Канонические координаты группы

КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ГРУППЫ 225 [c.225]

Канонические координаты группы [c.225]

Таким образом, роль канонических координат группы играет логарифм собственной функции ее оператора и п — I независимых инвариантов. [c.227]

Последний коммутатор сводится к дифференцированию компонент оператора Л по г. Равенство нулю означает при этом, что в канонических координатах группы V оператор А (а следовательно, и дифференциальная система, соответствующая ему) от переменной г не зависит. [c.231]

Разыскиваем канонические координаты группы 17 [c.231]

Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует знания канонических координат группы симметрий. Однако есть случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы. Например, это возможно, когда размерность системы равна двум. Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему [c.232]

Доказательство. Выполним переход к каноническим координатам группы 11 д г. Тогда О = д/дг и условие расширенной симметрии приобретает вид [c.235]

Но полученное означает, что в канонических координатах группы и рассматриваемая система приобретает вид [c.235]

Для понижения размерности в системе следует выполнить замену переменных (г, ь, (т) —у (х, у, г), где х, у, г представляют собой канонические координаты группы симметрий, т.е. функции, удовлетворяющие условиям С/х = 1, С/у = О, С/г = 0. То есть функции [c.255]

Переход к каноническим координатам группы подобия х, у) —у —у(а,р) а = х у, р = пу позволяет получить [c.260]

Доказательство. Укажем алгоритм понижения порядка. Группа, порождаемая оператором С/, предполагается известной в такой степени, что известны ее канонические координаты [c.230]

Для понижения порядка системы достаточно перейти от переменных, в которых она записана, к переменным, являющимся каноническими координатами ее группы симметрий (х, у, г) -> (р, д, г) [c.236]

Замечание 1. В исходном операторе Лоренца С/4 время и координата входят совершенно симметричным образом. В полученных выше выражениях для группы эта симметрия утеряна. Это означает, что где-то в ходе построения теории возникла ситуация неединственности и был осуществлен переход к одной из симметричных ветвей теории. Это произошло при продолжении оператора и расшифровке смысла канонического параметра группы. Переход к движущейся по оси х системе координат означает, что каждому значению / ставится в соответствие новое начало отсчета х (рис. 74). [c.273]

В случае свободных канонических преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами <7 и и определить по ним старые и новые импульсы р и р. Старые импульсы находятся из первой группы уравнений (123), а новые импульсы —из второй группы этих уравнений (при подстановке вместо р выражений, полученных ранее из первой группы уравнений). [c.318]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Теперь решим канонические уравнения в новой системе координат с переменными о,-. Напомним, что Ji соответствуют Qi, а —(а,- соответствуют Р,-. Функцией Гамильтона является J,i)- Первая группа канонических уравнений дает [см. (8.4.6) I [c.287]

К первой группе относятся контактные задачи для тел конечных размеров канонической формы, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями цилиндрических, декартовых, полярных, биполярных и сферических координат. Ко второй группе относятся контактные задачи для тел конечных размеров неканонической формы, когда часть граничных поверхностей не является координатной поверхностью (декартовы и цилиндрические координаты). К третьей группе относятся контактные задачи для полубесконечных тел (полоса, цилиндр) периодической структуры. И к четвертой группе относятся плоская и пространственные контактные задачи для слоя. [c.22]

Рассмотрим некоторую каноническую систему координат (г, (р) (рис. 5.1), в которой переменные в уравнении Ламе разделяются. Тогда существует счетный набор однородных решений для областей, ограниченных парами координатных кривых одного семейства. Известно [218], что таких систем координат конечное число и они связаны с группой симметрии уравнений Ламе. [c.183]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Координаты, в которых заданная группа является группой трансляций, называются каноническими. [c.227]

Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы (ра ха, Ра) = Oia- В случае ПОЛНОГО разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5) [c.280]

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную йа и действие группы, ч. т. д. [c.327]

В соответствии с результатами т. 1, 104, мы начнем обсуждение симметрии фононов с построения колебательного, или Д-представления, порождаемого смещениями (описываемыми в декартовых координатах) каждого из атомов кристалла. Затем мы осуществим приведение этого представления и определим тем самым типы фононов, т. е. содержащиеся в нем неприводимые (физические неприводимые) представления. Мы рассмотрим примеры вычислений типов симметрии нормальных колебаний для звезд Г, Х и L в случаях каменной соли и алмаза. Вначале исследуется группа канонического волнового вектора звезды, например (Г), (Xi), (Li), а затем строится полное представление. [c.149]

