Компоненты тензора (вектора) физические

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения получают только в круговой цилиндрической и сферической системах координат (см. 1 настоящей главы). Этим исчерпываются возможности метода разделения переменных в его классической формулировке применительно к задачам дифракции для тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Для тел, ограниченных достаточно гладкими цилиндрическими поверхностями, в предыдущем параграфе решение задачи дифракции сведено к решению бесконечных алгебраических уравнений. Большинство числовых результатов [59—62] получено с помощью приближенного метода возмущения формы границы , предложенного в работе [31]. Заметим, что метод применяется для приближенного вычисления компонентов тензоров, векторов и скаляров различной физической природы в криволинейной цилиндрической системе координат. Сущность метода состоит в получении последовательности краевых задач в цилиндрической системе координат, причем в каждом приближении решаются в круговых координатах одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в краевые части граничных условий. Тем самым исключается необходимость построения частных решений, что далеко не всегда удается реализовать. [c.58]

Тензором называют физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3 чис л — компонент тензора. Число п определяет ранг тензора. Так, например, вектор аналитически определяется системой трех чисел — проекций вектора на оси координат или компонент вектора, а потому он является тензором первого ранга, так как 3" = 3 п /1=1. [c.110]

Подчеркнем с самого начала, что, так же как в случае вектора, компоненты тензора Ь являются функциями координат, определяющими поле тензора Ь. Компоненты тензора вариант-ны, т. е. зависят от выбора координатной системы, в которой они записаны, но совокупность компонент в целом определяет единую физическую величину, имеющую вполне конкретный объективный смысл и, как все физические величины, не зависящую от выбора направлений осей координат. [c.116]

Равенства Коши (12) гл. VII можно рассматривать как линейную векторную связь между физическими векторами и п, а коэффициенты рп, р2 и т. д.— как компоненты физического тензора, который, как уже упоминалось в 30, называется тензором напряжений и будет обозначаться заглавной буквой Р. Название это объясняется тем, что компонентами тензора Р являются касательные и нормальные напряжения в данной точке среды. [c.129]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

Физические проекции вектора перемещения и в цилиндрической системе координат (г, ф, х ) обозначим через Ur. Ыф, из, а физические компоненты тензора деформации — через е , е г, гф, e z, егт- При помощи формул (1.49) и (1.50) находим [c.53]

В сферической системе координат (г, ф, физические компоненты вектора перемещения и обозначим через Нг, ф, а физические компоненты тензора деформации в той же системе координат—через вгг, е,рф, ещ, вщ, е г- Согласно формулам (1.49) и [c.54]

Перейдем к исследованию характера многозначности этих функций сперва для случая конечной и затем — бесконечной многосвязной области. Ясно, что физически компоненты тензора напряжений должны быть однозначными в области такое же условие наложим и на вектор перемещения. Поэтому, согласно формулам (6.69), [c.124]

В предыдущей главе были получены основные дифференциальные уравнения, описывающие поведение упругих сред при деформировании, а также найдены выражения для краевых значений вектора напряжений посредством компонент тензора напряжений или смещений. Для рещения конкретных физических задач необходимо теперь перейти к корректной математической постановке краевых и начальных задач теории упругости. [c.242]

Нетривиальные результаты получаются в том случае, когда рассматривается многосвязная область, т. е. область, ограниченная совокупностью контуров Ц, 1, 2,. .., Lm, из которых 1,. .., Ьт расположены вне друг друга, а контур о охватывает все остальные. Компоненты тензора напряжений и вектора смещений будем по-прежнему считать однозначными функциями. В [38] предложена физическая трактовка того случая, когда смещения можно считать неоднозначными функциями. Тогда из условия однозначности выражения ReФ( ) будет следовать, что сама функция Ф(г) определяется с точностью до слагаемого в виде суммы [c.373]

Получим выражения для комбинаций (1.48) и (1.49) физических компонент тензора напряжений и вектора перемещений в системе координат р (х, у) и в (х, у) через комплексное переменное Для этого во всех функциях комплексного переменного 2 проведем замену переменной 2 = х ( и сохраним для краткости прежние обозначения для новых функций [c.503]

Выразить физические компоненты тензора бесконечно малых деформаций через физические компоненты Uj-, а, г вектора перемещения. [c.88]

Физические компоненты тензоров и векторов. В криволинейных координатах векторы локального базиса (14) не нормированы, и компоненты векторов и тензоров в этом базисе измерены в каждой точке в своих единицах, которыми служат длины базисных векторов. Но для практики представляют интерес компоненты, измеренные в одних и тех же единицах, не зависящих от системы координат, т. е. в нормированных базисах. Рассмотрим ортогональную систему координат с единичными [c.214]

Особенностью теории тонких оболочек является то обстоятельство, что физические компоненты тензоров и векторов вводятся в недеформированной и деформированной метриках срединной поверхности, так что, например, [c.106]

