Тензор деформаций в декартовой системе координат

Тензор деформаций в декартовой системе координат [c.51]

Таким образом, хотя и введенная в 6 гл. I матрица Г и введенная выше матрица S определяют симметричные тензоры второго ранга, однако эти два тензора заданы нами в двух по существу различных системах координат. Несколько ниже тензор напряжения будет преобразован к декартовой системе координат точек тела до деформации. Тогда его компоненты при повороте координат осей будут преобразовываться по закону, идентичному формулам I (6.4). Можно было бы поступить и наоборот—-определить тензор деформации в декартовой системе координат точек тела после деформации. Однако последнее было бы равносильно отказу от материальных координат и переходу к пространственным координатам, что было признано в начале первой главы нерациональным. [c.64]

Таким образом, тензоры деформаций Д или Тв. имеющие одинаковые ковариантные компоненты ij, однозначно характеризуют деформацию в точке. Зная шесть величин etj = eji, по формуле (II.9) можно найти относительное удлинение в рассматриваемой точке в любом направлении. В случае однородной дес )ормации тензоры деформаций одинаковы во всех точках тела, т. е. тензорные поля Те - Ге I , I ) И ( S 1 , I ) ОДНОрОДНЫ. Матрица компонент тензоров деформаций в любой системе координат и в прямоугольной декартовой системе координат начального состояния в соответствии с (1.64) имеет вид [c.69]

Тензор скоростей деформаций. В декартовой системе координат имеем [c.87]

Связь между тензорами напряжений и деформаций. В декартовой системе координат обобщённый закон Гука имеет вид [c.88]

В п. 1 приведены соотношения связи между комнонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций в декартовой системе координат при произвольной ориентации их главных направлений. [c.38]

Мы уже рассматривали такое течение в предыдущей главе, где были получены кинематические тензоры Vy и D. Теперь мы хотим получить выражения для компонент тензоров деформации, таких, как С, и т. д. В декартовой системе координат течение описывается уравнениями (2-1.2) и (2-1.3) [c.122]

Таким образом, согласно (3.17) в декартовой системе координат Xh компоненты тензора конечной деформации определяются по формулам [c.51]

Из вариационного уравнения равновесия выведем уравнения равновесия и граничные условия для случая, когда компоненты тензора деформаций заданы в декартовой системе координат (3.24) [c.221]

Рассмотрим деформируемое тело в декартовой системе координат Хи Х2, Xs (рис. 1.1). Компоненты тензора деформаций определим линейными соотношениями [c.6]

Компоненты тензора скоростей деформации (е у) в декартовой системе координат будут ey=0,5(i ,j+Vj ) запятая обозначает производную по той координате, индекс которой следует за запятой. Например, предыдущую формулу можно записать так eij=0,5(6vi/dxj+dvj/dxj). [c.8]

Из представлений (1.2.8) и (1.2.10) видно, что главные значения тензоров меры деформации Коши и меры деформации Фингера равны, главные направления тензоров мер деформации Альманзи и Фингера в декартовой системе координат совпадают. [c.16]

В п. 2 соотношения ассоциированного закона пластического течения приведены для случая, когда в качестве обобщенных переменных приняты величины главных значений тензоров напряжений и скоростей деформаций, а также направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных направлений в декартовой системе координат. [c.38]

Для изотропного материала имеет место совпадение главных направлений тензоров напряжений и скорости деформации. Для компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент напряжений для изотропного материала имеют место соотношения, вполне аналогичные (1.9.3) [c.92]

После круговой подстановки получаем дифференциальные зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений в декартовой системе координат [c.66]

Дается описание поведения упругой сплощной среды, когда искомыми функциями являются скорости и перемещения частиц среды относительно неподвижной системы координат или градиенты перемещений ( 2.1). Свойства упругой среды могут быть полностью заданы упругим потенциалом Ф, представляющим внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема среды до деформации, причем Ф считается функцией градиентов перемещений Uij = dwi/dxj и энтропии 5. Поведение среды при отсутствии притоков тепла в декартовой системе координат описывается системой (2.15) (см. также равенства равенства (2.13), выражающие тензор напряжений Пиолы-Кирхгоффа и температуру). В случае движений в виде плоских волн ( 2.2), когда искомые величины зависят от одной из декартовых координат х = хз и времени t, система уравнений записывается в виде (2.18), а [c.151]

В основу вывода соотношений связи de j — (Т у положим условие совпадения главных направлений тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций. В этом случае одна и та же таблица направляющих косинусов определяет ориентацию главных осей 1, 2, 3 в декартовой системе координат х, у, 2 ш аналогично (1.4) будем иметь [c.36]

Например, в упругих телах (деталях различных машин и сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформации, являющиеся в декартовой системе координат отвлеченными числами, имеют порядок долей процента поэтому большое распространение получила линейная теория бесконечно малых деформаций, в которой произведениями малых величин пренебрегают. [c.347]

