Обыкновенные уравнения i-го порядка

Интегрирование обыкновенных уравнений (46.26), учитывая отмеченную общую погрешность решения, целесообразно тоже производить приближенно, проверяя только, чтобы порядок погрешности этого интегрирования не превосходил бы порядка основной погрешности (46.32) или (46.34). [c.330]

Самым простым является элемент с сосредоточенными параметрами, движение в котором описывается одним обыкновенным уравнением первого порядка. Более сложным является объект, состоящий из последовательно и параллельно соединенных элементов с сосредоточенными параметрами. Общий порядок уравнений характеризует сложность системы. [c.103]

В ТОМ случае, если голономная система ( 31) имеет s степенен свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат (126.3). [c.366]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

При неустановившемся движении жидкости в трубопроводе могут быть поставлены те же задачи на его расчет, что и при установившемся, однако чаще всего на практике приходится решать задачи первого или второго типа. Для простого трубопровода задача расчета сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, как правило, не сводящемуся к квадратурам или системе из двух уравнений. Для численного решения этой задачи можно воспользоваться известными из курса математики методами Эйлера или Рун-ге — Кутта. Последний метод обычно реализуется в математическом обеспечении машины в качестве стандартной программы. При проведении гидравлических расчетов трубопроводов на ЭВМ, особенно для неустановившихся течений жидкости, расчетное уравнение целесообразно привести к безразмерному виду, чтобы основные слагаемые имели порядок величины, равный единице. При таком подходе существенно уменьшается вероятность получения в процессе вычислений машинного нуля или переполнения. [c.138]

Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью свободы уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении ти повых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения движения механизма может быть выше второго ). Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени. [c.162]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Согласно этим определениям система дифференциальных уравнений (7.1) имеет второй порядок относительно yj t), j = 1, 2,. . ., ni, и порядок п = 2т, где т — число компонент вектор-функции у (t). Система уравнений (7.2) с конструктивной точки зрения значительно проще системы (7.1). В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что если исходная система дифференциальных уравнений порядка п разрешима относительно старших производных, то она может быть приведена к нормальной системе порядка п [72]. Следовательно, система дифференциальных уравнений (7.1) приводится к нормальному виду (7.2), причем компоненты вектор-функции у (t) вычисляются по правилам [c.192]

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общие (содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, см. стр. 213), частные, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных, и особые, которые вообще не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него при частных значениях произвольных постоянных (см. стр. 210). [c.206]

Система обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующая им система дробно-рациональных передаточных функций, описывающая динамические процессы в блоке, обычно имеет очень высокий суммарный порядок (150—200). Порядком уравнений определяется число необходимых для моделирования интегрирующих усилителей и, в конечном итоге, мощность АВМ. [c.345]

В уравнениях (9,21) исключим величины Qx n и Q m — моменты остаются в виде одной из основных искомых функций. Представляя далее деформации и изменения кривизны в этих уравнениях и в уравнении (9.24) через перемеш,ения по формулам (9.22), получаем систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с постоя-ными коэффициентами. Каждое уравнение имеет второй порядок [c.258]

Существует много методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на АВМ. Рассмотрим три наиболее часто используемых метода. Основным является общий метод, который был использован для решения уравнения динамики (2). По этому методу из дифференциального уравнения, описывающего динамику процесса, определяется старшая производная. Составление схемы моделирования основано на понижении порядка производной путем последовательного соединения интеграторов, понижающих порядок производных. Составим схему моделирования для дифференциального уравнения л го порядка [c.83]

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vV u, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости V относительно значения v = О есть сингулярное возмущение ). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как гу" -f i/ = О, с краевыми условиями у(0)—а,у( )=Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли e-i- + О или е-4— 0. [c.61]

Подстановка выражений (10-44) в уравнения пограничного слоя для осредненного движения приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению с решениями, удовлетворяющими условию постоянства потока количества движения только при / (х — x,) и ио-ч-(х—х ) (это строго выполняется при (Ы1 и)<М1]. В автомодельном потоке этой категории структура турбулентной вязкости и распределения осредненной скорости развивается естественным путем, самопроизвольно, из автомодельных форм на значительном расстоянии вверх по потоку члены в уравнениях движения и энергии, выражающие конвективный перенос осредненным движением соответствующих свойств, имеют тот же порядок величины, что и члены, выражающие локальные эффекты, такие как градиент касательного напряжения или величина порождения энергии турбулентных пульсаций. [c.343]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Эта двусторонняя оценка и определяет порядок приближения Wz к Wf Заметим, что нахождение wt — задача значительно более простая по сравнению с нахождением lug, так как в этой задаче сугцественной переменной является лишь т], а I можно рассматривать как параметр. Такой переход от функционала /g w) к функционалу J (w) фактически означает переход от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. [c.140]

