Производные компонент тензора ковариантные

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Векторные компоненты тензора V (aij) найдем по формулам (11.12), в которых вектор а нужно заменить тензором (aij), а компоненты а, Oj,, Оф — векторными компонентами />, Ру, тензора atj). Векторные компоненты тензора V (VS) определятся формулами (11.5), если положить, что не записанная в них функция равна V2. При этом производные в формулах (11.12) и (11.5) следует заменить ковариантными производными ковариантных векторов на основании (2 .60) [c.369]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Что такое ковариантные производные компонент векторов и тензоров Выведите формулы (I.I37), (1.138). [c.65]

Частое применение имеет теорема Риччи ковариантная производная компонент метрического тензора равна нулю. Это следует из соотношения [c.882]

Величины V/ai(V/a ) называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида [c.212]

В дальнейшем мы увидим, что уравнения движения в напряжениях (12.73), если их рассматривать совместно с реологическими уравнениями состояния как систему дифференциальных уравнений, гораздо сложнее уравнений (12.69), потому что ковариантная производная телесного тензора напряжений содержит нелинейные комбинации неизвестных переменных Yij, в то время как соответствующие компоненты ga в уравнениях для пространственного поля являются заданными функциями положения поля. Таким образом, использование телесных полей (в отличие от пространственных) приводит в общем случае к более простой форме реологических уравнений состояния, но к усложнению уравнений движения в напряжениях. Тем не менее некоторые задачи были решены целиком на основе телесного формализма, где решение в принципе всегда возможно. Уравнения движения в напряжениях в терминах телесных полей были даны Дюкером р], Грином и Зерна р [c.410]

Чтобы получить кинематические соотношения деформирования оболочки, необходимо ковариантные производные перемещений оболочки, входящие в трехмерные компоненты тензора деформаций Грина [c.279]

Понятие ковариантной производной естественным образом распространяется на компоненты тензоров произвольного типа. Так, [c.255]

При рассмотрении общих вопросов теории упругости и теории оболочек часто используют ковариантные производные компонент векторов и тензоров. Так, величины [c.13]

Вначале рассмотрим систему уравнений нелинейной динамики слоистой оболочки. Перейдем во всех тензорных уравнениях этой системы от компонент тензоров к их физическим составляющим, а от ковариантных производных — к частным. Эти операции осуществим, используя зависимости (1.1.5), (1.1.17). В физических составляющих соотношения упругости (2.1.1) принимают такой вид [c.69]

Отметим, что точка сверху лагранжевых компонент тензоров означает производную по t, кружочек же — компоненты скорости тензора, получаемые поднятием и опусканием индексов с помощью метрического тензора из ковариантных компонент. [c.136]

Выведем формулы ковариантного дифференцирования координатных векторов Рк. Для зтого будем рассматривать эти векторы как тензор первой валентности с векторными компонентами. Ковариантные производные таких тензоров выражаются по обычным формулам, в частности, для Г к имеем [c.38]

Следствием соотношения (2.17) является равенство нулю ковариантных производных компонент единичного тензора (теорема Риччи) [c.473]

Тензорный характер этих величин обнаруживается рассмотрением разности компонент тензоров третьего ранга —вторых ковариантных производных контравариантных компонент вектора а. Имеем [c.488]

Следовательно, по отношению к ковариантному дифференцированию компоненты фундаментального тензора ведут себя как константы. Это свойство в сочетании с операцией поднимания индексов (см. 1Л6) дает простой способ вычисления ковариантных производных от смешанных и контравариантных компонент любого тензора, ес.гш известны все ковариантные производные от его ковариантных компонент, [c.26]

Ковариантные производные образуют компоненты тензора. В самом деле, пусть — новая, а г], т) , г] — старая [c.80]

Определим теперь ковариантную производную контравариантных компонент тензора. Возьмем для конкретности тензор [c.80]

Аналогично можно построить ковариантную производную от контравариантных компонент тензоров любого ранга. [c.81]

Здесь через символ V . обозначена ковариантная производная по х , причем первые производные ж/ рассматриваются при фиксированных значениях индекса j как компоненты вектора по индексу г эти векторы определяют собой компоненты вектора скорости, соответствующие повороты, а при сравнении данного положения тела с некоторым мысленно вводимым начальным положением компоненты тензора, связанного с деформацией [c.467]

В декартовых координатах ковариантные производные от компонент тензора первого ранга равны их частным производным в обычном смысле. В общем случае, как видно из формул (1.28), ковариантные производные являются комбинацией всех компонент тензора. [c.17]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Ковариантные производные компонент метрического тензора раины нулю (теорема Риччи),, т. е. Vftgij= — 0. Поэтому компоненты метрического [c.61]

Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что н для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и дискриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные. [c.212]

Напряжение (или экстранапряжение) зависит от предыстории уц. Поэтому компоненты телесного тензора напряжений (или экстранапряжений) также не будут зависеть от I. Следовательно, ковариантная производная этого тензора окажется равной нулю, так как она сводится к частной производной д/д1 где Ytj не зависит от I и, следовательно, можно констатировать однородность напряжения. [c.415]

Рассмотрим теперь линеаризованные уравнения динамической устойчивости. Для характеристик невозмущенного движения (основного состояния) и для их вариаций используем прежние обозначеня. Во всех тензорных уравнениях задачи устойчивости перейдем от компонент тензоров к их физическим составляющим, а от ковариантных производных — к частным. Такой переход в соотнощениях [c.72]

Здесь Sa— изменение во времени градиента компонента тензора дпс-торсии, а = 1, 2,., , , 9 Л — градиент компонента тензора дисторсии, отражающий калибровочное поле t — предельная скорость распространения калибровочного поля в структурно-неоднородной среде —градиент компонента тензора изгиба-кручения —структурные константы, учитывающие, что калибровочные поля образуют алгебру Ли Я — генераторы группы GL(3) —источники калибровочных полей, связанные с изменением репера т] во времени — потоки, обусловленные изменением репера в пространстве D — = — XMv — ковариантная производная S , 2 — компоненты тенг зора напряженности калибровочного поля Сйр — упругие константы р — плотность материала I — размерный параметр структурных уровней деформации среды. [c.11]

Таким образом, для производной по времени от ковариантных компонент тензора 1к ) (нижняя производная Олдройда) получаем следующее выраже- [c.316]

Ковариантные производные. Ковариантные производные выражаются чёрез обычные частные производный по соответствуодим координатам, исходные компоненты и символы Кристоффеля. Дня ковариантных компонент тензора Ф ранга г соответствующе формулы таковы [c.25]

Ковариантные производные, дифференциальные операторы. Если f — векторное поле, то его градиент Vf является тензорным полем. Компоненты тензора Vf всех четырех возможных типов называются ковариантными производными поля f. Они записыбаются следующим образом [c.519]

Таким образом, можно рассматривать как дваады ковариантные компоненты тензора градиент О , а Oi, - как смешанные компоненты того же тензора. Производной тензора Т по направлению, определяемому единичным вектором tj, является скалярное произведение . [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...