Преобразование компонент тензора. Инварианты тензора

Определитель из компонент тензора второго ранга является инвариантом преобразования] координатных осей. Действительно, имеем [c.399]

Можно вычислить значения этих инвариантов для различных ориентаций, а затем произвести осреднение по формулам, аналогичным формуле (123). Восстановление значений компонент тензора поверхности прочности четвертого ранга можно произвести по формулам, получающимся из закона преобразования (1216) при записи его через инварианты [c.480]

Результаты, приведенные на рис. 15 и 16, получены для углов наклона волокон О, 15, 30, 45, 60, 75 и 90°. Компоненты тензоров поверхности прочности второго и четвертого рангов, вычисленные для этих ориентаций, показаны на рис. 19 и 20. При выполнении вычислений в соответствии с описанной выше методикой осреднения использовалось шесть инвариантов (два для Fi и четыре для р ц). Значения компонент и р ц, восстановленные (при помощи формул (124) и (125)) по значениям этих осредненных инвариантов, и представлены на рисунках. Полученное согласование является не только проверкой свойств преобразования тензоров поверхности прочности, но и позволяет утверждать, что для выборок большого объема использованная методика осреднения экспериментальных данных, основанная на примеиении тензорных инвариантов, вполне приемлема. Преимущество этой методики заключается в том, что она дает возможность свести большое количество различных экспериментальных данных всего к шести константам (инвариантам), что удобно с точки зрения паспортизации прочностных свойств зная эти шесть констант, можно, используя формулы перехода (124) и (126), перейти к конкретным техническим приложениям. [c.482]

Она является инвариантом относительно преобразований координат, так как приращения координат dx преобразуются по формулам (1.10), (1.12) с помощью матриц обратного преобразования, а компоненты тензора Тц преобразуются по формулам (1.65) с помощью матриц прямого преобразования. Обозначим этот инвариант через С, т. е. [c.42]

Доказать, что ог а, а / — инвариант тензора напряжений. По правилу преобразования компонент тензора (2.27) [c.98]

Сделаем еще одно замечание корни уравнения (1.32) не должны зависеть от системы координат х, у, г значит, коэффициенты этого уравнения тоже не зависят от выбора координатной системы. Отсюда заключаем, что формулы (1.33) дают три функции от компонентов тензора напряжений (1.16), являющиеся инвариантами преобразования координат. Особое значение имеет первый из них—линейный инвариант [c.32]

При выводе уравнения (3.13а) для определения величины главных напряжений оси координат были выбраны произвольно,. Главные же напряжения при данном напряженном состоянии, имеют единственные значения. Отсюда следует, что коэффициенты кубического уравнения (3.13а) имеют одни и те же значения независимо от того, как были выбраны оси координат. Они не изменяют своей величины при изменении положения координатных осей. Иначе говоря, эти коэффициенты инвариантны к преобразованию координат. А так как эти коэффициенты составлены из компонент тензора напряжений, то они являются и его, инвариантами при преобразовании координат. [c.79]

Очевидно, что смешанные компоненты тензоров 25 в любых системах координат одинаковы, т. е. они являются инвариантами преобразования координат. Эти компоненты равны нулю или единице. [c.61]

Скалярные, векторные и тензорные функции, если не оговорено противное, предполагаются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты тензора в различных системах координат. При переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора подвергаются линейному однородному преобразованию. Тип тензора определяется законом преобразования его компонент. Объект называется скалярным (тензор нулевого ранга, инвариант), если в системе координат л он определяется функцией 5(л х ), такой, что при переходе к другой произвольной системе координат связь между 8 х Х , х ) и 5(л х ) в каждой точке имеет вид 8 х х ,х ) = х , х ). Другими словами, скалярные величины не меняются при переходе от одной системы координат к другой. [c.10]

Это выражение показывает, что диадная форма из компонент векторов X, Y переходит после преобразования R в такую же форму, но из компонент векторов X, Y. Причем коэффициентами при компонентах векторов до и после преобразования являются элементы тензора. Следовательно, последнее выражение справедливо, если инвариантно преобразуется диада. Это требование выполняется для линейного инварианта самой диады, т.е. при а = (3. [c.54]

