Граничные и объемные элементы

ГРАНИЧНЫЕ И ОБЪЕМНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ [c.199]

Проекционные методы приводят граничные интегральные уравнения к системам линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых представляют собой интегралы по граничным элементам. В правые части этих уравнений могут входить интегралы по области, которые сводятся к интегралам по объемным элементам. На практике, даже если подынтегральные функции имеют простой аналитический вид, а граничные и объемные элементы представляют собой соответственно плоские многоугольники и многогранники, указанные интегралы редко вычисляются точно. Вместо этого они аппроксимируются с помощью процесса численного интегрирования, к описанию которого мы сейчас перейдем. [c.216]

Мы показали, что с помощью параметрических представлений вдоль границы могут быть разработаны весьма элегантные алгоритмы, пригодные в случае непрерывно меняющихся граничных условий, объемных сил и геометрии. Множество граничных элементов и используемых в настоящее время, и более сложных, которые могут потребоваться в дальнейшем, не столь уж велико. Поэтому для обеспечения окончательной коммерческой конкурентоспособности МГЭ совершенно необходимо построить численные квадратурные формулы, специально приспособленные к различным типам ядер, возникающим при реализации МГЭ. [c.243]

Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости и вязкоупругости имели решения определенной гладкости, необходимо наложить некоторые требования на гладкость границ тела, на гладкость граничных и начальных условий, а также объемных сил. Эти требования формулируются в терминах определенных классов границ и пространств функций. Необходимость в использовании тех или иных классов границ и пространств функций возникает и в рамках метода граничных элементов как при построении граничных интегральных уравнений, так и при исследовании сходимости дискретных методов решения этих уравнений. Ниже описываются используемые в последующих главах классы границ и пространства функций, причем для того, чтобы охватить одновременно различные мерности задач механики деформируемого твердого тела, рассмотрение ведется в пространстве Л ", m l. [c.24]

Метод граничных элементов (МГЭ) для решения ГИУ (1.1) и, вместе с тем, для решения исходной краевой задачи есть процесс приближенного решения ГИУ (1.1) на основе аппроксимации граничных функций с помощью пространств граничных элементов и аппроксимации плотностей объемных интегралов с помощью пространств объемных элементов (см. 2 главы 7). [c.222]

Рассмотрим упругое тело, внутри которого выделим объем V, ограниченный поверхностью Й (рис. 1). Пусть Р — точка граничной поверхности О, а — элемент этой поверхности, содержащий точку Р. Положение элемента йО, поверхности задается единичным вектором п внешней нормали к поверхности О. в точке Р. На рассматриваемый объем действуют внешние силы, которые разделяются на поверхностные и объемные. [c.15]

Таким образом перемещения (13.2) оказываются подчиненными граничным условиям на всей поверхности тела. Не удовлетворяют они лишь уравнениям равновесия объемного элемента, благодаря чему еще остается значительная свобода в отношении выбора Ио> Vq, Um, v . W . [c.141]

Что касается уравнений равновесия объемного элемента, то они вследствие (ЗЛ) принимают вид (1.7), а кроме того, при отсутствии объемных сил — вид (2.1), Соответственно, граничные условия для напряжений в рассматриваемой задаче имеют тот же вид, что и в задаче о плоской деформации, а именно выражаются формулами (1.12). [c.298]

Метод устранения деформации. Тот же вывод можно получить и с помощью метода устранения деформации. Представим себе, что тело подвергается неравномерному нагреву и разделено на бесконечно малые элементы. Пусть свободным температурным деформациям этих элементов = гу = г = аТ противодействует приложенное к каждому элементу равномерное давление р, величина которого определяется формулой (е). Тогда свободная температурная деформация будет полностью устранена. Все элементы окажутся пригнанными друг к другу и образуют непрерывное тело первоначальной формы и размеров. Распределение давления (е) можно реализовать с помощью приложения к названному телу, составленному из элементов, некоторых объемных сил и поверхностных давлений. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения значения [c.460]

Следующая по сложности оценка строится для композита, модель которого такова шар окружен сферической оболочкой из материала матрицы, а эта оболочка в свою очередь помещена в неограниченную среду, обладающую неизвестными пока свойствами. Внутренний г, и внешний Го радиусы сферической оболочки матрицы определяются так, чтобы объемная доля армирующих элементов составляла (см. работы [52], [90], 1116]). Накладывая простые граничные условия на бесконечности и решая трехмерную задачу теории упругости, получаем [c.78]

