Система линеаризованная нелинейная

Следуя методу гармонического баланса, решение гармонически линеаризованной нелинейной системы (19.23) определим следующим образом [c.299]

Пусть операторы для системы, линеаризованной подстановкой периодического решения в матрицы S, С и вектор-функцию S у, у), совпадают с операторами нелинейной системы дифференциальных уравнений (8.12), а также совпадают моменты времени, при которых элементы матриц В, С и компоненты вектор-функции S (7, у) терпят разрыв. В этом случае периодические решения указанных нелинейной и линеаризованной систем уравнений совпадут. [c.241]

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные действительные части, то исходная система, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями, будет устойчивой. [c.212]

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы имеется хотя бы один корень с положительной действительной частью, то исходная система, описываемая нелинейными уравнениями, будет неустойчивой. [c.213]

Указанные замкнутые системы линеаризованных уравнений статики и устойчивости слоистых упругих тонких пологих (1 + h/R 1) оболочек ниже составлены в системе координат, связанной с линиями кривизны отсчетной поверхности Q. Сведения о вариантах уравнений представлены лишь в том минимальном объеме, в каком они используются в дальнейшем. С полным изложением этих вопросов, включающим в себя уравнения динамики, уравнения нелинейной теории и др., заинтересованный читатель может ознакомиться по цитированным источникам. [c.82]

Разработан метод исследования динамики твердых тел (частиц), расположенных у границы сжимаемой вязкой жидкости, при прохождении акустической волны. Действие жидкости на тело (частицу) определяется средними по времени силами, представляющими постоянные во времени слагаемые гидродинамических сил. В связи с этим используется разработанный ранее метод вычисления давления в сжимаемой вязкой жидкости с сохранением слагаемых, квадратичных по параметрам волнового поля. Метод основан на использовании упрощенной (применительно к волновым движениям жидкости) системы исходных нелинейных уравнений гидромеханики. Оказалось возможным при вычислении напряжений в жидкости сохранить величины второго порядка, не решая систему нелинейных уравнений. Напряжения удается выразить через величины, определяемые с помощью линеаризованных уравнений сжимаемой вязкой жидкости. Для этого используются представления решений линеаризованных уравнений через скалярный и векторный потенциалы. На основе этого метода сформулирована задача для цилиндра у плоской стенки при падении волны перпендикулярно стенке, и рассмотрен конкретный пример. [c.342]

Форма колебаний, измеренная при резании, является экспериментально получаемым решением нелинейной системы уравнений. Поскольку, как установлено многими исследованиями, колебания при вибрациях, особенно при их зарождении и малой величине амплитуды, могут считаться, по крайней мере на протяжении одного периода, гармоническими, то экспериментально полученная форма колебаний станка является решением системы, линеаризованной методом гармонического баланса. В связи с этим ею можно пользоваться для составления линейных уравнений [c.135]

До сих пор мы рассматривали малые движения относительно естественного, т. е. ненапряженного, состояния. Однако при теоретическом исследовании сред с электрическими и магнитными свойствами часто приходится проводить линеаризацию относительно начального состояния с конечной деформацией и намагниченностью и/или поляризацией (см. гл. 6 и 7). Разумеется, если за начальное состояние взято состояние без напряжений, намагниченности, поляризации и электромагнитных полей, то линеаризованная система уравнений, полученная из полной нелинейной системы уравнений, сводится к системе линейных уравнений классической теории. Техника, используемая для получения системы линеаризованных уравнений, описываю- [c.150]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение V = О, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р. Имеется и второе решение если <р ф Q, то Р = с/1. Следовательно, линеаризованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейного уравнения (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечных перемещениях системы при Р > Р р- [c.512]

Программа реализует решение нелинейной системы разностных уравнений (5.40) - (5.44) и организована на основе циклического повторения итераций, на каждой из которых решается линеаризованная система со значениями теплопроводности и коэффициентов теплоотдачи, вычисленными по температурам предыдущей итерации. Начальные приближения температур стенки и жидкости задаются в качестве входных параметров подпрограммы. [c.174]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней по результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах. Ляпунова 1). [c.433]

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то равновесие нелинейной системы устойчиво. [c.433]

Если вещественная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения линеаризованной системы положительна, то равновесие нелинейной системы неустойчиво. [c.433]

В случае, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы встречаются чисто мнимые, тогда как остальные имеют отрицательные вещественные части, равновесие истинной нелинейной системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и для решения вопроса об устойчивости уравнений первого приближения недостаточно. [c.433]

Можно сформулировать также условия, при которых система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата имеет периодические решения с периодами 2Т, ЗТ,. . . Это явление деления частот , характерное для нелинейных систем, тесно связано с проблемой собственных значений матрицы Я соответствующей линеаризованной системы, см. подробнее п. 26 [52]. [c.131]

Важные характеристики динамического поведения исследуемой системы могут быть получены на основе ее так называемой линеаризованной консервативной динамической модели. Эту модель получают в результате линеаризации нелинейных упругих характеристик соединений, заключающейся в замене нелинейной упругой характеристики Z (ст) линейной вида [c.14]

