Тензоры подобные

Нам хорошо известно понятие векторной величины, которая определяется тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя , а шестью числами и представляет собой еще более общее понятие, называемое тензором. Тензорной величине не удается найти простого геометрического толкования, как вектору. Вектор мы для наглядности изображаем стрелкой, задавая, например, координаты конца вектора тремя числами. С тензором подобные изобразительные приемы не проходят. Тензор обычно задают в виде таблицы-матрицы хотя бы, например, такого вида [c.19]

Введение средней деформации позволяет представить тензор деформации в виде двух тензоров подобно тому, как это было сделано для тензора напряжений. Девиатор деформаций имеет вид [c.12]

Тензор подобно симметричному тензору б р, относится к числу тензоров с постоянными компонентами, т. е. при переходе от одной декартовой системы координат к другой такой же системе компоненты этих тензоров не меняются. Убедиться в этом можно непосредственным вычислением. [c.241]

Для дифференцирования функции симметричного тензора (подобной х(б 7()) удобно записать эту функцию в форме симметричной по симметричным компонентам и и рассматривать эти компоненты как независимые, используя условие симметрии только после [c.95]

Будем рассматривать напряженное состояние в точке как единое целое, как некоторую физическую величину эта физическая величина носит более сложный характер, чем те, с которыми обычно имеют дело в механике, и называется тензором напряжений. Оказывается, что напряженное состояние, или тензор напряжений, определяется заданием шести скалярных величин, или. компонент тензора, подобно тому как вектор определяется заданием трех скалярных величин — его проекций на оси. Изучение напряженного состояния в точке является одной из основных задач нашего курса. [c.22]

Используя (2-7.18) и формулируя другие возможные соотношения, подобные уравнениям (2-7.13) и (2-7.14), получаем полную систему возможных соотношений между физическими компонентами и другими тинами компонент векторов и тензоров [c.80]

Возможно, имеет смысл еще более разъяснить этот вопрос. Уравнение, подобное уравнению (6-3.25), можно сделать непрерывным в окрестности предыстории покоя, предполагая, что функции и гра вырождаются в функции единственного аргумента S, когда норма тензора 0 становится достаточно малой, поскольку, если ) 0 -> О, то [c.228]

Из этого уравнения следует явно, что для уравнения состояния, подобного уравнению (6-4.4), величина tr т не постоянна во времени, а зависит от D (t) и, следовательно, от истории движения. Уравнение (6-4.24) указывает также на то, каким образом нужно модифицировать (6-4.4) для того, чтобы получить уравнение состояния с тензором напряжений, всегда имеющим нулевой след. В левой части уравнения (6-4.4) мы должны добавить член [c.236]

Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В цилиндрических координатах г, г, ц> (с осью г вдоль линии дислокации) деформация будет зависеть только от / и ф. Интеграл (27,3) не должен меняться, в частности, при произвольном подобном изменении размеров любого контура в плоскости х, у. Очевидно, что это возможно, лишь если все со 1/г. Той же степени 1/л будет пропорционален и тензор а с ним и напряжения со 1/г ). [c.154]

Сравнивая формулу (6) с выражением вектора количества движения для поступательно движущегося тела или материальной точки q = niv, видим, что подобно массе т, характеризующей инертность тела в его поступательном движении, тензор инерции J выражает инертность абсолютно твердого тела при его вращении вокруг некоторого центра. В этом заключается физическое значение тензора инерции. Тензор инерции имеет различные значения в разных точках твердого тела он является функцией точки, т. е. образует в твердом теле тензорное поле. Связь между тензорами инерции в разных точках твердого тела будет установлена далее. [c.283]

Подобно тому как скалярная величина может быть задана одним числом, а векторная величина — тройкой чисел, тензор инерции тела определяется девятью величинами — компонентами тензора У У у, [c.561]

Тензор производной поляризуемости, подобно самой поляризуемости, является симметричным тензором [c.112]

