Тензор в декартовых координата

Напряженное состояние точке тела определяется тензором, компоненты которого — составляющие напряжений в трех взаимно перпендикулярных площадках. В механике сплошной среды и, в частности, в теории пластичности широко применяется сокращенная форма записи тензоров в декартовых координатах. В ее основе лежит систематическое применение буквенных индексов, которые могут принимать любое из трех значений 1, 2, 3 соответственно координатным осям Xi, Х2, В этой записи оц означает любой из компонентов тензора напряжений, причем при 1 = / это будет нормальное напряжение, а при i j — касательное. Согласно условию взаимности касательных напряжений Oij = aji (тензор симметричен относительно главной диагонали). [c.52]

Основное уравнение импульсов дается уравнением (2.1.5). В случае если можно пренебречь внешними силами, инерцией и нестационарными членами, получаем у П = О или, используя тензоры в декартовых координатах, имеем [c.105]

П1.1. ТЕНЗОРЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ [c.235]

Тензоры в декартовых координатах [c.524]

Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает [c.530]

Температурное поле в трехслойной пластине 177, 337 Тензор в декартовых координатах 524 [c.569]

Тензоры в декартовых координатах......................347 [c.6]

Для описания встречающихся в теории упругости векторных и тензорных величин будут параллельно применяться обычная в технической механике форма записи, а также тензорная форма записи, в которой уравнения имеют компактный вид. Но при этом будем ограничиваться тензорами в декартовых координатах, а общее описание в произвольных криволинейных координатах с помощью тензорного исчисления использоваться не будет. Там, где это представляется необходимым, будут применяться цилиндрические и сферические координаты, а иногда отдельные уравнения будут формулироваться в так называемой векторной форме записи (которая во многих разделах механики сплошной среды сегодня является обычной). Физическое содержание теории всегда будет ставиться на передний план и не затемняться математическим формализмом. [c.10]

В приложении (гл. 10) даны важные правила вычислений с помощью тензоров в декартовых координатах. Список литературы содержит важнейшие учебники и справочники по теории упругости. В тексте также даны ссылки на ряд оригинальных работ, представляющих исторический интерес или имеющих фундаментальный характер. [c.10]

Приложение. Тензоры в декартовых координатах [c.306]

Если даны соотношения, связывающие обычные и частные производные тензоров в декартовых координатах, то, заменяя обычные производные на абсолютные, частные — на ковариантные, векторные выражения — их представлениями в произвольной криволиней- [c.65]

Зависимости между компонентами тензора напряжений в полярных координатах (а г, О00, Огв) и в декартовых координатах (оц. [c.260]

Компоненты тензора напряжений в декартовых координатах, используя формулы (9.134) и (9.132) и введя обозначение k , = = (2а + sin 2а)/2, определяются выражениями [c.274]

Для компонент тензора напряжений в декартовых координатах, приняв обозначение k = 2а — sin 2а)/2, получим [c.275]

Компоненты тензора напряжении в декартовых координатах, ссылаясь на (9.188) и учитывая, что в данном случае = п/2, определяются равенствами [c.278]

В формулах (9.281), связывающих компоненты тензора напряжений в криволинейных координатах и в декартовых координатах, в дан- ом случае необходимо заменить 1 на р, а g на 0. Тогда на основании [c.307]

В этом случае тензор деформаций получается шаровым и в декартовых координатах будем иметь [c.321]

Компоненты тензора давлений для вязкой несжимаемой жидкости в соответствии с уравнением (2Л.8) при х = О и V v = О записываются в декартовых координатах [c.43]

Компоненты тензора напряжений в декартовых координатах даются равенствами [c.518]

Следуя Озеену, используем тензоры в декартовых координатах. Везде, где это специально не оговорено, используется условие Энштейна о суммировании. Тогда уравнения Стокса [c.97]

Для трехмерного вектора df (и вектора скорости v ниже) в декартовых координатах нет необходимости различать коитра- и ковариантные компоненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному тензору бар- [c.692]

Дивергенция теизюра второго ранга. В декартовых координатах дивергенция тензора atj) определена [см. (1 .104) ] как вектор с компонентами Oi j. Следовательно, в криволинейных координатах дивергенцию тензора получим, заменив обыкновенную производную кова-риантной, т. е. будем иметь вектор с компонентами [c.419]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

V на ось X. Поэтому в реологии она обычно называется градиентом скорости , хотя это и не совсем строго, так как под этим понимается определенная составляющая тензора скоростей деформации. Градиентом же вектора v называется тензор с составляющими в декартовых координатах dvjdxj, причем последний тензор в отличие [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...