Масса и центр масс системы материальных точек

Теорема о движении центра инерции системы материальных точек. Центр инерции системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна массе материальной системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему [c.146]

Поступательное движение твердого тела. Наиболее общим приемом составления уравнений динамики поступательного движения твердого тела является применение теоремы о движении центра инерции системы материальных точек. Теорема преимущественно используется в проекциях на оси декартовых координат. В число данных и искомых величин должны входить массы материальных точек, их уравнения движения, внешние силы системы. Решение обратных задач упрощается в случаях, когда главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу, постоянен либо зависит только от 1) времени, 2) положений точек системы, 3) скоростей точек системы. Труднее решать обратные задачи, в которых главный вектор внешних сил одновременно зависит от времени, положения и скоростей точек системы. [c.540]

Масса и центр масс системы материальных точек [c.165]

Определение центра тяжести системы материальных точек. — Рассмотрим систему материальных точек Обозначим через т,. массу и через [c.266]

Показать, что нри определении положения центра инерции системы материальных точек любую подсистему можно заменить одной точкой, масса которой равна массе подсистемы и которая расположена в центре инерции этой подсистемы. [c.50]

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ системы материальных точек, точка приложения равнодействующей сил тяжести, приложенных ко всем точкам системы. Ц. т. системы точек является центром параллельных сил, пропорциональных массам материальных точек, поэтому помиМО основного термина употребителен и другой— центр масс. В Ц. т. системы считается сосредоточенной вся ее масса без изменения момента системы относительно любой оси (для плоской линии и фигуры) или любой плоскости. [c.359]

Прямая задача динамики для системы материальных точек сводится к решению системы ЗN дифференциальных уравнений, так как уравнение движения вида (11.1) для каждой из N точек системы дает в проекции на координатные оси три дифференциальных уравнения для координат точки хД/),>>Д ), ,(/). Строгое аналитическое решение удается найти лишь в исключительных случаях, поэтому обычно используют приближенные методы. Однако существует несколько строгих общих законов, которые хотя сами по себе и не позволяют в общем случае найти траектории отдельных точек системы, вместе с тем дают важную информацию о движении системы в целом. Это закон (или теорема) о движении центра масс и три закона изменения и сохранения импульса, момента импульса и механической энергии системы материальных точек. Их выводу и обсуждению посвящена настоящая глава. [c.38]

ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК И ЕГО КООРДИНАТЫ [c.90]

В изменяемой системе материальных точек внутренние силы, вызывая их движение, изменяют их взаимное расположение, не изменяя положения центра масс всей системы. Отсутствие внутренних сил в уравнениях (43.1) и (43.2), выражающих теорему о движении центра масс, придает им большое практическое значение. [c.119]

По теореме Кенига кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей ее массы, движущейся со скоростью центра инерции, и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущимся осям координат с началом б центре инерции [c.284]

Можно упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в задачах, где главный вектор и главный момент сил, приложенных к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек (угла поворота) твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек твердого тела (угловые перемещения), скорости точек твердого тела (угловые скорости) в начале и в конце этих перемещений. [c.542]

И назовем эту точку центром масс системы материальных точек. [c.115]

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс, и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе отсчета с началом в центре масс [c.207]

Теорема о движении центра масс системы. Центр масс-системы материальных точек движется так, как двигалась m материальная точка, в которой была бы сосредоточена вся масса системы и к которой была бы приложена сила, равная главному вектору всех внешних сил (включая и реакции связей), действующих на систему. [c.448]

Для твердого тела, движущегося поступательно, Vk = v , и из (II.5) получаем К = Mv , где V — скорость центра масс, а М - масса тела. Выражение К = Mv , как можно было бы доказать, справедливо в самом общем случае, т. е. для произвольной системы материальных точек. [c.108]

Этими формулами определяется центр тяжести какого угодно тела. Очевидно, что предыдущие рассуждения и окончательные формулы (11), (11 ) сохраняют свое значение также и для какой угодно материальной поверхности или материальной линии при этом вместо объемной плотности подставляется поверхностная или линейная плотность, а в качестве области интегрирования берется вместо объема поверхность иди линия. Полученный результат можно выразить так в случае непрерывной системы материальных точек центр тяжести всегда можно определить векторным равенством (8) п. 8, для этого достаточно вместо массы частицы подставить элементарную массу (т. е. произведение локальной плотности на соответствующий элемент объема), а вместо суммы — интеграл. [c.34]

