Решение при помощи преобразования Лапласа

Приведем решение при помощи преобразования Лапласа. Дифференциальное уравнение (5.01с) напишем в форме [c.229]

Решение при помощи преобразования Лапласа [c.252]

Многие задачи вязкоупругости при помощи преобразования Лапласа (или Фурье) определяющих уравнений и граничных условий по истинному или приведенному времени становятся математически эквивалентными аналогичным задачам для упругих тел. Такая аналогия называется принципом соответствия и дает возможность использовать методы теории упругости для получения решений (в изображениях) задач вязкоупругости. Впервые этот принцип был установлен Био [11] для анизотропной среды. [c.140]

Зависимости параметров вынужденных колебаний платформы машины от дисбалансов ротора, установленные путем решения системы дифференциальных уравнений (1) при помощи преобразования Лапласа, имеют вид [c.102]

В работе [13] приводится ряд решений, полученных при помощи преобразования Лапласа. [c.175]

Задачи теплопроводности в случае составных или пустотелых цилиндров кругового сечения легко решаются при помощи преобразования Лапласа, но получаемые решения оказываются довольно сложными [43—48] ). Здесь мы рассмотрим два случая неограниченных составных областей. [c.339]

КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [c.467]

К решению Ui x, t) можно прийти и при помощи преобразования Лапласа полевых уравнений. Как и ранее, преобразование Лапласа функции 4) j x, t) определяется формулой [c.295]

Решения уравнения (5.32) исследованы Дж. Ватсоном при помощи преобразования Лапласа для некоторых специальных функций / (Т). В частности, были рассмотрены следующие типы внешнего течения V (1) [c.96]

Уравнение (147) дает решение поставленной задачи через исходные функции, представленные при помощи преобразования Лапласа. [c.118]

Основные моменты одинаково хорошо можно выявить как на решении задачи Коши при помощи преобразования Фурье, так и на решении задачи о распространении сигнала при помощи преобразования Лапласа. Мы выбрали последнюю, поскольку она содержит большее число различных частных случаев, зависящих от знаков Сх, с и а. [c.330]

ТО сразу видно, что функцией-оригиналом является выражение (4.71). Очевидно, что метод преобразования Фурье менее простой, чем прямой метод, однако вязкое демпфирование не создает трудности при решении любым методом, в том числе и с помощью преобразования Лапласа. [c.164]

Решение, полученное с помощью преобразования Лапласа, имеет вид (при Рг = Ги I = 0,8) [c.276]

Решение краевой задачи (4-7-1) —(4-7-10) получается с помощью преобразования Лапласа по времени. При этом задача в изображениях по виду похожа на соответствующую стационарную задачу (решается аналогично тому, как это было сделано выше). Опуская промежуточные выкладки [Л.4-9], приведем температурные поля в жидкости й твердом теле соответственно для плоской и круглой труб [c.279]

В нестационарном случае поток частиц зависит от координаты. и времени. Рассмотрим случай, когда аП—. При нулевых начальных условиях с помощью преобразования Лапласа и предположений, сделанных при решении уравнения (5-540), легко показать, что уравнение для потока молекул в безразмер-t [c.344]

Практически во всех интересных случаях систему уравнений (1.59) приходится решать приближенно. Обычно вместо того, чтобы искать решение системы дифференциальных уравнений (1.59) переходят с помощью преобразования Лапласа к системе алгебраических уравнений для лапласовских компонент амплитуд вероятности. Если задано начальное состояние системы, т. е. значения амплитуд вероятности в момент f = О, то поведение любой амплитуды вероятности при i > О определяется уравнением (1.59). При такой постановке задачи значения амплитуд при t < О не играют никакой роли. Поэтому их можно выбрать любыми. Наиболее удобно выбрать все амплитуды при t < О равными нулю. Тогда лапласовский образ амплитуды определяется следующим выражением [c.20]

За последние три десятилетия метод преобразования Лапласа был значительно усовершенствован. При его применении к одномерным задачам этот метод обладает следующими преимуществами перед более старыми методами Фурье 1) он дает стандартную методику, применяемую ко всем задачам одинаковым образом 2) он применим ко всем граничным условиям и не зависит от последних, что устраняет необходимость разработки новой теории для каждого типа граничных условий 3) он позволяет доказать очень много простых теорем, например теоремы, приведенные в 2 гл. XII, которые можно использовать для получения новых результатов и новых преобразований, и 4) в большинстве случаев трудности, связанные со сходимостью, не возникают, и решение простых частных задач (например, задачи с постоянной начальной температурой и постоянной температурой поверхности) обычно можно считать совершенно строгим. В случае двумерных и трехмерных задач положение не столь удовлетворительно, и в методе, используемом в данной книге, после исключения времени с помощью преобразования Лапласа мы всегда вынуждены применять классические методы Фурье. [c.445]

