Матрица тензора деформаций

Найдите при простом сдвиге матрицу ( jy) в сопутствующей системе координат, которая совпадает с прямоугольной декартовой лишь в начальный момент времени. Интегрируя по времени в соответствии с (1П.З), получите матрицу тензоров деформаций [формула (11.27)]. [c.112]

Определение 8.6. Матрицей тензором) деформаций называется [c.315]

Матрица тензора деформаций в главных осях принимает диагональный вид. Первый инвариант имеет простой геометрический смысл. Это относительное изменение объема [c.29]

Матрица тензора деформаций в главных осях принимает диагональный вид. Первый инвариант Ii имеет простой геометрический смысл [c.35]

Тензор деформаций 5 имеет матрицу [c.341]

В самом деле, вид матрицы Spq аналогичен виду матрицы pq и отличается лишь тем, что для Spq строчки описываются компонентами тензора деформации Sp, а столбцы — компонентами тензора напряжений Oq. Связь между Spq и pq может быть получена из очевидного соотношения [c.197]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

Аналогичная модель волокнистого композиционного материала для плоского случая — при армировании в двух направлениях — применялась ранее [54, 68] при расчете сетчатых безмоментных оболочек. Для нее матрица жесткости также вырожденная, тензор деформаций в плоскости — шаровой. Напряжения в главных направлениях различались между собой их отношение, равное lg 0, характеризовало направление траекторий армирования (под углом 6 к оси 1). В случае плоского напряженного состояния [68] для статической определимости системы трех напряжений в плоскости слоев, работающих лишь в направлении волокон, необходима укладка, состоящая из трех слоев с различными углами армирования в плоскости. [c.80]

Независимые компоненты тензора напряжений и тензора деформаций можно объединить в матрицы-столбцы [c.7]

Заметим, что изменение знака приращений отдельных компонент тензоров деформаций и напряжений (и даже знака самих компонент) при непрерывном возрастании нагрузки является характерным для многих случаев. При изменении матрицы-столбца средних напряжений а у в соответствии с правилами простого нагружения, когда ее компоненты изменяются пропорционально некоторому параметру, монослои, составляющие композит, могут находиться в условиях сложного нагружения. Соотношения компонент матриц напряжений н деформаций монослоев е]2 < > при этом могут изменяться [c.67]

Таким образом, тензоры деформаций Д или Тв. имеющие одинаковые ковариантные компоненты ij, однозначно характеризуют деформацию в точке. Зная шесть величин etj = eji, по формуле (II.9) можно найти относительное удлинение в рассматриваемой точке в любом направлении. В случае однородной дес )ормации тензоры деформаций одинаковы во всех точках тела, т. е. тензорные поля Те - Ге I , I ) И ( S 1 , I ) ОДНОрОДНЫ. Матрица компонент тензоров деформаций в любой системе координат и в прямоугольной декартовой системе координат начального состояния в соответствии с (1.64) имеет вид [c.69]

Ковариантные компоненты тензоров деформаций найдем по формуле (II.8), учитывая, что матрица (gij) единичная [c.78]

Что такое плоское деформированное состояние Запишите для него матрицы тензоров бесконечно малых деформаций, скоростей деформаций и на- [c.133]

Запишите матрицы тензоров напряжений и деформаций для плоского напряженного н плоского деформированного состояний. [c.191]

Плоское напряженное состояние. Оно отличается от плоского деформированного состояния тем, что в направлении оси z деформации есть, т. е. е и отличны от нуля, но в плош адках г отсутствуют не только касательные, но и нормальные напряжения (o z — 0). Матрица тензора напряжений имеет вид (IV. 18). Ось г является одной из главных осей. Например, плоским является напряженное состояние в большей части очага деформации при листовой штамповке. [c.244]

Тензор деформации в любой из форм записи (1.3), (1.4) или (1,5) симметричен (в частности, е, = е,,). Его можно представить в виде симметричной матрицы (3x3), например в случае 0-5) [c.10]