Отметим, что физические компоненты тензора Q = связаны с физическими компонентами вектора поворота [c.45]

Вектор напряжений 5 и компоненты тензора напряжений суть напряжения на неподвижных в пространстве геометрических всегда взаимно ортогональных площадках, т. е. на тех физических плош,ад-ках, которые в момент времени t совпадают с этими геометрическими площадками. [c.201]

Легко убедиться, что векторы [бф йг] представляют собой смещения точек твердого тела, поворачивающегося около оси, совпадающей с направлением бф, на угол бф. Поэтому деформацию в малой области вблизи точки г определяет только симметричная часть тензора или Необъясним физический смысл отдельных компонент тензора [c.305]

В декартовой (т. е. ортогональной прямолинейной) системе все эти величины равны и являются компонентами тензора Т. Различные физические величины отражают лишь частные аспекты значения вектора или тензора поэтому не следует использовать эти величины до тех пор, пока не указаны их специфические свойства. [c.14]

Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор Тх — напряжение на площадку, перпендикулярную оси X (рис. 8) [c.54]

Итак, в каждой точке жидкосги или газа имеется бесчисленное множество векторов напряжений р, , зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10) или (12) через значение тензора напряженности в. данной точке. Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно, от выбора координат. [c.88]

Среди физических величин нас в первую очередь будет интересовать вектор напряжепий сг, который может быть построен совершенно аналогично вектору деформаций е. При заданном давлении р = —а напряжения определяются пятью независимыми компонентами тензора девиатора напряжений Sij. Введем пространство напряжений, в котором задается вектор напряжений сг с координатами ji,. .., а , причем последние связаны с Sij соотношениями, аналогичными (7.24) [c.179]

Физическими компонентами тензора напряжений аф называются проекции векторов Р ) по осям Эi. Они определяются из равенств [c.99]

Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, связывающие между собой различные размерные величины Qt, среди них — геометрические и механические координаты и перемещения X, и=дс—X, время /, скорость V, ускорение лу, векторы базиса Э1, массовая Р и поверхностная Р > силы, напряжения физические 01/, компоненты тензора напряжений 5//, деформации е//, скорости деформаций Vi , работа Л, мощность R, кинетическая энергия К, различные механические константы среды — модуль упругости Е, коэффициент вязкости 1 и ряд других термодинамические температура 7, количество тепла Q, тепловой поток д, внутренняя и свободная энергия и, -ф, энтропия 5, рассеяние ш, коэффициенты теплоемкости с, теплопроводности X, расширения а и т. д. и величины р электромагнитной (Е, Н, в, о. е. . . ) и другой природы. [c.278]

В обычном физическом пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов, и любой вектор в этом пространстве полностью задается своими тремя компонентами. Поэтому индексы у величин представляющих вектор а в физическом трехмерном пространстве, принимают значения 1, 2, 3. Согласно этому, подразумевают, что символ а,- представляет сразу три компоненты а , а. , а . Таким образом, иногда символ можно толковать как -ю компоненту вектора, а в других случаях — как сам вектор. В трехмерном пространстве, где оба индекса / меняются от 1 до 3, символ Ац представляет девять компонент тензора второго ранга А. Часто тензор Лу задают подробно, записывая все девять его компонент в виде квадратной таблицы, заключенной в большие скобки [c.21]

Величина ри би — скаляр. Чтобы выяснить физический смысл этого абсолютного скаляра, перейдем к контравариантным компонентам вектора скорости в эйлеровых переменных, так как в лагранжевых переменных метрический тензор зависит от компонент тензора деформаций и подлежит варьированию. При переходе к новым переменным скаляр не изменится. Обозначив контравариантные компоненты вектора скорости в переменных Эйлера найдем [c.29]

Соотношения типа (1. ) называются формулами преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заметим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа (1.2), называется симметричным тензором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие ). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно- [c.19]

Условимся через [х обозначать параметры,которые в принятой системе отсчета могут быть переменными, а через — физические постоянные. Некоторые из параметров А могут быть компонентами различных векторов и тензоров. [c.197]

Тензор есть физическая величина, которая устанавливает связь между двумя или более векторами. Если вектор р зависит от вектора q, то каждая компонента р будет зависеть от всех компонент д, так что мы можем записать, используя компоненты векторов [c.216]

Определение физических компонент тензоров второго ранга несколько сложнее. В математической физике физический смысл имеют скалярные и векторные величины. Если появляются тензорные величины, то физические компоненты следует определить в терминах скалярных и векторных величин. Вектор из тензора можно получить, например, если применить операцию свертки произведения тензора на вектор. [c.13]

