Преобразование тензорных уравнений

Преобразование тензорных уравнений [c.86]

J 431 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 89 [c.89]

Физические законы механики сплошной среды выражаются тензорными уравнениями. Вследствие линейности и однородности тензорных преобразований тензорные уравнения, верные в одной системе координат, верны и в любой другой. Такая инвариантность тензорных соотношений относительно преобразований координат является одной из основных причин того, что тензорное исчисление весьма полезно в изучении механики сплошной среды. [c.9]

Следуя иному подходу, во многих книгах по векторному и тензорному анализу (линейная алгебра) используют свойства преобразований, выраженные уравнениями (1-2.10) и (1-2.11), для определения упорядоченных систем чисел, называемых соответственно контравариантными и ковариантным векторами. [c.19]

Когда возникла необходимость выразить фундаментальные уравнения электродинамики и теории упругости в форме, не зависящей от декартовой системы координат, были открыты трехмерные векторное и тензорное исчисления. Поскольку преобразования Лоренца представляют собой вращения в (3+1)-пространстве, естественно обобщить трехмерные векторы и тензоры на четырехмерные и, для удовлетворения требования ковариантности законов природы при этих преобразованиях, записывать фундаментальные уравнения в форме четырехмерных тензорных уравнений. [c.75]

Метрическое пространство Минковского введено как вспомогательный математический образ. Это сделано пока только в связи с тем, что при преобразованиях координат в пространстве Минковского можно рассматривать тензор и уравнения Максвелла в этом пространстве можно рассматривать как тензорные уравнения. [c.281]

Так же как при любых преобразованиях координат, при таких преобразованиях, называемых преобразованиями Лоренца, тензорные уравнения (2.12) и (2.13) и соответственно [c.281]

До сих пор мы рассматривали лишь специальную систему отсчета. Обобщим теперь наши результаты путем преобразования уравнений к произвольной неспециализированной системе отсчета. Преобразование системы отсчета от системы, обозначаемой символом , к системе обш его вида будет описываться при помощи гладкой ортогональной тензорной функции Q t), произвольной в других отношениях. В частности, уравнение (3-5.4) преобразуется к виду [c.119]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Теория винтовых аффиноров, разработанная С. Г. Кислицыным (см. гл. 10, п. 24), нашла воплощение в различных аспектах кинематики и геометрии механизмов. Ее приложение к выводу уравнения теоретического профиля зуба зубчатого колеса, нарезаемого эвольвентной фрезой [49], дало возможность сократить вычисления, сопутствующие решению этой задачи. В этой работе реализовано произведение аффиноров, отображающее последовательное преобразование систем координат, ассоциированных различным звеньям механизмов. Таким образом, преимущества тензорного исчисления, сводящие преобразования систем координат к элементарным алгебраическим операциям над матрицами, по-видимому, впервые использованы в этой работе при анализе реального механизма. Эта плодотворная идея перемножения винтовых аффиноров, а следовательно, их матриц, обоснованная еще в исследовании [481, являющемся развитием прямого метода в винтовом исчислении [47 ], была успешно применена к исследованию перемещений сложного пространственного планетарно-стержневого [c.127]

Уравнения (3.21) могут быть переписаны в виде, пригодном для применения в произвольной системе координат, путем поворота системы координат и с помощью линейных формул преобразования. Мы воздерживаемся от детального разбора необходимых преобразований. Они получаются очень просто, если воспользоваться тензорным исчислением. Соответствующие формулы можно найти в работах [ ], [ ], [ ], [ ]. Таким образом окончательно получаем [c.66]

Здесь, следуя Эшелби, мы ограничимся представлениями, непосредственно связанными с общей теорией относительности [113]. Возвратимся к уравнениям связей третьего рода (2.22) и выражениям компонент метрического тензора (2.24), (2.25). При этих условиях равенства (2.22) аналогичны уравнениям тяготения Эйнштейна (2.23). Конечно, равенствам (2.22) можно посредством преобразований, известных из основ тензорного анализа, придать форму уравнений (2.23), но для нахождения частного решения уравнений (2.22) такое преобразование излишне. [c.43]

Как мы увидим далее, это возможно для всех фундаментальных уравнений классической макроскопической физики. Поэтому с некоторых пор возникла уверенность, что все законы природы можно записать в тензорной форме. Однако с появлением квантовомеханической теории электрона Дирака [62] стало ясно, что для описания некоторых физических систем кроме тензоров требуются так называемые спиноры с совершенно иным законом преобразования, но тем не менее удовлетворяющие ковариантным дифференциальным уравнениям типа (4.21), (4.2Г). [c.76]