В декартовой системе координат величина —тензора скоростей деформации Е — имеет такой вид [c.71]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Каждая точка упругого тела, отнесенного к прямоугольной декартовой системе координат, характеризуется вектором перемещения и с компонентами Ui, и , и, в направлении осей координат В каждой точке определены компоненты тензоров напряжений и деформаций [c.137]

Интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига. Как и любой симметричный тензор второго ранга, тензор бесконечно малых деформаций Tt. можно разложить на шаровой тензор Ре и девиатор D = Ре. Л- De, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.91]

Шаровой тензор и девиатор скоростей деформаций. Как н любой симметричный тензор второго ранга, тензор скоростей деформации можно представить в виде суммы шарового тензора U девиатора скоростей деформаций Dj, т. е. = Pi -f-jDg, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.104]

Таким образом, компоненты Tg при одноосном растяжении, найденные в задаче I1I.2, относятся к прямоугольной декартовой системе координат, которая вводится в качестве сопутствующей в каждый рассматриваемый момент времени tQ. Их интегрирование по времени в соответствии с (II].42) дает Логарифмические деформации. Если же сопутствующая система координат является прямоугольной декартовой лишь в начальный момент времени то интегрирование по времени в соответствии с (III.3) дает компоненты тензоров [c.109]

Найдите при простом сдвиге матрицу ( jy) в сопутствующей системе координат, которая совпадает с прямоугольной декартовой лишь в начальный момент времени. Интегрируя по времени в соответствии с (1П.З), получите матрицу тензоров деформаций [формула (11.27)]. [c.112]

Подобно тензору деформации в каждой точке тела поворотом системы декартовых координат тензор напряжений также можно привести к главным осям. На гранях элементарного прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны этим осям, действуют только нормальные напряжения. В общем случае неоднородного напряженного состояния направление главных осей тензора напряжений в различных точках тела различно. [c.12]

Деформация элементарного параллелепипеда в окрестности некоторой точки деформируемой среды в принятой произвольно декартовой системе координат х, у, z состоит в изменении первоначальных длин ребер и скашивании углов между ними. Существуют такие три взаимно перпендикулярных оси в каждой точке среды, что в направлениях этих осей деформация сдвига элементарного параллелепипеда отсутствует и имеется только деформация удлинения вдоль соответствующих осей. Эти направления (оси) обычно называют главными направлениями или главными осями тензора деформаций. [c.7]

Теперь сформулируем закон преобразования компонент деформаций. Пусть компоненты тензора деформаций, определенные в локальной прямоугольной декартовой системе координат, обозначены через а именно [c.111]

Пусть в произвольной декартовой системе координат определяющие соотношения, связывающие приращения тензора напряжений dтензора деформаций d во время непрерывного нагружения элемента материала, задаются в тензорно линейном виде (9.19). [c.210]

Пусть в некоторой декартовой системе координат определяющие соотношения, связывающие тензор напряжений о и тензор деформаций е, задаются в операторном виде (4.1) гл. 1 [c.229]

Примем, что в процессе деформирования удлинения сдвиги и углы поворота остаются малыми по сравнению с единицей. Порядки малости этих величин, вообще говоря, различны и будут уточнены ниже. При этих условиях малыми будут и компоненты тензора деформаций. В частности, если в недеформирован-ном состоянии система координат декартова, то относительные удлинения волокон материала, направленных до деформации вдоль координатных осей отождествляются с одноименными компонентами тензора деформаций, а изменение углов между двумя координатными осями — с соответствующими разноименными компонентами. Кроме того, условие малости удлинений и сдвигов позволяет пренебречь изменением объемов, площадей и линейных размеров тел в процессе их деформирования и отождествить компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений [206 ] с истинными напряжениями в лагранжевых переменных. [c.41]

Тензор скоростей деформаций. В дальнейшем используется в основном эйлеров способ описания движения, т. е. принимается, что характеристики частицы материала определяются ее положением в пространстве и моментом времени. Обозначим проекции скорости частицы на оси декартовой системы координат через и,-. Эти величины (в дальнейшем они иногда называются просто скорости) являются функциями координат той точки пространства, где находится рассматриваемая частица, и времени Xj, Xj, t). [c.8]

В (5.2) W — плотность энергии деформации, К — плотность кинетической энергии 12рйм, оц — компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат Х[, Т1 = оцп,- и ( ),к = [c.292]

Здесь Tjj, ij — компоненты симметричных тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в декартовой системе координат xi, Ж2, Жз Ui — компоненты вектора скорости, по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3, Sij — символ Кронекера, а — среднее напряжение п = гг е — собственный вектор тензора напряжений, отвечающий некратному главному напряжению (71 (два других главных напряжения сг2 и сгз совпадают) [c.94]

Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина If ij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа qEjj с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем [c.200]

Если за основные неизвестные принять напряжения, то для их нахождения необходимо получить соответствующие уравнения. Выразив компоненты тензора деформаций 8 . через компоненты тензора напряжений позакону Гука (2.8) и подставив их в уравнения сплошности (1.149), с учетом (2.22) получим дифференциальные уравнения совместности деформаций в напряжениях в декартовой системе координат [c.76]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты X. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения =-- и (х), 112= Н = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме Оц и считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...