Его решение <г)о> при х О можно найти с помощью преобразования Лапласа и теоремы о свертке [c.189]

Передаточная функция может быть найдена без решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа при расчете автоматических систем изложено в литературе по теории автоматического регулирования [9], [14]. [c.102]

Из решения (37) с помощью преобразования Лапласа при учете (41) определяется f (p) [c.38]

В предыдущих главах с помощью преобразования Лапласа получено точное решение большого числа задач. Читателю предлагается в качестве упражнения получить асимптотическое разложение решения при 1 оо непосредственно из изображения решения, определив самые правые особые точки этого изображения, и убедиться, что полученное асимптотическое разложение решения будет совпадать с найденным путем перехода х-> оо в окончательном решении. [c.567]

Формулы (31.6), (31.7) определяют поле линейного источника единичной интенсивности (при />0). С помощью преобразования Лапласа отсюда можно перейти к описанию волны, излучаемой расширяющимся цилиндром конечного радиуса. Действительно, в силу принципа суперпозиции, если воздействию (/) соответствует решение (/,. . . ), то воздействию /з (t) (такому же, но по-другому зависящему от времени) соответствует решение /з ( ) причем [c.173]

Предполагается, что показания нейтронного детектора пропорциональны Р t). Импульсный источник описывается б-функцией Дирака б+ ( ), умноженной на (3 — полное число нейтронов в импульсе. Решения уравнений (10.20) и (10.21) будем искать при начальных условиях Р (0) = 0 и С (0) = 0. Хотя решения этих уравнений для точечной модели реактора могут быть получены с помощью преобразования Лапласа, представляется целесообразным рассмотреть их свойства, что может оказаться полезным при планировании экспериментов в случае важности учета пространственной зависимости. [c.431]

Получите решения уравнений точечной модели реактора (10.20) и (10.21) в предположении одной группы предшественников запаздывающих нейтронов, например, с помощью преобразования Лапласа. Покажите, что при ЛА, С 1 решение обладает свойствами уравнений (10.22) и (10.26). [c.468]

Построение кривой переходного процесса путем аналитического решения дифференциального уравнения, описывающего систему, является частным и редко встречающимся случаем. При более сложных дифференциальных уравнениях используются методики нахождения переходного процесса с помощью преобразований Лапласа или Карсона—Хевисайда, с помощью вещественных частотных характеристик и т. д. При расчетах широко используются вычислительные машины—цифровые или аналоговые [5 ]. [c.85]

Это уравнение решается в общем виде по типу решения уравнения Фурье, но его решение с учетом зависимости коэффициента диффузии от температуры может быть реализовано или методом конечных разностей (сеток), или с помощью интегрального преобразования Лапласа и в обоих случаях требует машинного счета на ЭВМ. Проще всего оно решается для установившегося режима диффузии, т. е. при наличии постоянного градиента концентраций и постоянства температуры. В этом случае решение принимает вид [c.306]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Решение уравнения (VII.И) целесообразно искать с помощью операционного метода преобразования Лапласа. При = О, как это имеет место в рассматриваемом случае, операционное уравнение, соответствующее уравнению (VII.И), запишется так [c.151]

Зависящее от времени осевое напряжение в волокне, требующееся для определения зависящей от времени неэффективной длины б t), можно получить из упругого решения (уравнение (4)) при помощи принципа соответствия. Вязкоупругое решение в пространстве изображений, соответствующем преобразованию Лапласа, получается, если вместо упругого модуля сдвига матрицы подставить умноженное на р преобразование Лапласа от релаксационного модуля сдвига матрицы и если применить преобразование Лапласа к начальному условию в уравнении (4), представляю- [c.289]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

В следующем параграфе мы найдем основные определенные интегралы, позволяющие нам оценить коэффициенты во всех рядах, которые представляют для нас интерес. Там же будут решены различные задачи по теплопроводности цилиндра при этом мы будем исходить из предположения о возможности разложения в ряд и допустимости почленного интегрирования. Все решения можно получить при помощи преобразования Лапласа, как это сделано в гл. XIII, XIV. [c.195]