В случае системы материальных точек работа сил тяжести равна произведению силы тяжести всей системы на разность высот конечного и начального положений центра масс системы [c.322]

Теорема 2. Изменение главного вектора количества движения центра масс системы материальных точек будет таким же, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и к нему были бы непосредственно приложены все ударные импульсы внешних сил. [c.588]

Формулы (157) аналогичны формулам (44), определяющим положение центра тяжести материальной системы. Сила тяжести любой точки системы пропорциональна ее массе, и если в формулы (44) подставить 0 —0 = т , а затем вынести постоянный множитель g за знак суммы и сократить, то получим формулу (157). Следовательно, координаты центра тяжести системы и центра масс совпадают. [c.312]

Эти же формулы могут служить для определения координат центра тяжести системы материальных точек с указанными координатами и с массами, пропорциональными величинам ШхУх, т у ,. .. Отсюда следует правило. [c.46]

Уравнения (172) говорят о том, что центр масс (инерции, тяжести) движется как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы и к которой приложены силы, равтые в ем внешним силам, действующим на материальные точки данной системы внутренние силы не изменяюг движения центра масс н не могут нарушить его покоя. [c.300]

Как уже было сказано (см. 20), вес G = mg всякого материального тела зависит от местонахождения этого тела на земном шаре, и ускорение g падающих тел не вполне одинаково в различных местах. Это обстоятельство вследствие небольших (сравнительно с Землей) размеров взвешиваемого тела тоже никак не может повлиять на положение его центра тяжести. Но бывает такое состояние материальных тел и механических систем, при котором понятие вес вообш,е теряет смысл. Вспомним, например, состояние невесомости, о котором рассказывают наши космонавты. Кроме того, в мировом пространстве существуют области, где в состоянии невесомости пребывает всякое тело независимо от его движения например, точка пространства, в которой материальное тело притягивается к Земле и к Луне с равными и противоположно направленными силами. В таких случаях теряет всякий смысл и наше определение центра тяжести как центра параллельных сил, но сама точка продолжает существовать и не теряет своего значения. Поэтому целесообразно определять эту точку в зависимости не от веса, а от массы частиц. Понятие центр масс шире понятия центр тяжести, так как масса не исчезает даже при таких обстоятельствах, при которых вес неощутим. Понятие центр масс имеет применение во всякой системе материальных точек, тогда как понятие центр тяжести выведено для системы сил, приложенных к одному неизменяемому твердому телу [c.135]

I.1. Количество движения системы и его выражение через массу системы и скорость центра масс. Массой системы материальных точек, состоящей из п точек с массами тпх, называется величина М, равпая сумме масс отдельных точек [c.338]

С другой стороны, если для свободной системы материальных точек главный вектор внешних сил равен нулю, то скорость центра масс постоянна по величине и направлеиню, т. е, [c.343]

Кинетический момент системы материальных точек относительно неподвижной оси раней сумме кинетического момента системы K-j относительно параллельной ей подвижной осп, проходящей через центр масс С, и момента количества движения системы, приложенного в центре масс, относительно неподвижной оси. Иными словами, кинетический момент системы материальных точек в ее абсолютном движении равен кинетическому моменту в движении относительно осей Кёнига, сложенном с, моментом количества движения центра масс системы в абсолютном движении (если его массу принять равной массе системы). [c.356]

Кинетическая энергия Т системы материальных точек в ее абсолютном движении равна сумме кинетической энергии 7 с в движении относительно осей Кёнига и кинетической энергии центра масс системы в абсолютном движении (если его массу принять равной массе системы материальных точек). [c.357]

Если выйти за рамки модели одноатомного идеального газа и рассматривать многоатомные молекулы, то следует принять, что каждый атом обладает тремя степенями свободы (как материальная точка) следовательно, в общем случае число степеней свободы для молекулы, составленной из п атомов, равно 3 . Молекулу теперь следует считать системой материальных точек с центром масс, обладающим тремя степенями свободы поступательного движения. Кроме того, система может вращаться вокруг центра масс, а вектор угловой скорости, произвольно расположенный в пространстве, будет иметь три проекции на оси координат — три вращательных степени свободы. Атомы в молекуле подвижны по отнощению одни к другим и испытывают колебания относительно положения равновесия. На колебательные степени свободы приходится, таким образом, число, равное в общем случае для многоатомной молекулы 3 —6 для линейных молекул (атомы расположены вдоль прямой) это число равно Зп—5, поскольку вращательная степень свободы для линии, соединяющей атомы, отсутствует. Каждая колебательная степень свободы требует в среднем вдвое больше энергии, чем степень свободы поступательного или вращательного движения. Так происходит потому, что система из двух колеблющихся атомов обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией колебания расчеты покаэывают, что на долю каждой приходится Т, следовательно, на [c.35]