Допустим, что граничные условия на всей поверхности тела заданы в перемещениях. Очевидно, что распределение деформаций и перемещений в упругом теле зависит только от одной упругой постоянной — коэффициента Пуассона. Следовательно, деформированное состояние вязкоупругого тела в любой момент времени t совпадает с деформированным состоянием упругого тела. Если граничные условия во времени остаются постоянными, то и деформированное состояние вязкоупругого тела остается неизменным. Компоненты тензора напряжений меняются во времени. Их значения легко найти из физических соотношений, а графики изменения напряжений во времени оказываются подобными кривым релаксации, которые строятся по результатам испытаний образцов при фиксированных во времени деформациях. Итак, в рассматриваемом случае решается задача о релаксации вязкоупругого тела. [c.352]

Заметим, что выражение для удлинения в произвольном направлении в окрестности данной точки подобно относительно множителей при компонентах деформации выражению (1.4.2) для нормального напряжения по произвольной площадке, проходящей через ту же точку. Множители (двойки), имеющиеся в выражении (1.4.2) при касательных напряжениях, в выражении (1.6.1) отсутствуют, но надо также отметить, что в тензоре деформации углы сдвигов преднамеренно приведены с коэффициентом 0,5. [c.19]

Порядок индексов в обозначении сдвигов безразличен, поэтому = уух,.... Компонентами тензора являются не сами сдвиги, а половины сдвигов. При этом условии теория деформированного состояния оказывается совершенно подобной теории напряженного состояния. Уравнение закона Гука для произвольных осей имеет следующий вид [c.86]

Левая часть уравнения (7.3.6) представляют собою тензор четвертого ранга, но этот тензор обладает высокой степенью симметрии и он эквивалентен симметричному тензору второго ранга, подобно тому как антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. Действительно, условие (7.3.6) можно [c.217]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

При моделировании работы таких конструкций, в частности лопаток газовых турбин, ввиду сложности механических и физикохимических процессов трудно использовать рекомендации теории подобия и теории размерностей, поскольку при этом приходится сталкиваться с противоречивыми требованиями. В предыдущей главе отмечалось, что в этом случае следует стремиться к тождественности тензоров напряжений и тензоров деформаций в сходственных зонах геометрически подобных тел. Наиболее надежные результаты можно было бы получить при соблюдении тождественности граничных условий теплообмена и механического нагружения на моделях, изготовленных из реального материала тех же размеров, что и натурная деталь, например лопатка. Другими словами, наиболее надежные данные о несущей способности и долговечности таких деталей, как лопатки газовых турбин, можно получить, если испытывать реальные лопатки в условиях, воспроизводящих реальные спектры силовых и тепловых нагрузок в подвижных средах, имеющих тождественные термодинамические параметры и одинаковый химический состав. Однако это не всегда осуществимо, поскольку для такого моделирования требуются капитальные затраты. [c.187]

Подобно направляющему тензору напряжения, вводится понятие направляющего тензора деформации [c.468]

Стремление устранить подобные случайные влияния систем отсчета привело к дальнейшим математическим обобщениям и созданию тензорного анализа. При его использовании путем построения тензоров можно отобразить определенные инвариантные геометрические или физические свойства изучаемого объекта алгебраическими инвариантами независимо от выбора систем координат. Применение простейших и часто однообразных операций элементарной и высшей алгебры при преобразованиях систем координат в процессе решения задач дает возможность [c.62]

При этом полагается, что поверхность текучести перемещается в направлении подобно абсолютно твердому телу и ее новые положения в процессе деформирования устанавливаются тензором определяемым, в свою очередь, из следующего выражения [c.103]

Решение математической модели позволяет рассчитать главные составляющие <3д сс и Q arp в уравнении (1) и определить возможности их реализации. При решении этой системы в конкретных случаях принимаются определенные допущения, начальные и граничные условия. Сложная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации, которая определяется уравнением (5), затрудняет решение математической модели аналитическим методом и предопределяет численный метод решения с разработкой соответствующего алгоритма решения. Тогда любая подобная задача может решаться в двух приближениях [c.98]

