Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации

Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации [c.57]

На соотношения Коши (11) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для определения трех компонент вектора перемещений г j по заданным компонентам тензора малых деформаций [7]. [c.638]

Компоненты тензора малых линейных деформаций (3.67) можно рассматривать как систему шести уравнений в частных производных для определения трех компонент перемещения щ. При произвольном выборе ei, система (3.67) не имеет решения. Необходимыми и достаточными условиями существования непрерывных и однозначных компонент смещения щ являются шесть независимых уравнений [c.75]

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения Uh, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке. [c.57]

Для произвольной малой деформации материальной частицы в выражениях тензоров деформаций Е и через тензоры градиентов перемещений Н и "Н в (см. (1.47)) и в определениях их компонент (1.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно малая деформация материальной частицы, характеризуемая выполнением равенств [c.39]

В общем случае малой деформации соотношения Коши связывают три компонента вектора перемещения Uk с шестью (вследствие симметрии) компонентами тензора деформации ij. Следовательно, для определения компонентов вектора перемещения необходимо проинтегрировать шесть уравнений вида [c.46]

Хотя компоненты деформации yij в (15.43) и предполагаются бесконечно малыми, эти соотношения могут и не привести к линейной теории, поскольку уц могут нелинейно зависеть от градиентов перемещений и,, Функция энергии деформации для классической линейной теории упругости получается из (15.43) при предположении, что, кроме Уц, и вращения (Лц (а значит, и ищ) бесконечно малы. При этом уц = ец, где ец — тензор бесконечно малых деформаций, определенный формулой (4.18а), и [c.247]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

Перейдем теперь к определению понятия деформации. Под действием приложенных к телу сил точка с координатами внутри тела перемещается на величину вектора смещения и(Х1). Если вектор смещения одинаков для всех точек тела, то происходит перемещение тела как целого. Если же смещение внутри тела неоднородно, т. е. имеется градиент смещения между двумя соседними точками, то расстояние между ними изменяется. Это приводит к тому, что малый элемент объема, скажем кубической формы, претерпит йзменения размеров и формы (и станет параллелепипедом). Мерой этих изменений служит тензор градиентов смещений, девятью компонентами которого являются значения ди- дх, (/, 3). Однако лучше использовать сим- [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...