Инвариантность тензорных соотношений

Физические законы механики сплошной среды выражаются тензорными уравнениями. Вследствие линейности и однородности тензорных преобразований тензорные уравнения, верные в одной системе координат, верны и в любой другой. Такая инвариантность тензорных соотношений относительно преобразований координат является одной из основных причин того, что тензорное исчисление весьма полезно в изучении механики сплошной среды. [c.9]

Инвариантность тензорных соотношений 9 [c.311]

Другой путь состоит в наложении достаточно общих ограничений на структуру тензорных уравнений. Ранее ( 16) отмечались условия, при которых тензоры могут быть представлены векторами. А. А. Ильюшин [ ] выделил класс тензорных соотношений, имеющих соответствующую инвариантную векторную формулировку. Это делает анализ наглядным, но не вполне общим. [c.82]

Векторное равенство инвариантно относительно любого ортогонального преобразования координат, а это означает, что если в силу данного соотношения для некоторой траектории нагружения установлена траектория деформирования, то для другой траектории нагружения, которая получается из первой с помощью поворотов и отражений (виды ортогонального преобразования), траектория деформирования восстанавливается из первой траектории деформирования теми же поворотами и отражениями. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение если принимается (А. А. Ильюшин, 1954), что любые траектории в векторном пространстве удовлетворяют указанному свойству (постулат изотропии), то отвечающее такой среде тензорное соотношение содержит только три названные выше операции [c.37]

Сформулируем корреляционные модели неполного статистического описания процессов переноса импульса и скалярной субстанции при неоднородной турбулентности, не прибегая к введению полуэмпирических замыкающих соотношений (которые содержали бы при таком количестве уравнений огромное количество эмпирических констант). Предложенные модели в отличие от большинства полуэмпирических моделей обладают необходимыми условиями галилеевой и тензорной инвариантности уравнений,, являются универсальными с точки зрения их использования для любых геометрических конфигураций в общем случае нестационарных турбулентных потоков при любых числах Прандтля (в пределах концепции несжимаемости). [c.70]

Криволинейные координаты. В предшествующих пунктах основные соотношения были представлены в инвариантной форме зависимостей между векторными или тензорными величинами поэтому запись формул в криволинейных координатах требует лишь внимательного соблюдения правил тензорного исчисления (Приложения III—V). [c.136]

Скаляр и вектор. В математическом естествознании рассматриваются величины, определяющие свойства физических объектов и происходящих в них процессов. Задание численных значений (при выбранной системе единиц) заключает в себе произвол, обусловленный выбором той или иной координатной системы — системы отсчета, но существующие между величинами связи не зависят от этих извне привнесенных способов описания. Тензорное исчисление представляет математическое средство, с помощью которого формулируются такие инвариантные (не зависящие от системы отсчета) соотношения между изучаемыми объектами. [c.799]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Функции нагружения Д = О, зависящие от инвариантов (2.4), являются тензорно-инвариантными. Если решением совокупности функций gk = О является обращение в нуль всех инвариантов (2.4), то в силу произвольности aij, e j следует, что Xij = О, т.е. имеют место соотношения (2.1). Очевидно, что при подобном обосновании соотношений [c.148]

Линейные определяющие соотношения. Линейные тензорные функции, связывающие тензор ранга т и тензор ранга п, являются тензором ранга (n + m), инвариантным относительно группы преобразований G, характеризующей свойства этих определяющих соотношений. [c.648]

Соотношение (109.12) кратко выражает свойство инвариантности этого тензорного поля [ср. (109.6)]. Из (109.11), (109.12) получим соотношение, дающее правило преобразования силовых постоянных в члене третьего порядка при преобразованиях поворота [c.330]

Напишем самый общий вид линейного соотношения между компонентами тензоров Напряжения и деформации. Это соотношение должно иметь тензорный характер иначе соотношение, справедливое в одной системе координат, оказывалось бы неверным в другой, в то время как по самому смыслу такого соотношения оно должно быть инвариантно по отношению к выбору системы координат. Можно написать два различных тензора второго ранга, линейно зависящих от компонент тензора деформации первый — это сам тензор деформации второй — это тензор иа Ьц. Величина [c.441]

При любом преобразовании координат компоненты тензоров преобразуются по законам, сохраняющим результаты сложения, умножения, свертывания, а также равенства тензоров. Каждое соотношение между тензорами инвариантно относительно преобразований координат. Если соотношение, записанное в виде уравнений между компонентами, имеет место в одной координатной системе, то оно справедливо во всех координатных системах, т. е. о тензорах и тензорных операциях можно говорить безотносительно к выбору координатной системы. [c.12]

Физический смысл имеют только те законы, которы не зависят от выбора системы координат или, как говорят, инвариантны относительно преобразований системы координат. Если известны, например, некоторые равенства, выражающие физические законы в декартовой системе координат а==Ь, то, переходя к тензорным величинам, получим а =Ь или щ = Ьг, Эти соотношения справедливы уже в произвольной системе координат. Запишем уравнения движения в виде законов сохранения в декартовой системе координат. Для того чтобы выразить эти соотношения в произвольной системе координат, необходимо заменить векторные и тензорные величины их инвариантным представлением в произвольной системе координат. [c.20]

