Линеаризация уравнений движения

В чем заключается линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения [c.477]

Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду, для которого общее решение имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличаются от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. для составляющих скорости в цилиндрических координатах получим Vy= Vx, [c.498]

Отметим, что, как и для обтекания чистым газом, наряду с требованием малости рл для линеаризации уравнений движения газа необходимо выполнение условия [c.377]

Математическая нелинейная задача об отыскании н, р и /) в указанной выше постановке очень трудна. В исследовании этой задачи имеются только отдельные результаты, полученные с помощью дополнительных существенных допущений и в большинстве случаев основанных на линеаризации уравнений движения ). [c.302]

В аналогичных задачах для вязкой несжимаемой жидкости движение непотенциально, требуется интегрировать нелинейную систему уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности. В точной постановке задача о движении тела в вязкой жидкости математически очень трудна. При аналитических исследованиях получение соответствующих решений всегда связано с введением дополнительных предположений. В частности, многие теории связаны с линеаризацией уравнений движения. [c.228]

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача линеаризуется . В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. [c.230]

Линеаризация уравнений движения. Пусть консервативная система имеет положение равновесия, в котором все обобщенные координаты Qi г = 1,2,..., п) равны нулю. Предполагая потенциальную энергию системы П( 1, 25 5 Qn) аналитической функцией в окрестности положения равновесия, разложим ее в ряд Тейлора [c.499]

Для оценки погрешности, вносимой в искомое решение примененной линеаризацией уравнения движения, обозначим функцию погрешности 2 [c.318]

Таким образом, при рассмотренных выше методе аппроксимирования приведенного момента и линеаризации уравнения движения машинного агрегата задача численного интегрирования системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом. Заметим, что функции Мс (ф, ф) и J (ф) часто задаются в табличной форме. При этом значение кинетической энергии оказывается необходимо вычислять только для определенных (базовых) точек. [c.319]

Лучшее согласование экспериментальных данных с теоретическими дает метод эквивалентной задачи теории теплопроводности [3], если, следуя эксперименту, для каждого сечения потока задавать начальное распределение температуры для эквивалентной задачи в виде кольца постоянной температуры на бесконечной плоскости таким образом, чтобы его площадь оставалась равной площади сечения потока на срезе сопла, а средний радиус был равен среднему радиусу кольцевой струи в рассматриваемом сечении. Последний определяется из эксперимента как радиус окружности максимальных значений плотности потока импульса или избыточного теплосодержания. При таком расчете получается плавное изменение всех параметров вдоль оси потока, начиная от его среза. Заметим, что метод линеаризации уравнений движения, предложенный Г. Рейхардтом, был также, применен к расчету потока с градиентами статического давления (основной участок следа за плохо обтекаемым телом) [2]. [c.198]

Линеаризация уравнения движения и структурная динамическая схема гидропривода с дроссельным управлением. Исследование устойчивости процесса регулирования следящего контура привода при малых отклонениях координат может быть достаточно эффективно осуществлено на основе линеаризованного уравнения дроссельного привода. [c.373]

С целью анализа устойчивости и переходных процессов статического гидроусилителя с малым трением золотника в его расчетной зоне (h hm рв рт), в которой справедливы линейные зависимости между расходом и давлением и не достигаются ограничения хода заслонки, нелинейное уравнение гидроусилителя может быть линеаризовано с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Линеаризация уравнения движения гидроусилителя в первую очередь заключается в линеаризации зависимости Qg = f h рд). Эта линеаризация осуществляется разложением системы уравнений (6.53) в ряд Тейлора и получением после принятых допущений линеаризованной зависимости в виде уравнения (6.57) [c.424]

Стоксу принадлежит простейшая линеаризация уравнений движения за счет отбрасывания всех конвективных членов (1851). В этой постановке он решил задачу о равномерном падении шарика в безграничной вязкой жидкости и получил известную формулу для силы сопротивления шарика W = (а — радиус шарика, V — скорость его движения), широко [c.71]

Математически околозвуковое течение описывается нелинейными уравнениями двух типов при скоростях, меньших скорости звука,— уравнениями эллиптического типа при скоростях, больших скорости звука,— гиперболического типа. Линеаризация уравнений движения такого сложного течения не позволяет получить уравнение, которое описывало бы весь поток. Вместе с тем физическая модель околозвукового течения отсутствовала. [c.332]

Здесь S = sin, с = os. На этом этапе прибегнем к линеаризации уравнений движения, считая отныне углы 0 и (х, входящие в формулы кинематического преобразования, малыми. Благодаря этому решение приобретает простой вид и сохраняет разумную степень точности в пределах изменения координат до 10°. Малое отклоне- [c.13]