Выражения для могут быть заимствованы из некоторых критериев усталостных разрушений, предназначенных для проверки прочности при стационарных режимах сложного циклического нагружения. Подобных критериев предложено достаточно много [33, 56]. Они получены в разное время на основе обобщения результатов испытаний на усталость при плоских циклических напряженных состояниях. В табл. 3.1 даны некоторые наиболее удобные выражения приведенных напряжений а для критериев усталостных разрушений, представленных в виде а—Все эти выражения справедливы только в случае одинаковых периодов изменения всех компонентов напряжений. Кроме того, они обладают тем общим недостатком, что не учитывают средней за период цикла шаровой части тензора напряжений, которая оказывает существенное влияние на сопротивление усталости (особенно при трехосном напряженном состоянии). Известно, что наложение всестороннего сжатия увеличивает предел выносливости, однако числовые данные практически отсутствуют. [c.88]

Выше уже упоминалось, что при расчетах на усталость в условиях трехосного напряженного состояния, возникающего, например, в зонах контактных напряжений или в толстостенных резервуарах и цилиндрах с днищами (на основе силовой модели), практически невозможно учесть влияние шаровой части тензора напряжений. Ввиду этого подобные расчеты должны, с нашей точки зрения, проводиться не на основе силовой, а на основе энергетической модели длительного разрушения, где косвенный учет указанного фактора возможен при использовании уравнения повреждений типа (3.54). [c.129]

Здесь использованы представления инвариантов (7,6), (7.8), (7.10), Этим доказана инвариантность главных. значений Я,, Я,, Яз тензора — подобно инвариантам III (Q) они сохраняют независяпше от выбора векторного базиса значения. Известно, что полином (Я) представим через его корни [c.435]

В отсутствие магнитного поля диэлектрическая проницаемость, описывающая оптические свойства кристалла с кубической решеткой, является скалярной величиной. При наложении магнитного поля диэлектрическая проницаемость становится тензором, подобно тому как проводимость в магнитном поле описывается тензором магнитопроводимости. Существуют оси высокой симметрии для магнитного поля и тянущих полей, по которым упрощается интерпретация данных оптических и электрических измерений. Кроме того, как и в случае обычных оптических измерений, интерпретация зависит от того, свободные или связанные носители играют превалирующую роль (например, если H(й Eg). [c.407]

Искомый вид тензора xiit и вектора v, можно установить, исходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Этот закон должен содержаться в уравнениях движения (подобно тому как в 134 из этих уравнений получалось для идеальной жидкости условие постоянства энтропии). Путем простых преобразований с использованием уравнения непрерывности легко получить следующее уравнение [c.703]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Однако при принятой нами форме записи уравнений движения зависящих от h членов в а писать не надо. Действительно, такие члены, составленные из компонент h и п, имели бы вид onst.(n,/ift + rihhi). Но член такого вида уже есть в недиссипативной части тензора напряжений (40,23) добавление подобного члена в aj сводилось бы поэтому лишь к переопределению коэффициента X. [c.215]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Поскольку величины Оа кусочно постоянны, моменты будут удовлетворять условию пластичности, которое совершенно подобно условию пластичности для напряжений. Тензор моментов можно привести к главным осям, и предельное состояние пластины будет изобран аться либо эллипсом Мизеса, либо шестиугольником Сен-Венана. Поскольку при изучении плоского напряженного состояния мы пользовались первым условием, здесь мы рассмотрим одну простейшую задачу при помощи условия Треска. [c.526]

Изучение механического поведения композиционных материалов включает аналитические исследования на двух уровнях абстрагирования. В общепринятой терминологии области этих исследований носят названия микромеханики и макромеханики. В микромеханике делается попытка распознать тонкие детали струк1уры материала, т. е. рассмотреть в действительности неоднородное тело, состоящее из включений — волокон, частиц или кристаллов — н матрицы, в которой размещены эти включения. Хотя термин композит объединяет широкое многообразие материалов, таких, как бетон, полукристаллические полимеры, бумага, кожа, кость и т. д., здесь будут обсуждаться главным образом материалы, армированные волокнами. Следует разъяснить, что термин микромеханика обычно не подразумевает исследований на атомном уровне или использования тензоров напряжений высших порядков, подобных фигурирующим в теориях моментных напряжений или теориях градиентов деформаций, хотя имеются и работы такого типа (см., например, Садовский и др. [16], а также Кох [8]). [c.14]