При наличии концентратора напряжений, вызванного резким изменением геометрии, дополнительное местное повышение деформаций может быть определено численно методами, учитывающими объемный характер упругопластического деформирования, например методом конечных элементов с вычислением переменных параметров упругости. Использование указанного метода позволяет при зтом существенно ограничить рассматриваемую зону конструкции с концентратором деформаций и определить граничные условия для уточненного расчета или экспериментального исследования этой зоны. [c.215]

Так называемый метод граничных элементов стремится к удовлетворению приведенного выше интегрального уравнения в смысле взвешенных невязок. Сначала отметим, что хотя объемный интеграл и входит в (4.13), он тем не менее не содержит искомое решение Для вычисления объемного интеграла внутреннюю область необходимо подвергнуть дискретизации, однако при этом отпадает необходимость во внутренних элементах в том смысле, в каком используются конечные элементы. В пределах каждого граничного элемента и могут быть подвергнуты интерполяции. Заметим, что некоторые узловые значения заданы на St, в то время как узловые значения заданы на Su- Можно показать [57, 58], что метод граничных элементов в случае линейной упругости приводит к уравнениям типа [c.206]

Теперь уже должно быть вполне ясно, что при отсутствии объемных сил исследователь должен задать только информацию о геометрии границ области (в дополнение к граничным условиям, свойствам материала и прочим данным, общим для всех методов решения). Таким образом, усилия, направленные на подготовку данных, существенно меньше, чем требуется для любого метода, включающего геометрическое моделирование внутренней части тела. Поэтому для подавляющего большинства практических задач МГЭ обладает очень существенными преимуществами по сравнению с методами конечных элементов. [c.19]

Если предположить, что известные и неизвестные значения усилий и смещений, а также заданные объемные силы линейно меняются в пределах каждого граничного элемента и каждой ячейки соответственно, то (4.44) принимает вид [c.118]

Дело в том, что, например, в объемно-центрированной решетке (рис. 2, а) нельзя и атом А и атом D отнести к изображенной ячейке, так как они одновременно являются узловыми элементами соседних ячеек. Чтобы выяснить, какое число атомов приходится на одну элементарную ячейку, дадим всем атомам одинаковые небольшие перемещения, параллельные, например, диагонали АВ (или вообще в направлении, не лежащем в граничной плоскости ячейки). Тогда все атомы выйдут за пределы ячейки, кроме атомов Л и О. Это показывает, что базис кубической объемно-центрированной решетки равен 2. Базис кубической гранецентрированной решетки равен 4. [c.14]

Постановка конкретной задачи нахождения температурных полей активного элемента на основе решения дифференциального уравнения теплопроводности [9,71] требует рационального выбора допущений, начальных и граничных условий с учетом конфигурации элемента, теплофизических характеристик материала и характера теплообмена с окружающей средой. Для наиболее распространенных конфигураций активных элементов характерно, что длина элемента значительно превосходит его характерный поперечный размер (рис. 1.5). Это обстоятельство, а также обеспечение достаточно равномерного теплоотвода вдоль боковой поверхности элемента позволяют сводить объемную задачу теплопроводности к одномерной. [c.14]

При решении на основе метода граничных элементов задач теории упругости и вязкоупругости с объемными силами, а также нелинейных задач механики деформируемого тела, возникает необходимость в приближении функций, определенных в замкнутой [c.212]

Трудности в развитии строгой теории атмосферной коррозии связаны не только с тем, что скорость разрушения металла является функцией климатических элементов, но главным образом с тем, что коррозионные процессы в атмосферных условиях протекают под тонкими адсорбированными или фазовыми пленками влаги. В связи же с особыми свойствами граничных слоев жидкостей представления общей электрохимической теории коррозии, развитые для объемных фаз, оказываются недостаточными для количественной интерпретации, коррозионных процессов в адсорбированных и фазовых пленках влаги. [c.153]

Следует отметить, что именно определение модуля поперечной упругости является наиболее сложной задачей определения деформативных свойств композита по соответствующим характеристикам компонентов. В зависимости от расчетной модели и метода расчета могут быть получены значительно различающиеся результаты. Поэтому в литературе приводится множество выражений для определения модуля поперечной упругости по упругим и структурным параметрам компонентов композита. Некоторые результаты, полученные различными авторами, сопоставлены в работе [12]. Ввиду того что решение объемной граничной задачи теории упругости для двухфазного повторяющегося элемента композита весьма трудоемко и результаты в основном получаются в численном виде, понятны стремления многих авторов получить более простые, хотя иногда и весьма приближенные решения. [c.47]

