Дифференциальное уравнение обыкновенное первого порядка

По своей сути обсуждаемая проблема является задачей интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка, описанной ранее (п. 4.1). Таким образом, с точки зрения программной реализации данный блок состоит из двух классов — класса, реализующего численный метод интегрирования систем ОДУ, и класса, описывающего модель неуправляемого движения центра масс и углового движения ЛА. [c.206]

Таким образом, сформировав модель внешней среды и модель неуправляемого ЛА (т. е. методику расчета ускорений и моментов), перейдем к классу, реализующему динамику ЛА. Как уже отмечалось выше, динамика ЛА определяется в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка, которую условно принято разделять на две части уравнения динамики центра масс ЛА (в традиционной терминологии — медленное движение), представляющие собой векторную запись второго закона Ньютона, и уравнения углового движения ЛА ( быстрое движение), представляющие собой векторную запись уравнений Эйлера для жесткого тела. [c.225]

Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений более высоких порядков, а также дифференциальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к уравнениям в частных производных возникают и некоторые специфические трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. [c.60]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Первое уравнение является уравнением Бернулли, а два вторых — обыкновенным линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. [c.32]

Материал данного параграфа основывается на результатах работы [120]. Однако в ней изучается главным образом вопрос о том, как можно найти интегралы полной системы уравнений в частных производных первого порядка, если известна некоторая группа преобразований, допустимая этой системой. Задач считается положительно решенной, если в процессе нахождения интегралов используются либо алгебраические операции, либо операции по интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений более низкого порядка по сравнению с теми, которые получаются из исходной системы. [c.265]

Пусть управляемый процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференцируемые переменные называются переменными состояния, а остальные переменные — переменными управления. Такая система уравнений первого порядка может быть получена превращением каждой производной дифференциального уравнения п-то порядка в переменную состояния. Если имеется п переменных состояния для п независимых линейных дифференциальных уравнений такого типа, то управляемый процесс может быть выражен в общей канонической форме [c.224]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном , позволяющий S уравнений Лагранжа вида (126.3) преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. [c.366]

Уравнения (132.5) называются каноническими уравнениями механики, или уравнениями Гамильтона. Уравнения Гамильтона представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрирование этих уравнений дает 25 величии с/,, (/2..... qs, Ри Рг,. ..у Ps в функции времени t и 2s [c.369]

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Приняв h - сх.2, на основании выражений (6.41) имеем [c.165]

Уравнения (1.27) и (1.29) образуют систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые называются уравнениями Гамильтона [3, 5, 10]. [c.14]

Пусть дана динамическая модель объекта, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.78]

В раскрытом виде (5.24) представляет. собой известную систему из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.126]

Если теперь подставить полученные выражения в интегральное соотношение количества движения (59), то получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения толщины пограничного слоя Ь х) или параметра Л(а ), однозначно связанного с б. После того как распределение толщины пограничного слоя и параметра Л вдоль обтекаемого контура найдено, можно вычислить напряжение трения по формуле (61) и профиль скорости по формуле (60) в произвольном сечении пограничного слоя. [c.303]

Рассмотрим наиболее простой пример построения разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. [c.59]

Можно привести отдельные примеры, когда удается получить решение системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей исходную задачу, в виде конечной формулы, причем это решение при измельчении сетки стремится к точному решению исходной задачи. В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. [c.226]

Покажем, что функции U, Р, R удовлетворяют системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого, согласно (2.93), (2.94), положим [c.68]

В общем случае кинетическая энергия системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и поэтому ее частные производные по qi и qi будут функциями тех же переменных. Так как частные производные кинетической энергии но обобщенным скоростям дифференцируются еще раз по времени, то левые части уравнений Лагранжа будут содержать обобщенные координаты, их первые и вторые производные по времени д , qi, ij,. Следовательно, эти уравнения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат. [c.303]

Наиболее простым оператором рассматриваемого типа является оператор, задаваемый с помощью одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами [c.43]

В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82]

Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка получается стандартным способом. Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений [c.493]

Отметим, что классические уравнения движения (1.32) или (1.34) являются системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С их помощью по заданным значениям величин г (0), / (0) в нулевой момент времени можно определить эти же величины г (t), р (/) в момент времени t. [c.22]

Подставляя полученные выражения для м и w в первое из уравнений (3.1), для функции <р(Х) получим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка [c.125]

Используя этот оператор, получаем из (4.6) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р=р(.1) при граничном условии l = k при р = 0. В более общем случае краевые условия можно записать в виде Z = Z, при р = ро, где нагрузка ро, соответствующая началу движения конца трещины, должна задаваться на основании экспериментальных данных. Например, уравнение (28.8) в этом случае примет вид [c.247]

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большинство рассмотренных выше схем решения одного дифференциального уравнения первого порядка может быть легко обобщено для решения системы N уравнений [c.38]

Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью свободы уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении ти повых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения движения механизма может быть выше второго ). Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени. [c.162]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Каждое из полученных таким путем уравнений (9.23) содержит лишь одну координату и лишь одну частную производную — как раз по этой координате. Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые можно свести к квадратурам, разрешая их относи-dWi [c.313]

Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида [c.244]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ранга п, т. е. систему состоящую из п уравнений с п неизвестными функциями X от одного независимого переменного t, мы сразу же будем предполагать, что система приведена к нормальному виду т. е. разрешена относительно производных [c.270]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Проекции Fix, Fiy, Fiz равнодействующей внешних сил, приложенных к г-й точке, так же как и проекции Fu, F ty, F u равнодействующей внутреннпх сил, представляют собой заданные функции времени, координат н проекций скоростей не только 1-й, МО и в общем случае всех точек системы. Таким образом, уравнения (2) образуют систему Зп обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с Зп неизвестными величинами Xi, tji, Zi, которые должны быть определены как функции времени. Начальные условт1я, необходимые для определения произвольных постоянных интегрирования, представляют совокупность начальных условий для каждой точки системы в отдельности. Оставляя пока г, сторснс вопрос об интегрировании уравнений (2), займемся применением этих уравнений к выводу первой основной теоремы динамики — теоремы об изменении количества двилсения системы. [c.107]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Метод Лиувилля приведения произвольной системы диффер-н-циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида [c.429]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...