3) какую-нибудь механическую систему. Поэтому термин ДС стал применяться шире, обозначая то, что выше названо гладким потоком. Как раз тогда же началось применение КТДУ к физическим системам иемеханического характера (радиотехническим, экологическим...) и это подтвердило, что необязательно привязываться к механике. В приложениях часто встречают- [c.157]

Система с характеристической функцией XjXjXg и диагональным симметризатором описывает движения твердого тела с закрепленной точкой и течения жидкости в эллипсоиде для класса линейных по пространству полей скорости. [c.285]

Уравнения движения л-меркого твердого тела и симметризуемые системы. Интересным классом СГТ со многими интегралами движения являются уравнения Эйлера движения -мерных твердых тел. и уравнения входят в один класс с каноническим триплетом —уравнениями движения трехмерного твердого тела с закрепленной точкой dM/dt = [M, О]. Угловые скорости 5 ь евклидовом трехмерном пространстве можно отождествить с кососимметрическими матрицами порядка три, Q = = —О. Векторное произведение [М, Q] соответствует коммутатору матриц [М, 2] = Лi Q —Q JM. Вектор момента М в ортогональном базисе осей инерции тела записывается в виде М = A Q-j-Q А, где Л = (Л,,-) —диагональная матрица, > 0. Угловая скорость /г-мер-ного твердого тела задается кососимметрической матрицей О порядка п, момент М относительно тела равен Л Q + Q Л. Уравнения Эйлера движения п-мерного твердого тела имеют следующий вид [c.305]

Если же речь идет о твердом теле с закрепленной осью, то относительно реакций, возникающих в закрепленных точках оси, основные уравнения равновесия утверждают только то, что их результирующая сила и результирующий момент (относительно данной точки) должны быть равны и прямо противоположны результирующей силе и результирующему моменту активных сил, но не дают возможности определить эти реакции в отдельных закрепленных точках оси. Таким образом, основные уравнения равновесия приводят к заключению, что в статических условиях действие связей можно зайенить какой угодно из систем реакций (эквивалентных между собой), приложенных в закрепленных точках и имеющих результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил. Такое заключение, очевидно, неудовлетворительно, так как с физической точки, зрения бесспорно, что при равновесии реакции всегда определяются однозначно. Мы приходим, таким образом, к новому случаю статической неопределенности, который можно сравнить со случаем, уже встречавшимся в п, 10 гл. IX эта неопределенность происходит от того, что в принципах статики твердого тела не принимаются во внимание деформации, вызываемые силами. Это вполне допустимо в первом приближении, так как деформации вообще бывают незначительными, так что следствия, которые вытекают из этого упрощающего предположения, в достаточной степени соответствуют результатам опыта. Но нельзя претендовать на правильное и детальное отображение всех обстоятельств, связанных с рассматриваемым явлением, если мы намеренно пренебрегаем какими-либо существенными элементами этого явления. Поэтому мы не должны удивляться тому, что относительно реакций Ф мы в состоянии определить лишь свойства, относящиеся к ним в целом (т. е. то, что они имеют результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил F), и не можем указать их распределение в каждой точке. Это достигается в теории упругости, где как раз учитываются указанные выше деформации. [c.114]

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один интеграл, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла Н = onst энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с (т, е. не содержал явно 4 ), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур. [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...