Интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.268]

Обращаясь теперь к уравнению (2.24), заметим, что на основании общей теории линейных уравнений с частными производными первого порядка всякая функция от п независимых между собою интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.92]

В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Эта идея Гамильтона была развита Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал, что если известно решение (полный интеграл) одного уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических уравнений можно получить дифференцированием известного полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в 10 настоящей главы. [c.278]

Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида [c.244]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Мы говорили выше о замене упругого континуума при анализе его колебаний дискретной системой материальных точек. Но это дополнялось последующим переходом от дискретной системы материальных точек к континууму. Такой переход систематически применялся Д. Бернулли и, вслед за ним, другими исследователями этой эпохи (Эйлер, Лагранж). Но это не был переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных — предельный переход осуществлялся, так сказать, не в уравнениях движения, а в их интегралах. Например, в решении для дискретной системы, заменявшей струну, от случая п точек, когда [c.266]

Теорема А. М. Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида [c.147]

Рассмотрим полную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка 11/ = О, Ъji = 0, / = 1, т. Эта система содержит т 1 уравнений от п — д переменных. Если т -Ь 1 <Г и — д, то можно найти п — д) — т - - ) — п — (иг -f + д - - 1) ее интегралов. Причем придется интегрировать системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка не выше п — [c.40]

Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2л в случае общего положения эквивалентна задаче об отыскании 2л независимых первых интегралов. Если уравнения являются системой канонических уравнений Гамильтона, то достаточно знать л первых независимых интегралов в инволюции, чтобы. найти ее общее решение. [c.181]

Отыскание конечных интегралов системы уравнений (6.11). Исследование одномерных неустановившихся автомодельных движений газа с помощью соображений теории размерности было дано в нашей работе ), опубликованной в 1945 г. В этой же работе были введены безразмерные искомые функции V, R, Р, Z, удовлетворяющие обыкновенным дифференциальным уравнениям. В дальнейшем с помощью развитых методов и введённых нами переменных были поставлены и решены задачи о сильном взрыве, о движении поршня и некоторые другие ). [c.309]

Авторы этой работы не заметили существования двух простых конечных алгебраических интегралов для рассмотренной ими системы четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти интегралы легко могут быть установлены 1) с помощью косвенных соображений теории размерности аналогично тому, как это было сделано в 7 главы IV, в теории сильного взрыва. [c.310]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Мы введем для определенности следующие термины интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или интегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных— решениями. Далее, для системы дифференциальных уравнений мы будем различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралами пусть будут те первые интегралы, которые имеют форму функция от координат и их производных равна постоянной, и ее производная при использовании данной системы дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов интегральными уравнениями называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы н площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегральные уравнения. [c.6]

Функции Я, (д) (г = 2,. .., п) представляют собой п — 1 функционально независимых инвариантов рассматриваемой группы, которые всегда существуют. Это следует из известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений о том, что система уравнений п-го порядка в окрестности любой неособой точки имеет ровно п — 1 локальных первых интегралов. Функция Н д) определяет инвариантное семейство гиперповерхностей. [c.226]

Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301]

Чтобы проинтегрировать систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений, нужно знать 2п первых интегралов. Оказывается, если дана каноническая система дифференциальных уравнений, то во многих случаях достаточно знать лишь п первых интегралов — каждый из них позволяет понизить системы не на одну, а на две единицы. [c.238]

Материал данного параграфа основывается на результатах работы [120]. Однако в ней изучается главным образом вопрос о том, как можно найти интегралы полной системы уравнений в частных производных первого порядка, если известна некоторая группа преобразований, допустимая этой системой. Задач считается положительно решенной, если в процессе нахождения интегралов используются либо алгебраические операции, либо операции по интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений более низкого порядка по сравнению с теми, которые получаются из исходной системы. [c.265]

Система (13.7) (и (13.6)) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка. В общем случае ее общее и частные решения не могут быть выражены через элементарные функции, т. е. в виде конечных формул от степенных, логарифмических, тригонометрических и т. п. функций незаЗи-СИ1ЮЙ переменной t и интегралов от этих функций. Это обусловливает необходимость изучения отдельных классов типичных простейших задач, что и составит содержание 3 этой главы w гл. XIV-XVI. [c.243]

При решении уравнений теплопроводности и диффузии, т.. е. дифференциальных уравнений несвязанного переноса, часто используется метод Даламбера. Для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами метод Даламбера является весьма эффективным средством нахождения первых интегралов П. С. Генри, а позднее Дж. Кранк и М. Смирнов показали, что аналогичную подстановку можно использовать для существенного упрощения-системы уравнений тепло- и массопереноса. Систему уравнений (4-1-2)— (4-1-3), например, можно привести к системе двух несвязанных уравне-- [c.179]

Метод интегральных соотношений, предложенный академиком А. А. Дородницыным [Л. 28], является обобщением метода прямых. Основная идея метода состоит в разбиении области решения кривыми линиями, форма которых определяется границами области. Точное решение обычно достигается при небольшом числе полос. При этом исходные уравнения предварительно интегрируются по одному из направлений и сводятся тем самым к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно интегралов от неизвестных функций. Подынтегральные функции аппроксимируются с помощью различных интерполяционных формул по значениям функций в узлах интерполяции. Это ойеспечивает также явное представление краевых условий в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.351]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

В статье А. Г. Аленицына [3] рассмотрена задача Лэмба при условии, что законы изменения скоростей распространения волн в среде таковы, что z) < о (г = 1,2). Для решения использованы специальные интегральные преобразования. Подынтегральная функция в интегралах обращения задается как решение некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На основании ее асимптотического анализа получено приближенное решение в окрестности волнового фронта. [c.359]

Так как знание каждого первого интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет принципиально понизить порядок системы на одну единицу, то прн помощи десяти классических интегралов уравнений (7.1) мы имеем возможность П01и1зить порядок этой системы на десять единиц. [c.341]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Лав и Грош [10] свели эти уравнения к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка путем приближенного представления интегралов гауссовыми квадратурами и решили эту систему при постоянном свободном члене (т. е. при постоянной температуре среды). В работе [II] использован аналогичный- подход для решения задачи при линейном профиле температуры в среде. Чтобы продемонстрировать этот подход, рассмотрим преобразование приведенного выше интегродиффе-ренциального уравнения в систему обыкновенных дифференци- [c.450]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...