Состояние системы на конечном этапе фазового перехода первого рода характеризуется отсутствием как локальных, так и объемных макромасштабных областей, в которых частицы жидкоподобного характера (примеси и другие элементы, не вошедшие ранее в кристаллическую структуру) обладали бы размерностью распределения свойств 0(=3. Данные области, следовательно, располагаются целиком в граничных межзеренных и межкристаллитных зонах твердой структуры сплава и находятся в более структурированном уплотненном состоянии под воздействием силового поля плотных областей системы. [c.91]

Граничные зоны структурных элементов поликристаллических материалов коренным образом отличаются от их внутренних областей. Перестройка объемной части структурных элементов поликристаллических тел в наиболее энергетически выгодную упорядоченную структуру в процессе посткристаллизации сопровождается выделением скрытой теплоты кристаллизации, которая диссипирует через поверхностные слои структурного элемента и обусловливает, таким образом, необходимость формирования фрактальных диссипативных структур в поверхностных переходных слоях конденсированных сред. [c.113]

Начало процесса посткристаллизации характеризуется достижением кршического градиента температуры между внутренней частью фрактальных кластеров, составляющих твердое тело, и температурой окружающей среды, охлаждающей систему При этом внутренняя часть элементов, составляющих фрактальную структуру твердого сплава на каждом масштабном уровне претерпевает акт рекристаллизационного упорядочения-уплотнения структуры с образованием трехмерно-упорядоченной объемной части для каждого составляющего звена и масштаба конденсированной иерархической системы. Одновременно происходит "вытеснение" зоны с фрактальной пористой разреженной структурой из внутренней части структурных элементов на их периферийную область (рис. 3.15). Это объясняет обнаруженный многими исследователями пористый фрактальный характер внутренних межзеренных границ в сплавах при комнатной температуре. В дальнейшем мы узнаем, какими функциональными особенностями обладают граничные зоны структурных элементов во взаимосвязи с их струетлфой. [c.142]

Процесс- наращивания характеризуется изменением формы тела, изменением температуры и объемных сил, граничных условий. Кроме того, при наращиванци изменяются физико-механические свойства материала в зависимости от времени и координат, иоскольку процесс старения протекает неодинаково в различных элементах тела. Указанные явления происходят при последовательном возведении и загрузке сооружений, при выращивании кристаллов, при фазовых переходах в вязкоупругих Тедах и т. д. [c.27]

Метод рентгеноспектрального микроанализа (РСМА) используют при исследовании процессов диффузии (объемной, поверхностной, граничной) и влияния на эти процессы различных факторов (примесей, структуры, напряжения) изучении химического состава субмикроскопических зон, возникающих при дисперсионном упрочнении сплавов изучении распределения примесей у границ зерен и распределения легирующих элементов, минеральных включений и т. д. [c.496]

Изучение кривалинейных граничных элементов, неплоских поверхностных и объемных ячеек и т. д., видимо, лучше всего начать с развития некоторых геометрических идей, основанных на преобразованиях координат. Идея, лежащая в основе всего последующего анализа, может быть понята с помощью диаграмм, представленных на рис. 8.1, часть которых очень похожа на содержащиеся в известной книге Д Арси Томпсона Рост и форма [c.206]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

С учетом изложенного выше в качестве граничных условий на внутренней поверхности пористой стенки в зависимости от способа подвода охладителя можно рекомендовать два условия (3.9) и (3.12) или (3.10) и (3.12) при изменении величины 81ц, (81, , < St ). Они применимы и для проницаемого элемента с объемным тепловьщелением. [c.55]

Итак, процессы посптристашизации приводзпп к образованию уплотненной объемной трех.иерно-упорядоченной криста.гшческой части и обособлению ее от разреженной фрактальной пористой граничной зоны для структурных элементов каждого масштабного уровня в твердых сплавах. [c.97]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Это одно из возможных напряженных состояний в двух измерениях, возникающих под действием силы тяжести. Это >ite состояние получается при действии гидростатического давления pgy, причем напряжения обращаются в нуль при y Q. Оно может возникнуть в пластинке или цилиндре произвольной формы при соответствующих граничных условиях для напряжений. Если обратиться к элементу, показанному на рис. 12, то уравнение (13) показывает, что на гранйце должно действовать нормальное давление pgy, а касательное напряжение должно быть пулевым. Если внешние силы действуют на пластинку каким-то иным образом, то мы должны наложить нормальное растяжение на границе pgy и новые внешние силы. Обе системы находятся в равновесии, и определение их влияния сводится к решению задачи для 0Д1Л1Х только усилий на поверхности без объемных сил ). [c.51]

Поверхностньк силы (б) можно вызвать путем приложения некоторых объемных и поверхностных сил к телу, образованному малыми элементами. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения компоненты напряжения (б), находим, что необходимые объемные силы определяются выражениями [c.469]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