Установив тензорный характер понятия напряжения, можно сразу же высказать по отношению к этому тензору ряд положений, доказанных в предыдущей главе для тензора деформации. В частности, можно утверждать (на том основании, что закон преобразования нормального напряжения 055 аналогичен закону преобразования что в каждой точке тела после деформации можно указать три таких взаимно-перпендикулярные площадки, на которых все касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Путем рассуждений, аналогичных 7, гл. I, можно показать, что косинусы углов, определяющих направления нормалей к соответствующим площадкам (/, т, п), подчиняются системе уравнений [c.65]

Дальнейшие упрощения в матрице феноменологических коэффициентов основаны на использовании свойств пространственной симметрии континуальной среды. В этой связи система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно ряда ортогональных преобразований координат (принцип Кюри). В случае изотропной среды применение операций инверсии и вращения к системе (2.1) указывает на сохранение при преобразовании связей лишь между потоками и силами одной тензорной валентности. Это означает, как было [c.37]

Из тензорной формы этих уравнений непосредственно видно, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. [c.307]

Вполне естественно поэтому представлять все уравнения теории оболочек в тензорной форме. Такая форма уравнений делает обозримее все промежуточные преобразования при выводе или моди- [c.128]

Координатная форма записи (6.17) оказывается весьма удобной (хотя, конечно, и не обязательной) при формулировке и исследовании уравнений в вариационных производных (см. ниже 8—10). Она в равной мере применима и к любым другим полям в частности, тензорная размерность Ф и никак не специализируется (с тем лишь очевидным условием, чтобы произведение Г Ф было инвариантно относительно преобразований симметрии, допустимых в данной системе). [c.58]

Для получения таких уравнений достаточно осуществить обычное тензорное преобразование уравнений (1.8), используя контравариантные компоненты скоростей м . Тогда система (1.8) в криволинейных координатах (/ = 1, 3) запишется в виде (см., например, [8]) [c.128]

При любом преобразовании координат компоненты тензоров преобразуются по законам, сохраняющим результаты сложения, умножения, свертывания, а также равенства тензоров. Каждое соотношение между тензорами инвариантно относительно преобразований координат. Если соотношение, записанное в виде уравнений между компонентами, имеет место в одной координатной системе, то оно справедливо во всех координатных системах, т. е. о тензорах и тензорных операциях можно говорить безотносительно к выбору координатной системы. [c.12]

Физический смысл имеют только те законы, которы не зависят от выбора системы координат или, как говорят, инвариантны относительно преобразований системы координат. Если известны, например, некоторые равенства, выражающие физические законы в декартовой системе координат а==Ь, то, переходя к тензорным величинам, получим а =Ь или щ = Ьг, Эти соотношения справедливы уже в произвольной системе координат. Запишем уравнения движения в виде законов сохранения в декартовой системе координат. Для того чтобы выразить эти соотношения в произвольной системе координат, необходимо заменить векторные и тензорные величины их инвариантным представлением в произвольной системе координат. [c.20]

Уравнение (6.14) есть уравнение центральной поверхности второго порядка — тензорной поверхности — и вместе с тем уравнение геометрического места точек Р, расположенных на различных осях, проходящих через начало координат ), Очевидно, что уравнение (6,14) определяет поверхность с точностью до преобразования подобия. [c.366]

Интегральные инварианты не принадлежат к объектам тензорного исчисления, так как они не подчиняются законам преобразования тензорных величин. Но дифференциальные формы, являющиеся основой интегральных инвариантов, удовлетворяют условиям инвариантности относительно некоторых точечных преобразований, о которых идет речь ниже, и, в ином с.мысле, относительно некоторой системы дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет применить тензорное исчисление к вопросам теории интегральных инвариантов. [c.386]

