Системы обыкновенных уравнений первого порядка

Системы обыкновенных уравнений первого порядка [c.348]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Математическое описание деформирования тонких многослойных оболочек вращения может быть сведено к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких систем в настоящее время разработаны эффективные численные методы. Наиболее удобной формой для интегрирования на ЭВМ является представление разрешающих дифференциальных уравнений в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (или канонической системы). В 3.5 был представлен в общем виде вариационно-матричный способ получения канонических систем. Ниже рассмотрим конкретную реализацию этого способа для оболочек вращения. [c.149]

Самым простым является элемент с сосредоточенными параметрами, движение в котором описывается одним обыкновенным уравнением первого порядка. Более сложным является объект, состоящий из последовательно и параллельно соединенных элементов с сосредоточенными параметрами. Общий порядок уравнений характеризует сложность системы. [c.103]

В механике систем с конечным числом степеней свободы, равным N, метод Гамильтона состоит в замене уравнений Лагранжа второго рода, которые являются системой N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными обобщенными координатами, системой 2Л обыкновенных уравнений первого порядка с неизвестными обобщенными координатами и обобщенными импульсами [40]. Метод составления этих уравнений позволяет разрешить их относительно производных искомых функций, в связи с чем они получили название канонических уравнений динамики. [c.90]

В физических задачах, описываемых системой дифференциальных уравнений первого порядка но t (как обыкновенных, так и в частных производных) с начальными условиями при t = О, статистические свойства решения в момент времени t определяются статистическими характеристиками процесса 2 (т) при О т г, которые полностью описываются характеристическим функционалом [c.51]

Обоснованию различных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка посвящена обширная литература. Большое число источников, относящихся к этому вопросу, можно найти в библиографическом разделе монографии [71]. Если функции г (г), ц(г) являются сложными, то реализация точных решений одномерного волнового уравнения оказывается весьма трудоемким процессом. В этом случае численные методы с применением ЭВМ являются, по существу, единственным способом достижения цели. Среди численных методов в настоящее время наиболее полное развитие получили методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эффек тивные алгоритмы для этого класса дифференциальных уравнений имеются почти во всех современных ЭВМ — как малых, так и больших. Поэтому целесообразно преобразовать (2.11) и (2.12) к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка, используя подстановку [c.37]

Можно привести отдельные примеры, когда удается получить решение системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей исходную задачу, в виде конечной формулы, причем это решение при измельчении сетки стремится к точному решению исходной задачи. В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. [c.226]

Покажем, что функции U, Р, R удовлетворяют системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого, согласно (2.93), (2.94), положим [c.68]

Отметим, что классические уравнения движения (1.32) или (1.34) являются системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С их помощью по заданным значениям величин г (0), / (0) в нулевой момент времени можно определить эти же величины г (t), р (/) в момент времени t. [c.22]

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большинство рассмотренных выше схем решения одного дифференциального уравнения первого порядка может быть легко обобщено для решения системы N уравнений [c.38]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида [c.244]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга п, т. е. систему состоящую из п уравнений с п неизвестными функциями X от одного независимого переменного t, мы сразу же будем предполагать, что система приведена к нормальному виду т. е. разрешена относительно производных [c.270]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Уравнение (9-24) определяет систему i обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Следовательно, мы от уравнения (4-18) пришли к системе уравнений (9-24), которые следует решать на аналоговой вычислительной машине. Подставив в выражение (9-24) значения 4 = 1, 2, 3. .., получим систему уравнений [c.349]

Систему 18-ти алгебраических и дифференциальных уравнений (6.31) — (6.38), (6.13) — (6.18), (6.44) — (6.47) относительно амплитуд 1Л-НЫХ гармоник можно свести к системе 8-и обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно 8-и неизвестных. [c.261]

Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости. Состояние произвольной механической системы с п степенями свободы определяется s = 2п переменными i/i, г/з,. .., у (обобщенные координаты и скорости) и описывается системой обыкновенных дис еренциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производных [c.33]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Усилие N2 и момент определяются по формулам (11.15) при подстановке в них обозначений (11.18). Система (11.19) отличается от известной [134] подчеркнутым в (11.20) слагаемым. Система (11.19) шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка должна удовлетворять граничным условиям (11.12). Если осесимметрично нагруженная оболочка вращения — составная часть односвязной оболочечной конструкции, то вместо (11.12) уравнения (11.19) должны удовлетворять условиям сопряжения оболочек или условиям перехода через упругое кольцо. [c.36]

Дадим примеры особых точек в частном случае плоского движения. Система уравнений (4) сводится при этом к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка (используем обычное обозначение дифференциала) [c.34]

Как вскоре будет выяснено, эти условия должны быть заданы наперед для того, чтобы решения системы (180) двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными величинами Z и были определенными. [c.689]

Дифференциальные уравнения равновесия, описывающие поведение каждого оболочечного элемента, можно свести к системе шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.143]

Для определения матрицы жесткости [/< ] необходимо решить краевую задачу для системы линейных обыкновенных дис ерен-циальных уравнений первого порядка [c.144]

Применение этой схемы позволяет свести уравнения (9.21) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.148]

Неоднородная краевая задача. Предположим, что на интервале [xq, Xi ] необходимо получить решение краевой задачи для системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.148]

Вычисление матриц жесткости оболочечных элементов. Предположим, что поведение оболочечного элемента описывается системой п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.152]

Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки. Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка основан на последовательном решении задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.155]

Изложенный процесс вычисления матрицы жесткости [/С1 и вектора Q для оболочечного элемента, поведение которого описывается системой п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.156]

Исключив из системы С.(р), получим обыкновенное цифференци -альное уравнение первого порядка относительно С(р) [c.124]

Метод Лиувилля приведения произвольной системы диффер-н-циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида [c.429]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Система, которую предстоит решить, представляет собой три алгебраических условия сохранения (7-72) — (7-74) и три обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка (7-81) — (7-83). Кроме того, предполагается наличие нелинейных условий равновесия, связывающих hs и hp с h . Отношение Ufg p t , позволяющее определить связь Nq и Nf, также считается известным. Наконец, заданы граничные условия в виде конкретных величин, скажем ha,i, fo,, и [c.319]

Погрешность системы обыкновенных уравнений (46.26), заменяющих уравнение (46.13) в частных производных, определяется погрешностью от замены производных разностными отношениями. Обычно разности берут первые центральные, т. е. используют для аппрокси--чации в сечении д = г,- формулу Стирлинга первого порядка [c.327]

Для воспроизведения реализаций вектора состояний системы и (t) путем интегрирования уравнения (3) может быть применена подпрограмма RKGS [61]. При этом уравнение (3) предварительно должно быть преобразовано к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...