Результатом синтеза ММ объекта проектирования является система обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемая без непосредственного участия пользователя и скрытая от него. Порядок системы уравнений определяется числом узлов топологии. Методы синтеза ММ и ее решения инвариантны по отношению к физической природе объекта. Поэтому в ММ объекта проектирования могут быть представлены входящие в состав объекта механические, электрические, гидравлические, пневматические, информационные подсистемы, а также их совокупность. [c.501]

В табл. 5.2 приведены значения / 1 для всех трех исследуемых методов при различных N (порядок системы дифференциальных уравнений 1=2Ы, 6 = 0.01). Исследование м.н.о. на примере этой задачи указывает на то, что, по-видимому, этот метод может быть использован для решения краевых задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка при любой длине интервала интегрирования. Практически решались системы до 56-го порядка N = 28) при длине неоднородности до 40Л, где А —длина нормальной волны Яю в воде (т. е. справа от пластинки), Л=2я/Ке(уП 0- [c.227]

Другая причина, объясняющая получение часто не оправдывающих ожидания характеристик схем высокого порядка для дифференциальных уравнений в частных производных, заключается в том, что порядок точности схем имеет смысл только при Ах—>-0, А/- 0. Таким образом, порядок точности схем имеет большее значение в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, когда требуется меньший объем оперативной памяти и допустимое время расчетов позволяет брать значительно меньшие шаги Ах. [c.170]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

Следовательно, дискретизация и алгебраизация уравнений в МКР сводит задачу анализа моделей на микроуровне к численному решению систем конечных (4.23) или обыкновенных дифференциальных (4.24) уравнений. Следует отметить, что точность аппроксимации растет с уменьшением величин шагов, однако при этом увеличивается порядок систем уравнений (4.23) или (4.24). Так, если окажется, что для достижения приемлемой точности рассматриваемую область R нужно делить вдоль каждой из координатных осей на 10 участков, то порядки систем уравнений (4.23) или (4.24) в одно-, дву- и трехмерных задачах составляют соответственно около 10 , 10 и 10 . Очевидно, что решение двумерных и особенно трехмерных задач требует значительных вычислительных ресурсов и тщательного отбора соответствующего математического обеспечения. Методы решения таких уравнений, применяемые в САПР, рассматриваются в следующей главе. [c.162]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Система дифференциальных уравнений (7.2) называетея нормальной канонической) системой обыкновенных дифференциальных уравнений [72]. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнений являются х , х , л , которые могут рассматриваться как компоненты вектор-функции л = (х , Х2,. . х ), а наивысший порядок производной функции Xj, входящей в систему, равен д., j = I, 2,. . ., то число q. называется порядком системы относительно х.. Число = называется порядком системы урав- [c.192]

Отсюда видно, что члены, содержащие Дф и 2 , имеют более низкий порядок и ими в nepiBOM приближении можно пренебречь. Если проинтегрировать теперь уравнения (3) и (4) вдоль линии тока ф = onst, то получим обыкновенные дифференциальные уравнения [c.370]

В рассмотренных случаях задача сведена к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-там . J o лeдниe вычисляются из зависимостей, которые содержат 1Ч>, р, р и X, определяемые из расчетов циркуляции. После подстановки численных значений-коэффициентов в систему уравнений мы имеем возможность осуществить расчет устойчивости, применив один из известных. методов. В частности, если порядок системы невелик, можно воспользоваться неравенствами Гурвица. [c.44]

