Определение вектора смещений по компонентам тензора деформаций

Для того чтобы выразить компоненты эйлерова и лагранжева тензоров деформаций через вектор смещения U в произвольной системе координат, воспользуемся определением вектора смещения [c.68]

Определение вектора смещений по компонентам тензора деформаций [c.81]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Вообще говоря, после определения смещений в нескольких близко расположенных точках граничной поверхности можно, вычислив деформации, сообразуясь с известными значениями вектора напряжений (заданного по постановке задачи), определить и остальные компоненты тензора напряжений. [c.580]

При определении тензора комбинационного рассеяния первого порядка мы рассматривали возбуждение оптического фонона, описывающего смещения атомов решетки и обусловленное ими возмущение периодического потенциала и электрон-решеточное взаимодействие. Возбуждающий и рассеянный свет характеризуется малыми волновыми векторами k <С Вн (где Вн — вектор обратной решетки), поэтому фонон также имеет малый волновой вектор, который полагается равным нулю. Для акустических колебаний с А = О, которые играют аналогичную роль в бриллюэновском рассеянии, главный член электрон-фононного взаимодействия пропорционален компонентам деформации. Если для комбинационного рассеяния тензор Pa разлагается по степеням смещений, то для бриллюэновского рассеяния необходимо проводить разложение по степеням [c.315]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Перейдем теперь к определению понятия деформации. Под действием приложенных к телу сил точка с координатами внутри тела перемещается на величину вектора смещения и(Х1). Если вектор смещения одинаков для всех точек тела, то происходит перемещение тела как целого. Если же смещение внутри тела неоднородно, т. е. имеется градиент смещения между двумя соседними точками, то расстояние между ними изменяется. Это приводит к тому, что малый элемент объема, скажем кубической формы, претерпит йзменения размеров и формы (и станет параллелепипедом). Мерой этих изменений служит тензор градиентов смещений, девятью компонентами которого являются значения ди- дх, (/, 3). Однако лучше использовать сим- [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...