При окислении сплавов, легированных кремнием и алюминием, внутреннему окислению подвержены кремний и алюминий. Окислы алюминия концентрируются в более глубоких слоях подокалины. При 115(ЯС наряду с граничной достаточно интенсивно протекает объемная диффузия кислорода, что приводит к образованию окислов алюминия и кремния в зернах металла (рис. 54, /) и значительному обеднению этими элементами слоя подокалины. С понижением температуры объемная диффузия кислорода замедляется, уступая диффузии по границам зерен, которая превалирует при 950°С. При этой температуре в теле зерен образуется небольшое количество окислов, в основном кремния, а окислы алюминия располагаются по границам зерен в виде сетки (рис. 54,//). [c.85]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

При решении уравнения (3.22) относительно 9 обращается только матрица размером (j + 1) X (jV + I) (т. е. размер матрицы определяется исключительно числом граничных элементов N и совершенно не зависит от числа внутренних дискретных элементов уИ, используемых внутри тела). Это, как будет установлено ниже, остается справедливым в случае любых заданных источников и стоков, а также вообще для всех объемных сил при произвольной размерности пространства. Тот факт, что для получения решений при других значениях р не требуется повторения операции обращения, будет играть главную роль в следующих главах, где учет нелинейных эффектов, подобных возникающим, например, в упругопластичности, будет осуществляться путем введения псевдообъемных сил. [c.64]

На рис. 8.2 показано преобразование некоторых дифференциальных элементов линии, площади и объема при переходе от одного из пространств X и Z к другому. Так как в Z все эти элементы имеют более простую геометрическую форму, удрбнее вместо величин dV x) (а также dA x), dS(x) и т. д.), входящих в основные соотношения МГЭ, использовать их отображения в Z, в качестве которых всегда могут быть выбраны одинаковые единичные элементы независимо от размера их прообразов в X. Хотя именно неплоские поверхностные ячейки (в трехмерном случае) и граничные линейные элементы (в двумерном) определяют главные индивидуальные черты МГЭ, проще все-таки иметь дело с ними после соответствующего преобразования ячеек объема (в трехмерном случае) и площади (в двумерном). Рассмотрим в Z объемный дифференци- [c.209]

В монографии изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих элементов конструкций, полученные с помощью метода конечных элементов и метода граничных интегральных уравнений, известного также под названием метод граничных элементов. Эти перспективные современные численные методы удобны для решения на ЭВМ широкого класса контактных задач механики деформируемого тела и в рамках одной программной реализации позволяют учесть большое число практически важных факторов, таких, как сложная геометрия и произвольный характер внешних воздействий, различные условия контактного взаимодействия. Метод конечных элементов представляется более универсальным, так как позволяег легко учесть физическую и геометрическую нелинейность, объемные силы, зависимость свойств материала от температуры. В методе граничных элементов учет этих факторов настолько увеличивает рудоемкость решения задачи, что сводит на нет основные преимущества метода, такие, как дискретизация только границы области и малый объем входной информации. Поэтому в книге метод граничных элементов использован только для решения контактных задач теории упругости, где наряду с простотой задания исходной информации он может дать и выигрыш машинного времени за счет понижения размерности задачи на единицу, особенно для бесконечных и полубесконечных областей. Метод граничных элементов позволяет построить также более совершенный алгоритм для учета трений в зоне контактных взаимодействий. По-виднмому, еще большего выигрыша следует ожидать в некогорых задачах при совместном использовании обоих методов. [c.3]

Это приводит к усложнению алгоритма, связанному с интегрированием по конечным элементам, на которые дискретизируется объем (поверхность) рассматриваемого тела. Однако в ряде частных случаев удается учесть объемные силы в системе ИУ в виде граничных интегралов. Использование выражений (И1.30) и (И1.31) позволяет сохранить одно из основных преимуществ МГЭ — снижение размерности задачи на единицу. [c.67]

Расчет рассматриваемого замкового соединения МКЭ проводился в рамках плоского напряженного состояния в отсутствие объемных сил и температурных деформаций. При этом полагалось отсутствие технологических зазоров между контактирующими зубьями замка. По длине участков соприкосновения зубьев располагались тонкие слои контактных конечных элементов, реализующих фрикционное взаимодействие с коэффициентом трения /тр = 0,2. Параметры сетки элементов для симметричной части хвостовика лопатки и межпазо-вого выступа диска составляли 706 и 927 узлов соответственно. Вторичная дискретизация хвостовой части лопатки показана на правой половине рис. 80. Граничные условия на симметричной части замкового соединения (см. рис. 78) формулировались в виде [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...