Матрица компонент тензора второго ранга

В прямоугольной декартовой системе координат основной и взаимный базисы совпадают, матрицы (gij) и (g i) единичны, поэтому нет разницы между ковариантными, контравариантными и смешанными компонентами тензора к нет смысла в верхнем и нижнем написании индексов. Все индексы можно писать только внизу. Матрица компонент тензора второго ранга в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид (1.64). [c.37]

Формулы (7) и (9) имеют структуру, свойственную формулам преобразования диагональных элементов в матрице компонентов тензора второго ранга [см. юрмулы (a)j,2 в сноске на стр. 17]. [c.18]

Сокращенно матрицу, в которую выше были сведены компоненты тензора второго ранга можно изображать одной буквой с индексом, характеризующим природу компонентов тензора [c.772]

Согласно (1.65) получили закон преобразования компонент тензора второго ранга. Следовательно (IV.4) — матрица компонент симметричного тензора второго ранга, называемого тензором напряжений Т . Матрица (IV.7) его контравариантных компонент также симметричная, т. е. [c.117]

Чтобы описать конкретный тензор, задают его значения относительно базиса. Обычно совокупность компонентов тензора второго ранга для наглядности записывают в форме матрицы, например, в трехмерном случае [c.530]

В тензорном исчислении существует так называемое полярное разложение произвольного неособого тензора второго ранга. Оно состоит в том, что такой тензор можно представить произведением симметричного положительного (с положительными главными компонентами) тензора второго ранга на тензор второго ранга с ортогональной матрицей ). Если такое представление применить к градиенту деформации Р, то в результате получится [c.126]

Величины теплопроводности "кгв являются компонентами тензора второго ранга. Для дальнейшего изложения важен пересчет компонентов тензора теплопроводности из одной системы прямолинейных координат в другую. Направляющие косинусы между осями обозначены в матрице [c.105]

Тензоры второго ранга (N—2) имеют в трехмерном пространстве девять координатных компонент л = 3 =к Тензор второго ранга называют также диадиком. Обозначим компоненты диадика через ац (i, /=1, 2, 3). Тогда диадик можно записать в виде матрицы в круглых скобках [c.9]

Функции X, ЯВЛЯЮТСЯ компонентами некоторого симметричного тензора второго ранга, который можно представить при помощи следующей матрицы [c.452]

Симметричный тензор второго ранга поворотом системы координат можно привести к главным осям X, Y, Z, в которых все недиагональные компоненты тензора обращаются в нуль, и вместо матрицы (1.3) можно написать [c.13]

При описании трехмерной фильтрации в анизотропных средах закон Дарси записывают в векторном виде, где коэффициент фильтрации является тензором второго ранга с симметричной матрицей, которая имеет диагональный вид в главных осях анизотропии. По структуре трубный пучок аналогичен грунтам с трансверсальной (осесимметричной) анизотропией, у которых два главных компонента тензора коэффициента фильтрации равны между собой (слоистые породы). [c.183]

Могут ли образовывать компоненты симметричного тензора второго ранга несимметричную матрицу [c.42]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Уравнение (1.82) инвариантно относительно выбора системы координат. Следовательно, его коэффициенты /i, /3, /3 составленные из смешанных компонент тензора, инвариантны. Они называются инвариантами симметричного тензора второго ранга. Первый, или линейный инвариант равен сумме элементов матрицы (Т /), стоящих на ее главной диагонали, [c.44]

Было бы смешением понятий отождествлять матрицу с тензором. Последний является самостоятельной физической величиной, задание которой требует знания этой матрицы. Основываясь на законах преобразования (1.3.6), (1.3.7), можно дать второе определение тензора второго ранга как физической величины, компоненты которой подчиняются этим законам при преобразовании поворота координатной системы. [c.804]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Детерминантом тензора второго ранга называется определитель матрицы его смешанных компонент [c.12]

Ясно, что Ф — матрица, составленная из смешанных компонент симметричного поверхностного тензора второго ранга, зависящего от z как от параметра. Обозна- [c.43]

Заметим, что dxi представляет собой тензор первого ранга, но ни компоненты координат, ни матрица направляющих косинусов "к а, вообще говоря, не являются тензорными величинами. Поэтому, хотя всегда можно записать компоненты вектора в виде матрицы-столбца и тензора второго ранга в виде прямоугольной матрицы, обратное утверждение не всегда верно. [c.464]

Диэлектрическая проницаемость Sij, проводимость Опт и другие физические величины, связывающие в линейном соотношении два вектора, являются тензорами второго ранга, и их компоненты принято обозначать с двумя индексами [6]. К тензорам второго ранга относятся также механическое напряжение и механическая деформация Хтп. Тензоры второго ранга, описывающие те или иные свойства вещества, симметричны (характеризующая их матрица симметрична относительно главной диагонали), поэтому максимальное количество компонент не превышает шести. Ряд свойств кристаллов и текстур, перечисленных в табл. 1.1, описываются тензорами более высокого ранга — третьего и четвертого. Их компоненты записываются соответственно с тремя и четырьмя индексами. Частично свойства этих тензоров рассмотрены з гл. 5—7, более подробно — в [6, 9—11]. [c.19]