В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа разобьем функцию тока аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, положив [c.326]

Линеаризация уравнений движения газа для случая, когда новерхность разрыва мало отличается от плоской в наиболее полной форме выполнена A.A. Дородницыным [2, 3], использовавшим переменные [c.443]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

Для оценки величины амплитуды автоколебаний исследуем систему с нелинейным затуханием. Чтобы полудить результаты в общем виде, воспользуемся методом гармонического баланса. После гармонической линеаризации уравнения движения будут аналогичны уравнениям движения, уже использованным выше, [c.126]

Отсюда следует, что повышения давления при этих условиях могут быть очень большими, а плотность может изменяться на порядок. Поэтому обычная линеаризация уравнений движения газа при движении тонких тел непригодна при Мх> 1. Отметим, что при значениях Мх< 1 из (8.12) получаем [c.406]

Если возмущения, создаваемые в газе некоторым источником, достаточно малы, то уравнения движения можно линеаризировать, а скорость волны считать равной скорости звука в невозмущенном газе. В случае сферической симметрии, после линеаризации уравнений движения, получим (г — радиус сферических координат) [c.452]

Однако все же нельзя утверждать, что при выполнении условий совместности (2.21) исчезают реакции связей третьего и четвертого рода. Действительно, краевые условия (2.99) неоднородны и исключают возможность тривиального решения (х = 0. Такое решение также противоречило бы исходным предпосылкам, принимаемым при введении множителей Лагранжа. Наличие отличающихся от нуля множителей приводит к заключению о существовании некоторых составляющих реакций внутренних связей третьего и четвертого рода даже при выполнении условий совместности (2.21). Возникшая здесь противоречивая ситуация порождена линеаризацией уравнений движения и уравнений связей третьего и четвертого рода, позволяющей, в частности, не различать независимые лагранжевы и эйлеровы переменные. [c.49]

Надлежащим выбором начала отсчета энергии устраняется первый член правой части. Однако второй член также исчезнет, если разложение провести относительно такого состояния, которое соответствует положению равновесия. В консервативных системах положения равновесия характеризуются экстремальными значениями потенциальной энергии и для них первые производные обращаются в нуль. Если положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет в нем минимум, и следовательно, третий член разложения должен быть в этом случае положительной квадратичной формой координат системы. Далее мы будем рассматривать малые колебания около положения равновесия и поэтому сможем пренебрегать членами высших порядков. Это полностью соответствует обычной при методе малых колебаний линеаризации уравнений движения. Если использовать обозначения [c.272]

Исходные уравнения, описывающие поведение большинства реальных систем, нелинейны. Анализ устойчивости нелинейных систем по отношению к произвольно малым возмущениям, или, иными словами, исследование условий возникновения мягких режимов возбуждения автоколебаний существенно упрощается благодаря известной теореме Ляпунова [5]. Для исследования устойчивости нелинейной системы согласно этой теореме можно воспользоваться вспомогательной линейной системой, получающейся из исходной путем линеаризации уравнений движения вблизи стационарного режима. Полученная таким образом вспомогательная система описывает режим малых колебаний вблизи стационарного режима. [c.12]

Линеаризация уравнения движения в (3.25 ) дает [c.48]

Четвертое допущение означает линеаризацию уравнения движения для и . [c.113]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

Х.24. Расскажите, в чем заключается линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения. [c.400]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Заметим, что и в случае непериодического воздействия умножение возмущающей силы на постоянный множитель приводит к тому, что этот же множитель оказывается в правой части выражения (88) либо (89) для возникающих отклонений. Отсюда следует, что и в этом случае, если внешнее возмущение достаточно мало по модулю, то и отклонения обобщенных координат будут малы, а это значит, что движение не выйдет за пределы окрестности, где допустима линеаризация уравнений. [c.257]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Исследование динамики дроссельного гидропривода на электронной моделирующей установке Исследование динамики дроссельного привода на электронной моделирующей установке имело целью показать влияние основных нелинейностей на характер переходных процессов и частотных характеристик привода и сделать заключение о диапазонах изменения входных управляющих сигналов, в пределах которых возможна линеаризация уравнения движения для анализа устойчивости сложных следящих систем с дроссельным исполнительным приводом. При этом исследовании было принято, что движение дроссельного гидропривода с достаточной степенью точности можно представить нелинейным диффереециаль-ным уравнением (6.8), полученным на основании системы уравнений (6.7), полагая Ах = О, = 0. [c.377]