Введение линейных по а,- членов позволяет учесть возможное различие в пределах прочности при растяжении и сжатии, так же как в критерии Хоффмана [7]. Скалярная форма автоматически обеспечивает выполнение условия инвариантности тензорного соотношения, которое справедливо в любых системах координат и может быть записано путем соответствующего перехода от любой заданной системы. Внедиагональные компоненты Р /, отражающие взаимное влияние напряжений в отличие от верх предшествующих критериев трактуются как независимые харак- [c.102]

А. Л. Крыжановский и др.), в которых, однако, свойства деформируемости рассматривались вплоть до предельного состояния, но не в самом предельном состоянии. В этих работах формулировались связи между напряжениями и деформациями в виде обычного инвариантного квазилинейного тензорного соотношения. Определенные инвариантные обобщения экспериментальных данных по испытанию грунта, необходимые для возможных, построений такого рода, делались еще А. И. Боткиным (1940) и позднее И. В. Федоровым (1957, 1958), А. С. Строгановым (1961), С. С. Вяловым [c.214]

Заключение. Для всех типов анизотропии в инвариантном тензорном виде вьшисаны представления обобщенного закона Дарси при фильтрации двух несмешивающихся жидкостей. Для всех представлений обобщенного закона проанализированы тензоры коэффициентов фазовых проницаемостей и выражения для относительных фазовых проницаемостей. Показано, что симметрия тензоров коэффициентов фазовых проницаемостей может не совпадать с симметрией тензора абсолютной проницаемости. Для триклинных и моноклинных классов симметрии (типов анизотропии) тензоры коэффициентов фазовых проницаемостей могут быть не соосны между собой и с тензором абсолютной проницаемости, более того, положение главных осей тензоров коэффициентов фазовых проницаемостей может зависеть от насыщенности. Полученные соотношения позволяют сформулировать требования к постановке комплексных лабораторных исследований по определению относительных фазовых проницаемостей в анизотропных коллекторах углеводородного сырья. [c.145]

Современная механика основывается на ряде закономерностей, установленных в форме, независимой от выбора координатных систем, применяемых при получении п исследовании упомянутых закономерностей. Такая форма называется инвариантной. Математическим аппаратом, который п iзвoляeт находить основные соотношения механики в инвариантной форме, является тензорное, или абсолютное дифференциальное исчисление. Поэтому мы начнем изложение механики с рассмотрения основ векто]эной и тензорной алгебры. Кроме того, будут приведены также некоторые сведения из векторного анализа. Основы тензорного анализа излагаются нами ниже одновременно с соответствующими положениями теоретической механики и не включены в настоящий раздел. [c.24]

Неупругое поведение материалов, обусловленное диссипацией энергии, объясняется различными механизмами для металлов, полимеров, керамик и композитов на их основе. Это приводит к континуальным моделям, в которых состояние исследуемого материала, обусловленное внешним воздействием, отождествляется с некоторой величиной, называемой поврежденностью. Математические соотношения, которые содержат скалярные и (или) тензорные характеристики повре-жденности, часто оказываются очень близкими для разнообразных физических процессов. В данной работе используется один из подходов, когда функция поврежденности явным образом выделяется в определяющих соотношениях, а условиями разрушения (или появления критических напряженных состояний) являются условия достижения некоторыми инвариантными мерами функции поврежденности своих критических значений [104, 247, 258 и др.]. [c.101]

Напомним, что формально процедура термодинамики необратимых процессов заключается в следующем. На основе уравнений сохранения и принципа локального термодинамического равновесия (ЛТР) выписывается уравнение баланса энтропии системы. В этом уравнении выделяется главная часть, удовлетворяющая принципам инвариантности, которая в дальнейшем интерпретируется как выражение для источника энтропии системы (Тэнтр. Далее феноменологические законы формулируются как наиболее общие линейные соотношения между обобщенными термодинамическими величинами (термодинамическими потоками и термодинамическими силами) одной тензорной размерности, входящими в выражение для источника энтропии. Для системы без электромагнитного поля такая [процедура и вытекающие из ее применения феноменологические соотношения (законы) подробно описаны в первой части курса (ч. I, гл. I 1.3). В настоящей части мы произведем такую же процедуру для систем о электромагнитным полем. [c.13]

Основное место уделено действиям дифференцирования скаляра и тензора по тензорному аргументу. Инвариантные определения этих операций даются формулами (2.7), (4.6) формулами (3.1), (3.2), (3.3) определяются производные инвариантов тензора и скалярной функции их. Приведены правила дифференцирования произведения тензоров (4.10) и замены аргумента (4.12). Использование и. зотропных тензоров четвертого ранга обеспечило краткость выводов и записей полученных соотношений (4.10) — (4.16). [c.507]

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной систсхмы координат к другой, и такие соотношения, которые не зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задается одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде u= / Rг== /гR Найдем скалярное произведение (и-и) -и Эта величина (квад- [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...