Это — линейный электрооптический эффект. Коэффициент пропорциональности Гщ в уравнении (25.2) называют электрооптическим коэффициентом. Поскольку а, как и е, является тензором второго ранга, а Е — вектором, то г — тензор третьего ранга. Матрица компонентов тензора г,- для кристаллов различной симметрии совпадает с матрицей пьезомодулей (см. табл. 22,1). [c.255]

Изменение порядка индексов у тензора второго ранга эквивалентно перемене местами строк и столбцов в соответствующей ему матрице следовательно, квадратная матрица Л симметрична, если она равна своей транспозиции. Таким образом, симметричная матрица Л третьего порядка имеет только шесть независимых компонент и записывается в виде [c.35]

Таким образом, хотя и введенная в 6 гл. I матрица Г и введенная выше матрица S определяют симметричные тензоры второго ранга, однако эти два тензора заданы нами в двух по существу различных системах координат. Несколько ниже тензор напряжения будет преобразован к декартовой системе координат точек тела до деформации. Тогда его компоненты при повороте координат осей будут преобразовываться по закону, идентичному формулам I (6.4). Можно было бы поступить и наоборот—-определить тензор деформации в декартовой системе координат точек тела после деформации. Однако последнее было бы равносильно отказу от материальных координат и переходу к пространственным координатам, что было признано в начале первой главы нерациональным. [c.64]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Здесь первый номер означает номер строки, второй — номер столбца. Нормальные напряжения имеют два одинаковых индекса (диагональ матрицы), касательные напряжения имеют разные индексы. Такой тензор называют тензо-ром второго ранга (по числу индексов Лг у компонент). [c.8]

Очевидно, что у и г у являются компонентами симметричных тензоров соответственно четвертого и второго ранга. Поэтому первый из них можно представить в виде матрицы 6x6 [ У] с компонентами [c.244]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

О. о. является частным случаем анизотропии распределения проекции угл. момента н атомном ансамбле, возникающей под действием света. В общем случае такая анизотропия описывается тензором ранга 2Jq (статис-тич. тензор). Ориентации соответствует вектор, компоненты к-рого включаются в матрицу компонент тензора. Кроме ориентации вторым важнейшим типом анизотропии служит выстраивание, описываемое тензором второго ранга. Выстраивание возможно при /о 1. [c.441]

Тензоры высших рангов. Свертывание индексов. Условимся называть скаляр тензором нулевого, вектор — первого ранга. Из трех родов операций над двумя векторами а, Ь диадного, векторного и скалярного умножения — наиболее общей является первая с ее помощью из двух тензоров первого ранга образуется тензор второго ранга аЬ, задаваемый матрицей компонент asbth ранг этого тензора понижается на единицу при сопоставлении ему тензора первого ранга — сопутствующего вектора Он понижается на две единицы [c.811]

При использовании смешанных компонент тензора в фиксированном простом полибазисе имеет место соответствие между алгеброй тензоров второго ранга и алгеброй матриц в том смысле, что линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация матриц смешанных компонент, а произведению тензоров соответствует произведение матриц. При замене базиса по формулам (1.5), (1.7) матрица смешанных компонент заменяется подобной матрицей. Благодаря такому соответствию, многие понятия и факты из теории матриц соответствующим образом переносятся на тензоры второго ранга. [c.11]

Под тензором X , обратным к тензору второго ранга X, принадлежащему поверхности, будем понимать тензор второго ранга, также принадлежащий поверхнбсти и удовлетворяющий соотношению X- X=X-X- =G. Матрицы, смешанных компонент тензоров X и Х- взаимно обратиы. [c.48]

Покажем, что компоненты образуют тензор второго ранга, т.е. при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов (П1.17) эти компоненгы изменяются по закону (П1.26) прн ранге и = 2. [c.89]

Так как в трехмерном пространстве можно любой тензор второго ранга выразить в девятичленной форме (1.53), а компоненты его записать в виде квадратной таблицы (1.62), оказывается крайне полезным представлять тензоры второго ранга (диадики) квадратными матрицами третьего порядка. Тензор первого ранга (вектор) можно записать либо в виде строки, т. е. (1 X 3)-матрицы, либо в виде столбца, т. е. (3 X 1)-матрицы. Хотя каждый декартов тензор, ранг которого не выше двух (диадик, вектор, скаляр), можно представить матрицей, не каждая матрица представляет тензор. [c.33]

Обозначим через g элементы матрицы, обратной к g j, g " g a = Величины g = diag (1, —1, —1, —1) представляют собой компоненты контравариантного тензора второго ранга. [c.358]

Основная идея доказательства этой теоремы заключается в том, что тензор в любой системе координат определяется пятью независимыми параметрами, и при ортогональных преобразованиях координат новые значения параметров линейно выражаются через старые. Такими же свойствами обладает симметричный тензор второго ранга А( , для которого 5рЛ = 0 (Л Л,матрица коэффициентов). Если нам удастся инвариантным способом установить взаимно однозначное соответствие меяеду компонентами тензора и симметричными матри- [c.47]

Очевидно, что SjlLi и е°/ являются компонентами симметричных тензоров четвертого и второго рангов соответственно. Поэтому первый из них можно представить в виде матрицы 6X6 ] [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...