Для того чтобы вычислить напряженность квадруполя на единицу объема, начнем с преобразования основных уравнений движения (2) и (3) в двух аспектах. Во-первых, потребуем, чтобы они описывали локальную скорость изменения д д1) количества движения или массы на единицу объема например, сгруппируем последние два члена в (3), записав их в виде члена У-(ри), который с точностью до знака представляет локальную скорость изменения р. Во-вторых, примем индексные обозначения, что позволит легче использовать тензорные величины в дальнейшем итак, в этом разделе коордннаты обозначаются как Хх, 2, Хз, вектор скорости как (м , 2, и , а повторение нижнего индекса в любом члене уравнения автоматически означает суммирование по нему от 1 до 3. Тогда уравнение (3) запишется как [c.79]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Изложенный метод является эффективным алгебраическим методом исследования и синтеза пространственных механизмов, основанным на использовании однородных координат, которые дают возможность объединить сложное преобразование поступательного и вращательного относительных движений в одной матрице 4-го порядка, представляющей соответствующий тензор второго ранга. Применением однородных координат, а также введением фиктивных звеньев можно уменьшить количество вводимых координатных систем по сравнению с методами, в которых используются неоднородные координаты (С. Г. Кислицына, Г. С. Калицына и др.), и тем самым уменьшить количество вычислительных операций при составлении расчетных уравнений для определения искомых параметров. В этом методе преобразование координат и геометрические связи между звеньями полностью отображаются тензорным или эквивалентным ему матричным уравнением замкнутости механизма, которое распадается на двенадцать уравнений относительно искомых и известных параметров. Из этого числа могут быть отобраны в общем случае шесть наиболее простых уравнений, а остальные уравнения использованы для контроля правильрюстн определения параметров. [c.167]

Следует подчеркнуть, что в отличие от интегрирования в уравнениях (VIIL4), (VIII.5), (VIII.7) операция дифференцирования,тензора по времени далеко не элементарна. Результатом дифференцирования снова должен быть тензор. Легко видеть, например, что. вычисление полной производной от компонент тензора нарушает тензорный закон преобразования компонент при переходе к новым координатам. [c.264]

Тем же способом из тензорного поля ранга п всегда можно дифференцированием образовать тензорное поле ранга д + 1, а последующей сверткой — тензорное поле ранга а — 1. Как и в только что рассмотренных частных случаях, этот факт является следствием формул преобразования для тензоров, уравнения (4.176) и условий ортогональности (4.11) и (4.14). Следовательно, из тензорного поля второго ранга можно построить тензорное поле dtnJdxi ранга 3, а последующей сверткой тензорное поле ранга 1, т. е. векторное поле [c.99]

Поскольку а и — тензорные поля, интегралы (9.217) — (9.221) инвариантны (или псевдоинвариантны) при произвольных координатных преобразованиях. Однако, вследствие того, что эти уравнения получены с помощью правила интегрирования по частям (см. доказательство теоремы Гаусса в трехмерном пространстве в приложении 1), они будут выполняться в любой системе координат, даже если и = — F не имеют тензорных свойств. Конечно, тогда интегралы (9.217) — (9.221) уже не будут инвариантными, но сами уравнения все еще будут выполняться. Поэтому если Tf — 16 произволь- [c.243]

Используя тензорное преобразование с контравариантными компонентами скоростей м (а = 1, 3), систему (1.1) можно записать в произвольной системе криволинейных координат либо в неконсервативной, либо в слабоконсервативной форме. Последняя может быть получена из уравнений (1.10) гл. 2 при р = onst, = onst с использованием равенства div V = = О в уравнениях импульса. [c.184]

Как уже подчеркивалось, в этой теории рассматривается дисперсионный механизм, порожденный нерегулярностью поля скоростей внутри пор, описать которое можно лишь привлекая уравнения Навье — Стокса и учитывая чрезвычайно сложную геометрию межпорового пространства, что практически немыслимо. Поэтому, рассматривая такие поля считают их случайными и являющимися результатом преобразования регулярного поля средней скорости при помощи некоторого случайного локального тензора. Принятие гипотезы об аналогии дисперсии в порах с броуновским движением, что эквивалентно предположению о том, что процесс переноса частиц — марковский, позволяет выписать соответствующее диффузионное уравнение с конвективным членом и связать его коэффициенты с моментными функциями блуждающих частиц, которые в свою очередь выражаются через компоненты локального тензора. Результатом такого рассмотрения являются уравнения конвективной диффузии, установление тензорного характера коэффициентов диффузии, зависящих от средней скорости и дисперсии компонент локального тензора. Поскольку 222 [c.222]

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной систсхмы координат к другой, и такие соотношения, которые не зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задается одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде u= / Rг== /гR Найдем скалярное произведение (и-и) -и Эта величина (квад- [c.9]

Через др здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования но пространственно-временным координатам Х . Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона V/) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой пнварпантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований иространствепно-времеппых координат Х . Прямая тензорная запись уравнений ноля часто оказывается неудобной, так как она скрывает природу тензоров при ностроении канонических тензоров теории поля заимствуются элементы как нространства-времепп (греческий индекс), так и самих физических нолей (латинский индекс). [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...