С другой стороны, в недавней работе Титуса [19] был вновь поднят вопрос о возможной эффективности приложения импульсов при облете Марса с зозвраш,ением. Указанная статья представляет собой тш,ательное и подробное исследование импульсных маневров. В то время как исследование [20] основывалось на линеаризации уравнений движения, связанных с задачей оптимизации суммарного импульса, Титусу удалось получить решение для точной системы урав- [c.27]

Принципиально возможно точное решение этой задачи, однако это требует применения математических методов, связанных с большой работой. Поэтому имеют большое значение приближенные методы. Наиболее важное упрощение состоит в линеаризации уравнений движения. Для этого предполагается малость возмущений, или, более точно, малость скооости возмущения сравнительно со скоростью полета и скоростью звука. Такая теория дает хорошее приближение для сопротивлений тонких или плоских тел с заостренной головной частью или с острой передней кромкой. К счастью, большая часть будущих сверхзвуковых самолетов и [c.12]

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с определением сил,, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения бТ)льшей части технических задач. [c.48]

Отметим два приближенных подхода. Первый связан с линеаризацией уравнений движения, которые затем удается проинтегрировать и получить выражение для сопротивления тела в виде некоторого функционала от формы контура. Другой подход основан на применении приближенных формул для давления на поверхности, полученных на основе элементарных представлений для больших сверхзвуковых скоростей (М 1). Обычно для этих целей используются законы сопротивления Ньютона и Буземана [1,2. Для наиболее интересных видов ограничений и произвольной толш ины тел уравнение контура находится в конечном виде. Дальнейшее упрош ение для тонких тел не является необходимым, а иногда [3] вводится лишь для сокра-ш ения вычислений. Ко второму направлению относится значительно больше работ, чем к первому. В частности, первая задача в такой постановке рассмотрена еш е Ньютоном [4]. Однако в работах этого направления об-раш ается недостаточное внимание на то, что контур тела минимального сопротивления в обш ем случае состоит из участков двустороннего экстремума ( экстремалей") и из участков краевого экстремума. Последние являются границами области допустимого изменения параметров и определятся постановкой задачи и областью применимости приближенных формул. Игнорирование этого приводит к возникновению онределенных трудностей, а также к потере некоторых решений. [c.381]

Заметим, что процесс линеаризации уравнений движения неголономной системы в окрестности некоторой точки ( ,. .., поверхности От полностью совпадает с описанным в п. 1 настоящего параграфа. Однако существенное отличеи получаемых при этом уравнений от найденных в п. 1 состоит в том, что точка г/ теперь может быть любой точкой поверхности От- Поэтому величины и, . .. [c.273]

Из ЭТИХ рассуждений следует, что всегда возможное основное колебание (6.27), когда масса маятника колеблется вертикально, при определенном соотношении собственных частот может вызывать колебания по координате ф. В силу закона сохранения энергии это, конечно, возможно лишь за счет амплитуды основного колебания. Таким образом, в процессе колебаний энергия колебаний по координате X перекачивается в энергию колебаний по координате ф, и, как показывают эксперименты, этот процесс происходит периодически в обоих направлениях. Происходящие при этом процессы внешне очень похожи на обычные связанные колебания, однако в их основе лежит совершенно другой механизм возникновения. В то время как обычные связанные колебания ранее рассмотренного типа можно исследовать методом малых колебаний, т. е. путем линеаризации уравнений движения, описанные здесь явления принципиально нельзя объяснить, работая с линеаризованными уравнениями. На эти важные обстоятельства указал Меттлер (Ing.-Ar h., 1959, Bd. XXVlIl, 213—228). [c.266]

Строго говоря, эти условия должны удовлетворяться при 2= Г], а не при г = 0, однако принимается второй вариант по причине своей простоты и в связи с тем, что возникаюпдая ошибка не превышает погрешности, обусловленной линеаризацией уравнений движения. [c.42]

IX.24. Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличается от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. можно записать, в частности, для составляющих скорости (в цилиндрических координатах), Vx=V- -Vx, Ут= -= Vг Уу, а также для давления, плотности и скорости звука р = =роо- -р, р = роо+р, а = аоо+а. Здесь Уос, рос, роо, аос — параметры невозмущенного потока Ух, УгуУу, р, р, а —добавочные составляющие соответствующих параметров, обусловленные возмущенным характером течения. Значения этих составляющих являются такими по величине, [c.636]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Уравнение (56) иазывается волновым уравнением. Если бы движение газа не было параллельным оси Ох, то после линеаризации уравнений (45) получили бы для р уравнение вида [c.566]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...