Этот тензор обладает теми же свойствами, что и тензор деформации. Его также можно представить матрицей (3X3) вида (1.6), вектор-столбцом или вектор-строкой вида (1.7) и привести к главным осям, которым соответствуют три главных коэффициента температурной деформации а., а.2 и схз. Линейный инвариант этого тензора (Ху = аи является коэффициентом объемного расширения материала тела. Очевидно, что для изотропного материала = 2 = аз = а. [c.11]

Упругие константы компонентов были выбраны следующими G = = 2,1 ГПа, I/ = 0,25 для матрицы и G = 10,5 ГПа, I/ = 0,25 для волокна. С помощью входящих, согласно (6.4), в уравнения (9.20) функций поврежденности неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависимостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего инварианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по (6.6) и (6.7). Графическое выражение зтой зависимости приведено на рис. 11.6. Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена [68] и сплава ВТ5-1 [233]. [c.261]

Диагональные матрицы являются постоянными. Их требуется определить из условия стационарности лагранжиана (2.3). Для этого образуем согласно соотношениям Коши тензор деформации [c.253]

Из таблицы видно, что для 20 кристаллографических классов матрица коэффициентов (IV. 15) имеет хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Матрицы коэффициентов g,flj и совпадают между собой. Для некоторых же классов в соответствии с принятыми здесь обозначениями для сдвиговых компонент тензора деформации [c.124]

Компоненты тензора деформации определяются как полуразность двух фундаментальных матриц (5) и (4) [c.637]

Еще одним поворотом на 45° (рис.3.18) вокруг оси (на 90° на диаграмме кругов Мора) придем к системе координат х], в которой тензор деформаций имеет компоненты 8,.у, представленные матрицей [c.149]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

Если предположить, что длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, то составляющие деформации будут определять полную деформацию в окрестности рассматриваемой точки и образуют тензор деформаций, который обычно записывается в виде следующей симметричной матрицы [c.22]

Три ортогональных главных направления находятся аналогично тому, как это делалось для тензора напряжений. Они определяют систему главных осей деформаций, в которых матрица компонент тензора деформаций принимает простейшую диагональную форму [c.42]

Таким образом, хотя и введенная в 6 гл. I матрица Г и введенная выше матрица S определяют симметричные тензоры второго ранга, однако эти два тензора заданы нами в двух по существу различных системах координат. Несколько ниже тензор напряжения будет преобразован к декартовой системе координат точек тела до деформации. Тогда его компоненты при повороте координат осей будут преобразовываться по закону, идентичному формулам I (6.4). Можно было бы поступить и наоборот—-определить тензор деформации в декартовой системе координат точек тела после деформации. Однако последнее было бы равносильно отказу от материальных координат и переходу к пространственным координатам, что было признано в начале первой главы нерациональным. [c.64]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Такие отображения ф называются деформациями. Геометрические свойства деформаций и составляют предмет исследования настоящей главы, где, в частности, показано, что изменения объёмов, площадей и длин, вызванные деформацией ф, определяются соответственно скалярной величиной det Тф ( 1.5), матрицей of Тф ( 1.7, теорема 1.7-1) и правым тензором деформации Коши—Грина С = Тф Тф ( 1.8). Кроме того, как установлено в теоремах 1.8-1 и 1.8-2, тензор деформации Грина—Сен-Венана Е — С — I), отвечающий деформации ф, определяет меру отклонения ф от жёсткой деформации (для которой С = 1). Тензоры деформации С и Е принадлежат к числу основных понятий, на которые опирается изложение в последующих главах. [c.38]

Матрица Е называется тензором деформации Грина—Сен-Венана. Тензор деформации С, определённый выше посредством градиента деформации V(p, можно выразить через градиент перемещений и (напомним, что = Уф=/- -Т ) [c.82]