Пек и Гёртман рассматривали полубесконечную среду, ограниченную плоскостью Xi = 0 и нагружаемую равномерно распределенным по границе нормальным давлением. Зависимость внешнего давления от времени выбиралась в форме ступеньки— единичной функции Хевисайда. Касательные напряжения на границе не задавались вместо этого при Х = 0 было наложено требование равенства нулю перемещений, параллельных осям Xi и лгз. Подобные смешанные граничные условия обычны для задач о механических волноводах, поскольку они позволяют построить решение путем наложения бесконечных синусоидальных волновых пакетов. Было найдено точное решение для компоненты dujdxi тензора деформаций в виде суперпозиции синусоидальных мод — бесконечной суммы интегралов Фурье по бесконечным интервалам. Асимптотическое приближение к точному решению для больших значений времени и больших расстояний было построено при помощи метода перевала. [c.372]

В квадратичных критериях прочности, подобных критерию Хилла, смешанная компонента определяется через другие компоненты и не является независимой. В теориях типа теории наибольших нормальных напряжений (деформаций) принципиально не может быть взаимного влияния напряжений, так как критерий прочности задается в виде системы независимых неравенств, выполнение любого из которых означает достижение предельного состояния. Как и в модифицированном критерии Хилла, в критерии Цая — By используются предельные напряжения материала слоя при растяжении и сжатии. При построении предельных поверхностей на основании критерия Цая — By используется теория слоистых сред (предполагается, что материал слоя линейно упругий). Метод ограничивается оценкой возможности разрушения композита для заданного напряженного состояния, при этом не делается никаких предположений относительно причин разрушения (т. е. не анализируются компоненты тензора напряжения слоя, соответствуюшего достигнутому предельному состоянию). [c.155]

Из ЭТИХ десяти коэффициентов величины Fi, Fa, Fu, F22 и Fee можно определить непосредственно из испытаний композита на растяжение, сжатие и сдвиг, подобно испытаниям слоя в раз. 4.4.4. Остальные компоненты F12, Fn2, F122, F266, lee тензоров прочности уравнения (4.32) характеризуют независимые взаимодействия между различными компонентами напряжения. Чтобы быть уверенным в том, что присущий композиционным материалам разброс свойств не вносит погрешность в вычисление этих коэффициентов, они должны определяться при заданных заранее оптимальных отношениях [c.160]

Коэффициенты f 2, Рц2 и / 122 характеризуют взаимодействие предельных напряжений в пространстве напряжений Ох, Оу слоистого композита. Они могут быть определены все вместе путем итерационного процесса и при оптимальных отношениях напряжений в плоскости. Подобным же образом, тензоры Fi66 и F266 характеризуют взаимодействие предельных напряжений в пространствах Ох, Тху и Оу, Хху соответственно. Процесс их вычисления аналогичен предыдущему. [c.161]

Это значит, что матрица У, которая диагонализирует матрицу тензора I посредством подобного преобразования, является вещественной ортогональной матрицей. [c.173]

Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и V. Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями V, т. е. матрица V является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. [c.356]

Пусть на зубец колеса действует нормальное давление Р , а на палец кривошипа усилие Р . Эти силы расположены в разных плоскостях и, следовательно, образуют в пространстве крест (PjAPa)- Проектируя данные силы на направление равнодействующей Р получим тензоры-сдвига pj и р , параллельные оси бивектора i. Откладывая тензоры в точках их приложения С и D по величине и направлению с помощью весовой линии Dk находим положение i оси бивектора. Проекции и сил Р и Ра на направление перпендикулярное к оси i представляют тензоры вращения. Отложив их в точках С и D мы получим момент М = jA. Таким образом, крест сил (PjAPa) преобразован в бивектор (РМ). Для определения реакции и в подшипниках А и В мы должны полученный винт преобразовать в обратном порядке в реактивный крест (R aRt,). С этой целью проектируем вектор Р на ось подшипника А и через полученную таким образом точку d2 проводим весовую линию Bd2, которая и определит новые тензоры сдвига и pj, приложенные в подшипниках А и В. Подобным же образом, проектируя тензор на ось подшипника А находим точку d . Весовая линия Od определит нам величину нового тензора вращения q . Таким образом, находим составляющие реактивного креста RauR w. М = q a. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...