Если поле 01,.,, не зависит от одной из пяти координат х , то, приняв в качестве определения первую группу канонических уравнений [c.39]

Это приведение было выполнено в гл. VU. Принимая за канонические переменные первой группы сами координаты К y s К определяя сопряженные им канонические переменные формулами [c.708]

Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое представление с весом (р, / соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, П. 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. [c.85]

Знак - во второй группе уравнений (7.4) поставлен из соображений удобства (ср. с (7.3)). Напомним, что общее решение системы 2п дифференциальных уравнений Гамильтона — это семейство решений, зависящее от 2п произвольных постоянных (их можно выразить через начальные координаты и импульсы). Первое из уравнений (7.5) представляет инвариантное соотношение (по теореме 1), а функции д8/дс1,..., д8/дсп с учетом этого соотношения составляют набор независимых интегралов канонических уравнений Гамильтона. Так как выполнено неравенство (7.4), то по теореме о неявных функциях из второго соотношения (7.5) можно найти координаты х как функции от и 2и произвольных постоянных Ь,с. Подставляя полученные выражения в первое соотношение (7.5), получим импульсы в виде функций от 1, Ь, с. [c.76]

В качестве возможных канонических вариантов методов сближения рассматривают методы маневрирования активного КА в окрестности пассивной станции, подробно описанные в [52]. МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ СБЛИЖЕНИЕМ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ИНФОРМАЦИЮ О ПОЛОЖЕНИИ ЛИНИИ ВИЗИРОВАНИЯ. Методы данной группы относят к методам наведения, не использующим полную информацию о траекториях сближающихся КА. Рассмотрим метод прямого наведения (метод погони) в визирной системе координат. Модель движения вдоль линии визирования для него задают дифференциальным уравнением вида [23] [c.359]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

От канонических координат х,у ъ фазовом пространстве T G G X g мы можем перейти к переменным х, га. После этой подстановки нетеровы интегралы становятся функциями от х, га, линейными по rai,..., га . Пусть xi,..., ж — координаты в окрестности единицы группы G, которой отвечает значение ж = 0. [c.177]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Пусть п=3, а Al — q, А р, А = I, где I — единичный оператор, а и р — операторы координаты и импульса частицы. Равенство [qp = ihi задаёт т. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяют алгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс не могут принимать одновременно определ. значения. Если Дд и Др — неопределенности в значениях координаты и импульса, то ДдДр А. Это — частный случай неопределенностей соотношения. Для системы с т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависит от т операторов обобщённых координат ог т сопряжённых этим координатам импульсов pi,.,.,p i, канонич. П. с. имеют вид [д ,Р(] = ihi здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классического к квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассона скобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. П. с. следует, гго каждая пара канонич. переменных д/,р удовлетворяет соотношению неопределенностей. В представлении, в к-ром все операторы координат диагональны (т. е. в представлении, где состояние задается волновой ф-цией причём = дД ], операторы [c.576]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

Соответственно, меры частей заключенных между любым сочетанием пар координатных линий должны быть пропорциональны полной величине соответствующей клетки поверхности заданной энергии. Отметим еще, что все сказанное выше должно относиться не только к координатам, являющимся энергиями малых реальных частей системы (т. е., если говорить, например, об идеальном газе, для молекул или групп молекул), но и по отношению к другим формально введенным координатам, удовлетворяющим лишь требованию, что распределение вероятностей по ним гиббсово (например, введение линейных комбинаций импульсов молекул идеального газа, как новых переменных, приводит к сохранению выражения полной энергии газа в виде суммы членов, каждый из которых зависит лишь от одной переменной, т. е. к необходимой для канонического распределения аддитивности энергии). [c.32]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Напомним, что в канонических локальных координатах (р, я) на М форма принимает вид dp/ dq, а поле sgгadД = ->=(—5Я/( д, с)Я/йр). Уравнения Гамильтона х — sgrad// порождают однопараметрическую группу диффеоморфизмов много-обрагия М (сохраняющих симплектическую структуру ю)—фазовый поток +. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...