Линеаризация упругих характеристик соединений превращает ряд нелинейных дифференциальных уравнений математической модели системы в линейные. Линеаризованная модель позволяет при помощи достаточно простых методов оценить спектр собственных частот исследуемой системы и выявить наличие и расположение резонансных режимов в ее эксплуатационном диапазоне. Используя энергетический учет эффекта диссипативных сил, на основе линеаризованной модели можно также оценить уровень установившихся вынужденных колебаний, пиковые нагрузки при переходных режимах и динамическую устойчивость системы в малом [39]. [c.14]

Получаемые на основе линеаризованной математической модели закономерности, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы, называют линейными приближениями истинных нелинейных динамических законов. Нахождение линейных приближений является целесообразным этапом, обеспечивающим простыми средствами подготовку к рациональному исследованию нелинейной [c.14]

Свободными колебаниями схематизированной механической системы называют процессы, характеризующие ее динамическое поведение при отсутствии внешних сил, однозначно определяемые начальными условиями значениями смещений и скоростей сосредоточенных масс динамической схемы системы и начальный момент времени (/ = 0). Простейшей схематизацией привода является его линеаризованная, недиссипативная динамическая модель, использование которой позволяет существенно упростить исследование свободных колебаний привода и получить важные качественные выводы о поведении реальных систем. Линеаризованные характеристики упругих сил являются достоверной схематизацией соответствующих нелинейных зависимостей при изучении малых колебаний. Закономерности, характеризующие поведение недиссипативной динамической модели, правдоподобно описывают поведение реальной системы с малым трением в течение ограниченных промежутков времени. [c.153]

В дальнейшем при динамическом расчете коэффициенты диссипации позволяют установить некоторый энергетический эквивалент, учитывающий силы сопротивления в системе дифференциальных уравнений. Этот вопрос будет подробнее освещен в последующих главах. Здесь лишь укажем, что наиболее эффективный подход к учету диссипативных сил в инженерных задачах связан с так называемой эквивалентной линеаризацией, при которой нелинейная сила сопротивления заменяется условно линейной при сохранении той же величины рассеянной за один цикл энергии. При таком подходе линеаризованная сила сопротивления может быть представлена как R = —Ьх, где коэффициент пропорциональности Ь определяется следующим образом [18, 63] [c.40]

Как уже отмечалось, более удобной является расчетная линеаризация нелинейных сил трения, в том числе и внутреннего. При использовании линейного расчетного аппарата, изложенного в гл. I, линеаризованные коэффициенты можно применять и в сложных системах. Смысл линеаризации по-прежнему заключается в замене степенного типа сил трения (с частотными поправками) при любых показателях п = т — 1 по формуле (2. 32) для элементарного объема и для всего стержня [c.103]

Поэтому при решении инженерных задач, которые, по существу, все нелинейны, стремятся ограничиться рассмотрением линеаризованных систем, с тем, чтобы использовать хорошо развитые методы решения и исследования линейных уравнений. Другими словами, стремятся заменить приближенное исследование точной (нелинейной) системы точным исследованием некоторой приближенной (линейной) системы. Естественно, что и мы, там где это возможно, будем действовать точно так же. [c.23]

Эти свойства сохраняются и для передаточной функции статистически линеаризованной системы, с той лишь разницей, что значения собственных частот системы будут сдвинуты по оси ю вправо или влево на величину (т , а ) в зависимости от характера нелинейной системы. [c.169]

Исследование возмущенных движений с большими отклонениями в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений при этом вид нелинейности существенно влияет на характер процесса при неограниченном возрастании времени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому устойчивому режиму с постоянными амплитудами (пиковыми значениями) — режиму автоколебаний. [c.286]

Заменив в (VI. 1) нелинейную функцию, с учетом изменения знака сигнала и обозначений на рис. VI. 1 получим уравнение гармонически линеаризованной системы [c.232]

В формулы для вычисления эквивалентных коэффициентов (VI.23) входит частота изменения входной для реле координаты Q. Величина Q приближенно может быть вычислена как частота основного тона колебаний линеаризованной системы — частота выделенной по методу эффективных полюсов и нулей первой (основной) составляюш,ей процесса. Для этого выполняется эквивалентная линеаризация нелинейности для ряда фиксированных значений амплитуды и вычисляется серия значений эквивалентного коэффициента усиления k. Учитывая, что уравнение основной составляющей может иметь первый или второй порядок, по соотношениям (VI.9) вычисляются три последних коэффициента эквивалентного уравнения (VI.10). Порядок уравнения выделяемой первой составляющей процесса определяется по параметру р (см. п. 8). Формула для вычисления параметра pi в данном случае имеет вид [c.233]