Начальные деформации Если начальное состояние реально осуществимо, то можно ввести перемещения от начального состояния к актуальному. Компоненты тензора деформаций в этом случае выражаются через компоненты вектора гс и удовлетворяют уравнениям совместности. Если же начальное состояние не может быть осуществлено в реальном физическом пространстве, то Егу не удовлетворяют уравнениям совместности. В этом случае иногда вводят некоторое промежуточное характерное состояние (начальное состояние без кавычек) с метрическим тензором так, что перемещения от состояния к состоянияю " можно ввести. Тогда [c.310]

М. II. наряду с полем i5 составляют компоненты единого тензора электромагнитного поля. Т. о., М. и. следует рассматривать как величину, органическд связанную с вектором /. Физически это проявляется во взаимных преобразованиях полей В а JS при переходе из одной пперцпальной системы отсчёта и другую (см. Лоренца преобразование для полей). [c.656]

Обычно при решении задач ОМД нахождение компонент тензора связывают не с малыми деформациями (1.2.70) по формуле (1.2.138), а с определением их с помощью вектора скорости V по формуле Док.Стокса (1.2.137), которую с учетом (1.2.90) можно получить из (1.2.138) путем подстановки в нее малых деформаций, определяемых кинематической формулой О.Коши (1.2.70). С другой стороны, физический смысл компонент легко устанавливаегся именно с помощью формулы (1.2.138) диагональные компоненты тензора скоростей деформаций характеризуют изменение во времени линейных размеров окрестности движущейся матфиальной частицы, а боковые - ее угловых размеров. Поэтому диагональные компоненты ( =к) тензора назьшают скоростями деформации изменения линейных размеров, а боковые компоненты (i к) - скоростями деформации изменения угловых размеров или сдвиговыми скоростями деформаций. [c.55]

Здесь а,,с,г — компоненты тензоров в некоторой фиксиро-ванио11 системе координат физического пространства. При этом использована saivena индексов (2.1.12). Кроме того, первы11 тензор в (8.1) рассматривается как радиус-вектор введенного векторного пространства. [c.155]

Одно из следствий неединичности базисных векторов заключается в том, что следует проводить различие между физическими компонентами тензора (которые обязательно однородны по размерности) и тензорными компонентами (которые могут не быть од- [c.469]

Рассмотрим поле напряжений и уируговязкоиластические соотношения. Нормальное напряжение, действующее в сечении балки или пластины, определяется функцией а(в, вз, t) по ширине балки напряжения считаются неизменяющимися. Эго напряжение представляет собой одну из главных физических компонент тензора х -, причем а x A ) , и выражает напряжение по направлению касательного вектора в текущем деформирован- [c.57]

Тензор — это упорядоченная совокупность девяти чисел (представляющих физические величины), которые называются компонентами тензора и зависят от выбранной системы координат они преобразуются при изменении системы координат, как произведения координат. Напоминаем, что вектор есть упорядоченная система трех чисел, которые преобразуются при измепеиии системы координат так же, как координаты. Скаляр (число) не изменяется прн преобразовании координат. Умножение тензора на число сводится к умножению каждой компоненты на это число. [c.229]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

ЧИСЛО компонент тензора равно 3", где N—порядок тензора. Тензор нулевого ранга задается в любой системе координат в пространстве любого числа измерений одной компонентой такие тензоры называются скалярами и выражают физические величины, характеризующиеся только численным значением. Тензоры первого ранга имеют три координатные компоненты в трехмерном пространстве, называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как численным значением, так и направлением. Тензоры второго ранга называются диадиками и описывают некоторые характеристики, важные в механике сплошной среды. При математическом изучении механики сплошной среды также определяются и часто используются тензоры более высокого ранга, в частности третьего и четвертого (триадики и тетрадики). [c.10]

Тензор Пги называется тензором деформации. Очевидно, тензор й симметричен, т. е. Нгй=Ий(- Обратим внимание на то, что нелинейно зависит от производных вектора смещения. Поскольку такого рода нелинейность не связана с физическими свойствами тела, ее принято называть геометрической нелинейностью. В большинстве случаев деформации г/гй малы по сравнению с единицей, поэтому нелинейная добавка в выражении (1.1) представляет собой величину второго порядка малости. В линейных задачах этой добавкой пренебрегают и оперируют с линеаризованным тензором деформации иц1 = /2 ди1/дх дик/дх1). В таком приближении из (1.1) следует, что диагональные компоненты тензора — величины ц, 22. Нзз — представляют собой относительные удлинения (йх —йх1)/с1х1 вдоль соответствующих осей, а недиагональные компоненты (при 1фк) — половины углов сдвига выделенного элемента объема тела в плоскостях х х.,, х,Хз и Х1Х3. След тензора — сумма диагональных компонент иц — представляет собой относительное изменение объема тела иц=(с1У —йУ) йУ. В соответствии со сказанным величины й при =к называют деформациями растяжения (сжатия), а при 1= к — деформациями сдвига. [c.189]

Найти выражения даш физических компонент тензора деформаций черёз физические компоненты вектора перемещения (ли-. нейная теория) в цилиндаической и сферической системах координат. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...