Если система материальных точек находится под BoaMjr-щающим действием сил притяжения или отталкивания, которые зависят только от расстояния и которые направлены к неподвижным центрам или которые происходят в результате взаимодействий между двумя массами, то действие и противодействие между собою равны с другой стороны, если условные уравнения, связывающие координаты различных тел, не содержат в себе времени, то имеет место уравнение живых сил, а именно [c.537]

Уравнение анергии. В 46 было показано, что кинетическая энергия любой материальной системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, предполагая, что вся масса сосредоточена в центре масс и движется вместе с этою точкою, и кинетической энергии относительного движения по отношению к центру масс. Следовательно, если обозначить через а, v) скорость центра масс, а через <о — угловую скорость вращения, то кинетическая энергия твердого тела, движущегося в двух измерениях, будет [c.162]

Если материальные частицы неизменно связаны друг с другом, то и центр масс этих частиц находится от них на неизменных расстояниях. Действительно, любому движению неизменяемой системы относительно каких-либо осей соответствует некоторое определённое обращённое движение этих осей относительно яеизменямой системы, а в этом обращённом движении, как мы сейчас видели, центр масс остаётся вместе с системой частиц неподвижным. [c.245]

Движение любой материальной системы зависит от её инертности и от действующих на систел1у сил. Инертность материальной точки характеризуется массой т этой точки. Инертность материаль>гого тела нри посту-пат. движении определяется величиной Л/ его суммарной массы, равной сумме масс частиц, обра.зующих тело. При вращат. движении инертность зависит от распределения масс в занимаемом телом объёме и характеризуется величиной, наз. моментом инерции тела относительно оси вращения. При сложном движении инертность тела характеризуется его суммарной массой, положением центра масс пли центра инерции тела и моментами инерции относительно гл. осей инерции, проходящих через центр масс, или тенаором инерции. [c.616]

Сформулируйте второй закон Ньютона для системы материальных точек напишите его в виде формулы. Поясните, почему в изменении импульса системы играют роль только внешние силы. Скажется ли на движении центра масс отсутствие в системе внутренних сил Запишите закои сохранения импульса в виде трех скалярных уравнений и сформулируйте следствия из них. Сформулируйте этот закон через ускорение центра масс. Может ли центр масс системы находиться в таком месте, где нет никакой материальной точки Можно ли сумму внешних сил, действующих на систему, называть равнодействующей [c.121]

Патрик Дарси, ирландец, достигший во французской армии чина фельдмаршала, а во французской науке — членства Парижской академии наук, был теоретиком и нрактиком-артиллеристом, изучал и небесную механику— теорию Луны. Существенное место в истории механики занимает его работа Динамическая задача , к рассмотрению которой мы переходим В ней доказывается теорема, дающая обобщение соответствующей теоремы Ньютона при движении системы материальных точек вокруг неподвижного центра сумма произведений вида тгОг, где Oi — площадь, описываемая радиусом-вектором точки с массой rrii, и все О берутся в одной и той же плоскости проекций, пропорциональна времени. Это и есть, собственно, обобщенный закон площадей в интегральной форме, а теорема Д. Бернулли и Эйлера дает тот же закон в дифференциальной форме. В отличие от Эйлера и Бернулли, [c.126]

Центр тяжести системы есть точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести всех материальных точек данной системы. Понятие центра тяжести применимо, следовательно, только к таким системам, которые находятся в поле земного тяготения, и лишено всякого смысла, например, для такой системы тел, как солнечная. Положение же центра масс, определяемое в каждый данный момент времени формулами (157), зависит только от масс Т0Ч5К системы и положения этих точек в данный момент времени. Понятие центра масс сохраняет свой смысл для любой механической системы, независимо от того, какие силы на нее действуют, и, следовательно, является более широким понятием, чем понятие о центре тяжести. [c.312]