С целью анализа устойчивости и переходных процессов статического гидроусилителя с малым трением золотника в его расчетной зоне (h hm рв рт), в которой справедливы линейные зависимости между расходом и давлением и не достигаются ограничения хода заслонки, нелинейное уравнение гидроусилителя может быть линеаризовано с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Линеаризация уравнения движения гидроусилителя в первую очередь заключается в линеаризации зависимости Qg = f h рд). Эта линеаризация осуществляется разложением системы уравнений (6.53) в ряд Тейлора и получением после принятых допущений линеаризованной зависимости в виде уравнения (6.57) [c.424]

В эти 10%, естественно, не входят погрешности, связанные с идеализацией реального динамического процесса. Таким образом, при анализе на модели линеаризованных дифференциальных уравнений динамического процесса погрешность результатов анализа относительно данных, полученных экспериментальным исследованием реального процесса, будет суммироваться из погрешности решения на модели и погрешности, вызванной неполным соответствием исходных линеаризированных зависимостей реальному нелинейному процессу. Последняя, конечно, присуща любому методу анализа динамики нелинейного объекта, так как зависит не от метода анализа, а от полноты учета всех существующих особенностей характеристик динамической системы. Вместе с тем технические возможности модели МН-7 ограничивают круг нелинейностей, которые могут быть учтены при исследованиях динамики следящего гидромеханизма. [c.98]

Система уравнений (4-14) — (4-16) является нелинейной. Линеаризованные уравнения материального и энер- [c.81]

Система (5-77) нелинейна. В линеаризованном виде уравнения легко решаются до передаточных функций, которые получаются до- [c.173]

Решение нелинейного матричного уравнения проводится итерационными методами, основанными на методе Ньютона-Рафсона. Нелинейный анализ занимает гораздо больше времени, чем линейный, по двум причинам. Во-первых, каждая итерация включает в себя, как минимум, решение линеаризованной системы вида (1.2). Во-вторых, проблемы сходимости, которые возникают при решении нелинейных задач, могут приводить к большому числу итераций. [c.32]

Рассмотренная выше линейная теория применима лишь в случае очень слабой турбулентности, достигшей заключительного периода вырождения. Теперь мы перейдем к случаю, когда турбулентность является сравнительно слабой, но все же не настолько, чтобы нелинейными членами уравнений гидромеханики можно было пренебречь. В таком случае надо использовать следующее приближение теории возмущений, учитывающее кроме главных линейных членов также поправки к ним порядка Не. Это приближение, уже обсуждавшееся на стр. 75 части 1, состоит в том, что в уравнениях гидромеханики сохраняются нелинейные члены, в которых, однако, значения гидродинамических полей считаются совпадающими с решениями системы линеаризованных уравнений. При конкретных расчетах нелинейные члены удобно рассматривать как дополнительные притоки массы, импульса и энергии, порождающие определенные добавки к решениям линеаризованных уравнений. Указанные добавки б гдут определять новые физические явления порождение вихревых движении, звука и энтропийных волн за счет их билинейных и квадратичных взаимадействий друг с другом. [c.300]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Ограничимся изложением только двух методов реп1ения, рассматривая их применительно к нелинейным системам частного, но наиболее часто встречающегося в разных теплофизических задачах квазилинейного вида. Такие системы записываются аналогично (1.8), но имеют коэффициенты ац, зависящие от искомых величин и. a,j = = a,j (и,,. .., u/v). Они возникают, например, при решении стационарных уравнений теплового баланса (1.2), в которых тепловые проводимости Ojj зависят от температур Т,-, Г,-. Для решения этих нелинейных систем обычно применяют итерационные методы, в которых на каждой итерации решается линеаризованная система, т. е. некоторая линейная система, полученная из исходной нелинейной задачи. Наиболее часто применяют два подхода к линеаризации. [c.15]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Динамическая характеристика асинхронного двигателя (2.28) является, так же как и исходная система (2.26), нелинейной. Эту характеристику можно разложить в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки S = S° при соблюдении определенного, указанного в работе [104] порядка выполнения операций дифференцирования. Ограничиваясь линейными членал1и разложения, получим линеаризованную динамическую характеристику асинхронного [c.26]

Правомерность такой линеаризации проверялась моделированием, которое показало, что решение линеаризованной системы в отклонениях является межорантным по отношению к такому же решению нелинейной системы. Это позволяет судить об устойчивости движения, описываемого системой уравнений (П), по устойчивости решения линеаризованного уравнения в отклонениях. [c.186]

Рассмотрим линеаризованную модель изучаемой системы. Из графов (см. рис. 11 и 13) видно, что учет влияния динамики системы приводного элe тpoдвигaтeля насоса возможен при исследовании динамических свойств гидропривода как элемента системы управления только в нелинейной постановке, так как в изучаемой модели необходимо умножать аходдой сигнал управления у на текущие переменные сов и />э- [c.96]

Для нелинейной преобразующей системы принцип суперпозиции неприменим, и, следовательно, написать систему уравнений вида (9.1) нельзя. Однако во многих случаях в достаточно узких пределах изменения входных и выходных переменных допустима с большей или меньшей степенью точности линеаризация преобразующей системы, сводящаяся к замене нелинейных уравнений линейными. Линеаризованные математические зависимости, аналогичные системе уравнений (9.1), могут быть получены следующим образом. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...