Для получения этого решения в работе [15] был использован видоизмененный метод Фурье (функции sin га не являются ортогональными) и контз рное интегрирование [16]. Решение легко получить при помощи преобразования Лапласа. В статье [17] указаны более полные численные данные, чем данные, приведенные на рис. 30. [c.236]

В работах [ 103, 106] были рассмотрены задачи о поведении конечных трещин при ударном нагружении. В первой из них использован метод Винера—Хопфа, а во второй — задача сводилась к численному решению интегральных уравнений Фредгольма для переменных, трансформированных при помощи преобразования Лапласа, причем обращение преобразования выполнялось только для главной части локальных напряжений в вершине трещины. Характерным здесь является то, что решения для конечной трещины остаются ограниченными при то, что после достижения пикового значения (в момент прихода в вершину трещины волны, излученной от противоположной вершины) коэффициент интенсивности колеблется около статического значения с убьшающей амплитудой. Подчеркнем еще раз, что до зтого момента времени решение для конечной трещины совпадает с решением для полубесконечной. [c.40]

Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) был успешно применен для решения задач механики твердого тела, в которых имеются изменяю щиеся во времени параметры. В большинстве этих приложений временные зависимости определялись при помощи преобразования Лапласа. Одним из первых примеров подобного применения метода явилось исследование переноса тепла в твердых телах. С использованием принципа соответствия была рассмотрена задача кваэистатической вязкоупругости при помош,и метода ГИУ, сформулированного для задач статической теории упругости. Этим методом также удалось рассмотреть распространение волн в твердых телах, которое по самой своей природе отличается от ранее упомянутых явлений. Исследованы как упругий, так и вязкоупругий [c.30]

Новые качественные эффекты обнаружены при исследовании развившихся нестационарных магнитогидродинамических течений (Я. С. Уфлянд и И, Б. Чекмарев, 1959, 1960). Основной особенностью нестационарных задач является необходимость совместного решения уравнений магнитной гидродинамики внутри канала и уравнений электродинамики вне его. Полученная система уравнений решается обычно при помощи преобразования Лапласа по времени. Точные решения нестационарных задач о течении в плоском канале в однородном поперечном магнитном поле были получены как для случая переменного градиента давления др дх = Р (i), так и для случая подвижных границ канала Uw = Uw t)- Рассмотрена также аналогичная задача для течения в трубе прямоугольного сечения [c.444]

В ряде случаев удастся доказать и обратное утверждение — что линейная устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову. Так, для уравнения (2.15) справедлива следующая теорема (Л. А. Дикий (1976)) двумерное плоскопарал-лву >ьное течение с монотонным профилем скорости и (г), О г к, в котором и (0) и и (к) не являются собственными значениями уравнения Рэлея, может быть неустойчивым лишь при наличии в дискретном спектре невещественных и.т кратных вещественных собственных значений. Доказательство основано на решении задачи Коши для уравнения (2.15) (при зависимости г] от лг по закону e ) при произвольном 1ачальном значении (2 , 0) = фо(<2) с помощью преобразования Лапласа по времени. Полагая [c.83]

При теоретическом исследовании динамики объекта необходимо, чтобы разложения весовой и переходной функций имели достаточно простой аналитический вид. В этом случае обычно используют методы получения приближенных выражений для g(f) и h(t) с помощью приближенного выражения для самой передаточной функции W(p). Приближенное выражение для W(p) обычно представляет собой конечный отрезок бесконечного ряда, являющегося разложением W(p) по какой-то системе функций. Задача получения обратного преобразования Лапласа от W(p) становится в этом случае очень простой для его решения достаточно осуществить почленный переход к опигиналам в разложении функции W p). Обычно функции, по которым производится разложение W p), выбираются такими, что переход к оригиналам не вызывает никаких затруднений. Фактически, основная сложность в рассматриваемом методе аппроксимации g t) связана с отысканием удобного разложения W p) в ряд и исследованием корректности замены W(p) приближенным выражением в виде конечного отрезка ряда. Выясним, какими свойствами должно обладать это [c.109]

В заключение коснемся работы Хегемира [52], в которой детально изучались стационарные и нестационарные колебания в слоистых и волокнистых композитах. В этой работе основное внимание уделяется анализу явлений рассеяния в упругих материалах, однако приводится и решение для нестационарных волн в вязкоупругих слоистых композитах, распространяющихся перпендикулярно слоям. Это решение было получено при помощи принципа соответствия и обращения преобразования Лапласа. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...