Условие (Ь), т. е. равенство Т х, Р) =Rf x, 11)известное как теорема Рихтера, означает, что функция реакции в точке x Q полностью определяется своим сужением на множество всех симметрических положительно-определённых матриц иными словами, вклад поворота R не зависит от конкретной функции реакции . На основании эквивалентности аксиомы условию (с) аналогичное утверждение можно сделать относительно второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа. В этом случае определяющее уравнение предстаёт как функциональная зависимость между мерой деформации , т. е. тензором деформации С = и мерой напряжения , т. е. тензором напряже-, ний 2. По этой причине определяющие уравнения часто называют в литературе законами соответствия между напряжениями и деформациями (или просто законами напряжение—деформа- ция). [c.136]

В линейной теории упругости нет нужды в использовании перечисленных мер деформации в ней основываются на вполне приемлемом при рассмотрении деформации массивных и слабо деформируемых тел предполол ении о существенной малости элементов матрицы тензора SJw. [c.58]

Здесь применены и часто ниже будут применяться обозначения компонент тензора напряжения Т, указанные в матрице (1.4.8) гл. I для компонент тензора деформации используются аналогичные обозначения e = 6u, Y i/ = 2ei2 и т. д. [c.111]

Здесь Uj,, Uy, — компоненты вектора смещения и. Как известно, вышеприведенные формулы справедливы лишь для малых деформаций и малых углов поворота. Компоненты тензора деформации в формуле (1), имеюш,ие одинаковые индексы [расположенные на главной диагонали в матрице (1)], определяют собой часть деформации элементарного параллелепипеда, ребра которого параллельны направлениям х, у, z, связанную с изменением длин ребер. Компоненты тензора деформации с несовпадаюш ими индексами определяют собой изменение углов между ребрами в тех гранях элементарного параллелепипеда, нормаль к которым совпадает с отсутствующим индексом. В дальнейшем для удобства изложения вместо буквенной иногда будем применять числовую систему индексов, связанную с ранее введенной, следующим образом X , у 2, Z 2>. [c.7]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Для того, чтобы избежать путаницы в обозначениях пргшого тензора деформаций Коши — Грина и матрицы определяющих соотношений, в настоящем параграфе этот тензор деформаций отмечаем чертой сверху. [c.199]

Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести матрица не совпадает с матрицей с элементами, определенными в (6.32). Это происходит вследствие того, что при вычислении компонент матрицы путем дифференцирования соотношений (6.47) по компонентам тензора деформаций параметр АА предполагается постоянным. Так как матрица вычисляется точно, то при решении задач о деформировании тел из упругоплгютического материала (без уточнения решения с помощью некоторой итерационной процедуры) лучше пользоваться моделью упругопластического материала, описанной в 6.2.4. [c.210]

Сущность принципа Дж.Д.Эшелби состоит в замене интегрирования по объему при вычислении энергии деформирования упругих сред интегрированием по поверхности. Предположим, что сплошная среда М=MaUМр состоит из матрицы (окружения) Л/а и включения Л/р, а параметрами НДС при упругом деформировании этого тела являются тензор напряжений Т и тензор деформаций Те- [c.171]

Угловые скобки означают след матрицы, описьшающей соответствующий тензор. В качестве второго инварианта тензора деформации чаще всего будет приниматься интенсивность тензора деформации е [c.13]

Гакпе матрицы с независящими от координат и времени компонентами образуют однородную группу вращений 80(3). Точно так же можно показать, что тензор деформации не изменится при преобразованиях (2.25), если матрица удовлетворяет условиям (2.27). Следовательно, действие однородной группы вращений на деформируемое тело оставляет лагранжиан инвариантным. Но группа вращений не абелева, так как результат зависит от порядка действия ее элементов. [c.28]

Матрицы, а также функции со значениями в пространстве матриц обозначаются символами, начинающимися с прописной жирной буквы, например Т, Е и), I, О, Diag(i(, of Л, Х( ). Исключение составляют (градиент деформации), Vu (градиент перемещений), dWfdF (градиент функции W Q с= М - R), е и) (линеаризованный тензор деформации). [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...