Один из основных подходов к расчету оболочки состоит в разрезании ее на отдельные панели и ребра. При этом решается граничная задача для каждой панели, после чего производится склейка решений с учетом дифференциальных уравнений для ребер. Получаются связанные между собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Число систем равно числу ребер N, порядок каждой системы для классической теории оболочек восьмой. Так как связанность осуществляется через правые части уравнений равновесия ребра, являющиеся, вообще говоря, реакциями со стороны панелей, то уравнения всегда могут быть, проинтегрированы для каждого ребра самостоятельно. В этом случае задача сво=-дится к решению 8N функциональных уравнений или алгебраических уравнений если, например, решение удается разложить в направлении ребра по системе ортогональных функций. Для замкнутой оболочки с меридиональными ребраийг система распадается на независимые системы по 8 уравнений при наличии усло> ВИЙ периодичности по каждому ребру, а при наличии периодичности по отдель -ным группам из п ребер (Л /я — целое) на независимые группы по п связанных систем. Метод разрезания использован, например, Л. И. Балабухом и Л. А. Шаповаловым [3], а также Ф. Фишером [75]. [c.323]

В гл. 2 построена непротиворечивая с точки зрения смешанного вариащюнного принципа уточненная теория нелинейных многослойных анизотропных оболочек, характерной особенностью которой является то, что соотношения упругости для поперечных касательных напряжений выполняются интегрально как по толщине пакета, так и по толщине каждого слоя. Здесь, в отличие от теории оболочек типа Тимошенко, порядок нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений равен двенадцати, что значительно усложняет численную реализацию задачи на ЭВМ. [c.4]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

Вообш е говоря, разложение (3.11) должно быть справедливо в части плоскости t/, z, ограниченной отрезком оси z = О и двумя характеристиками, проведенными через кон-цы этого отрезка в полуплоскость z > 0. Так как характеристики касаются линии z = О, то область эта невелика. Поэтому ряд (3.11), вероятно, удобнее всего использовать для описания окрестности зоны вакуума в моменты, близкие к схлопыванию полости, ко-гда скорости [7] неограниченно растут. Неизвестную функцию 9о у) находим из уело-вия сшивания с представлением решения типа (1.1), например, на линии z = zq > О (zq достаточно мало). При этом получим обыкновенное нелинейное уравнение высокого порядка (порядок будет зависеть от числа удерживаемых в (3.11) членов). Краевые уело вия для этого уравнения получатся из соотношений (2.1), (3.6) (значения при z = zq должны совпадать). Однако реализация этого пути представляется весьма трудоемкой. В заключение выражаю признательность С.П. Баутину за проведение ряда расчетов. [c.353]

Здесь 0, ф — сферические координаты. Поля скорости и давления не зависят от азимутального угла ф и стационарны. Этот класс для случая Рф = О был указан Слезкиным [120], который обнаружил, что задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Позднее аналогичный вывод сделали независимо Яцеев [151] и Сквайр [240]. Для закрученных течений (г =0) порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнени также может быть понижен [212, 199, 32]. [c.84]

Описание вынужденного рассеяния Бриллюэна основано на дифференциальных уравнениях (2.51-16) и (2.52-1) для давления и электрического поля. Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных в общем случае очень затруднено. Поэтому мы рассмотрим решения при некоторых упрощающих предположениях. Прежде всего мы ограничимся стационарными решениями. Они позволяют получить приближенное описание реальных фактов, если длительность световых импульсов очень велика по сравнению с временем установления колебаний в среде. Это время задается обратны. значением константы затухания Г, которая равна удвоенному ароизведению скорости звука V и коэффициента поглощения звуковой мощности и для жидкостей п,ри комнатной температуре и%1еет порядок величины 10" с. При рассмотрении стационарных процессов можно исходить из обыкновенных дифференциальных уравнений (2.52-3), (2.52-5) и из соответствующего уравнению (2.52-5) уравнения для амплитуды лазерной волны. Будем снова а,реиебрегать вторыми производными от амплитуды, а в правой части уравнения (2.52-3) также и первой производной. Условия применимости такого приближения обсуждались в разд. 1.322. Тогда мы получим систему [c.217]

Так как знание каждого первого интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет принципиально понизить порядок системы на одну единицу, то прн помощи десяти классических интегралов уравнений (7.1) мы имеем возможность П01и1зить порядок этой системы на десять единиц. [c.341]

Типичной является ситуация, возникающая при решении задач математической физики, когда погрешность математической модели значительно превьппает погрешности метода, а погрешностью округления в случае устойчивых алгоритмов можно пренебречь по сравнению с погрешностью метода. С другой стороны, при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений возможно применение столь точных методов, что их погрешность будет сравнима с погрешностью округления. В общем случае нужно стремиться, чтобы все указанные погрешности имели один и тот же поряДок. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...