Формулы (24) определяют преобразование компонент 9 Р тензора двух измерений 9 РсаСр при повороте осей С , j на угол и. Инварианты этого тензора равны [c.456]

Преобразование компонент. Главные напряжения. Главные инварианты. Можно повторить применительно к тензору напряжений сказанное в Приложении I о свойствах симметриЧ ного тензора. [c.27]

Для того чтобы найти зфашнения движения частей твердого тела, нужно знать объемные и поверхностные силы, действующие на эти части в процессе деформирования. Внешние силы должны быть заданы. Объемные силы могут быть найдены, коль скоро известна внутренняя энергия деформированного тела (поскольку в дальнейшем нас будут интересовать адиабатические процессы). Относительно внутренней энергии можно сказать, что она должна быть инвариантна относптельпо преобразования координат. С другой стороны, внутренняя энергия является функцией компонент тензора деформаций ), поэтому для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы внутренняя энергия завйсела от инвариантов тензора деформации (8.6) [c.294]

МИНКОВСКОГО ПРОСТРАНСТВО — четырехмер-ноо пространство, точки к-рого соответствуют событиям (см. Мировая линия) специальной теории относительности. М. п. дает удобное геометрич. отобран5с-ние релятивистской кинематики. Первые три координаты М. н, 1, 2- з действительны и соответствуют координатам х, у, z обычного трехмерного простраи-ства. Четвертая — мнимая координата x — i i, где с — скорость света, t — время события. Введение мнимой координаты сводит Лоренца преобразования специальной теории относительности к вращениям в М. п. При этом нет необходимости различать кова-риантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Основным инвариантом М. п. является квадрат длины четырехмерного радиус-вектора x j - --j- 3 +ж = не меняющийся при вра- [c.250]

В алгебре развита общая теория получения и свойств полиномиальных относительно компонент тензоров и векторов скалярных инвариантов относительно конечных групп преобразований. Для всякой ортогональной конечной группы С показано [ ], что всегда существует целый рациональный базис полиномиальных 1швариан-тов, представляющий собой конечное число скалярных инвариантных многочленов, составленных из компонент данных тензоров и векторов, такой, что через него можно выразить любой инвариантный многочлен, составленный из этих же компонент. [c.437]

Целый рациональный базис образует систему инвариантов относительно конечного числа преобразований группы О, но очевидно, что его элементы — полиномы из компонент данных тензоров — вообще не инвариантны относительно любых преобразований координат, хотя и содержат в своем числе такие 1шварианты. Число элементов целого рационального базиса, зависящее только от группы и от заданного набора тензоров и векторов, вообще больше числа независимых переменных компонент данной системы тензоров и векторов и, следовательно, элементы целого рационального базиса, вообще говоря, функционально зависимы. [c.437]

В других системах координат эти равенства вообще не будут выполняться. Однако эти равенства будут выполняться для всех преобразований координат, определенных группой С, так как при этих преобразованиях компоненты всех тензоров Ту,. .., Т инвариантны. Величины СО вообще не будут инвариантны относительно любых преобразований координат. Ясно, что некоторые со зависящие только от компонент тензоров Ту,. .., или только от компонент тензоров Т ,. .., Ту , не зависят от преобразования координат. Очевидно, что все величины со. как функции компонент тонзоров Тц , Ту можно рассматривать как инварианты относительно группы О. Таким образом, инвариантные коэффициенты в формуле [c.442]

В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества — пространство напряжений и пространство деформаций . Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и Вэ- Постулат изотропии (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в В зависит лишь от таких свойств траектории ъ Вэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям В д. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства 2)а, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор Эц, для которого 5арЭар — ЭацЭар). Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена — включает в себя лишь среды, закон материала для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида и т. д.) и скаляр- [c.94]

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной систсхмы координат к другой, и такие соотношения, которые не зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задается одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде u= / Rг== /гR Найдем скалярное произведение (и-и) -и Эта величина (квад- [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...