Тензор скалярные компоненты

Симметричным тензором называется тензор, скалярные компоненты которого удовлетворяют условию [c.613]

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Следовательно, напряженное состояние жидкости в точке определяется шестью независимыми скалярными величинами, три из которых Являются нормальными напряжениями, а три другие — касательными. Совокупность девяти величин типа рц, связанных соотношениями (3-5), образует тензор напряжений, для которого величины рц являются скалярными компонентами, [c.63]

Так как скорость диссипации должна быть существенно положительной независимо от величин Uq и о>, то должны выполняться определенные неравенства, налагаемые на компоненты тензора С , с одной стороны, и на компоненты тензоров К и с другой. Для их получения рассмотрим произвольную систему декартовых координат. Пусть (Uo), (о)), (F) и (То) — столбцы, скалярные элементы которых совпадают с соответствующими скалярными компонентами этих векторов, и пусть (К), (йо) и (Со) — квадратные матрицы ранга 3x3, элементами которых являются компоненты соответствующих диадиков. Тогда (5.4.1) и (5.4.2) можно записать при помощи матриц следующим образом [c.205]

При решении конкретных задач в механике сплошной среды вводят различные физические величины скаляры, векторы, тензоры. Скалярные величины не зависят от системы координат. Векторы и тензоры характеризуются своими компонентами, которые изменяются при переходе от одной системы координат к другой. [c.524]

Числа р ) называются скалярными компонентами тензора л. Пусть в любой системе координат определена матрица n=[p J , тогда имеет место следующая теорема. [c.613]

Ро + векторов тензор 5 называется суммой двух тензоров лир, если его скалярные компоненты образованы по правилу [c.613]

НО так как величина р ц, и 7, —скалярные компоненты тензора, то они связаны с величинами и формулами [c.618]

Очевидно, что —тензор. Докажем, кроме того, что / —диада. Согласно определению, скалярные компоненты тензора вычисляются по формуле [c.618]

Пусть даны тензоры А, В с компонентами aik и bik. Скалярное произведение тензора А на тензор В (А, В)есть новый тензор Т, компоненты которого вычисляются по формулам [c.48]

Мы видим, что тензор при этом воздействует на один из базисных векторов, после чего результирующий вектор скалярно умножается на другой базисный вектор. Ясно, что при помощи уравнения (1-3.16) можно получить девять компонент тензора, которые представляются обычно в виде матрицы размером 3x3. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. [c.23]

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов. [c.26]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Укажем теперь процедуру, по которой, зная движение, можно вычислить компоненты тензоров Коши и Фингера. Пусть три скалярные проекции векторного уравнения (3-1.1) в координатной системе x имеют вид [c.96]

Различие между функцией и функционалом заключается в том, что, в то время как аргументом функции является некоторая величина (будь то скалярная, или векторная, или тензорная), аргументом функционала является функция. Здесь возникает некоторое затруднение, поскольку тензоры сами были определены как функции однако специальное свойство линейности предполагает, что тензоры однозначно определены их девятью компонентами, так что функцию тензорного аргумента можно рассматривать фактически как функцию девяти скалярных аргументов. [c.135]

Скалярный коэффициент Ь может линейно зависеть от компонентов тензоров Я и 5, но только от таких комбинаций, которые не зависят от направления осей координат в рассматриваемой точке, т. е. он может зависеть от л и н е й н ы х инвариантов тензоров Я и 5. Эту зависимость можно получить из (29), приравняв линейные инварианты обеих частей. Получим [c.553]

В каждой точке пространства и в каждый момент времени i тензоры имеют свои значения, образуя тензорное поле. Последнее называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты тензора являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х, t. Если компоненты тензора не зависят от времени t, то тензорное поле называется стационарным. Поля тензоров в индексных обозначениях можно записать в таком виде скалярное поле ф = ф(х,-, t) или <р = ф(х, ) векторное поле v = v(xi, t) или г>=г(х, t) поле тензора второго ранга aa = aij(xt, t) или au = aij(ii, t). [c.15]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Рассмотрим некоторые обобщения понятий, введенных в 204. Скалярные и векторные поля представляют собой частные случаи тензорных полей. Тензорным полем называется часть пространства, каждой точке которого можно поставить в соответствие определенное значение компонент тензора. Тензор, определенный этими компонентами, является функцией точки поля или ее радиуса-вектора. [c.385]

При вычислении компонентов тензора деформаций Sij (Wak) необходимо учитывать, что система (х, у) для Т/является аффинной так как компонент номер а вектора Wak равен соответствующей скалярной базисной функции, то на Тг. [c.171]

Примеры тензоров второго ранга (ранга 2). Как показывает формула (1.13), совокупность скалярных произведений (е,-, ej) векторов базиса (неортогонального) представляет собой совокупность координат некоторого тензора ранга 2 этот тензор называется метрическим. В ортонормированном базисе компоненты метрического тензора определяются по закону (1.14) совокупность чисел, обладающих свойством (114), называется символом Кроне-кера (или дельта-тензором) и обозначается через б,-/ по определению [c.311]

Таким образом, П, есть i-я компонента количества импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси Xk- Тензор П/ называют тензором плотности потока импульса. Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга. [c.29]

Далее, поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени в качестве них можно выбрать квадрат uh суммы диагональных компонент и сумму ujk квадратов всех компонент тензора Щк- Разлагая F по степеням мы получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида [c.21]

В связи с применениями тензорной алгебры в механике сплошных сред, необходимо познакомиться со свойством инвариантности, т. е. независимости от выбора системы координат, некоторых скалярных совокупностей компонент тензоров второго ранга, именуемых инвариантами тензора. [c.124]

Сумму попарно взятых компонент двух тензоров ( свертку по обеим индексам) примем за определение скалярного произведения двух тензоров и перепишем равенство (146) окончательно так [c.254]

Подобно тому как скалярная величина может быть задана одним числом, а векторная величина — тройкой чисел, тензор инерции тела определяется девятью величинами — компонентами тензора У У у, [c.561]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Тензм Ж зависит от структуры пористой среды. Скалярные компоненты тензора Ж должны определяться экспериментально. В соответствии с геометрической капиллярной моделью Козени Ж пропорционально №/(1—/7)2. Для пространственно-периодической модели Ж является симметричным даже в случае анизотропных пористых сред, а именно [c.316]

В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества — пространство напряжений и пространство деформаций . Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и Вэ- Постулат изотропии (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в В зависит лишь от таких свойств траектории ъ Вэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям В д. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства 2)а, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор Эц, для которого 5арЭар — ЭацЭар). Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена — включает в себя лишь среды, закон материала для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида и т. д.) и скаляр- [c.94]

Здесь V — трехмерное линейное пространство с топологией, которая создается нормой с равномерной сходимостью. Шестимерное линейное пространство симметричных тензоров с компонент тами обозначено как по следующим причинам. Уравне-1 ние (2.6.1) имеет форму, соответствующую той, которую предпи- сывает теория градиента первого порядка для определяющих величин в механике (в выражение виртуальной работы входят самое большее только первые пространственные градиенты от V ). Так как тензор 1 должен быть объективным и необходимо инвариантно при преобразованиях (2.5.2), то ввиду тривиальной инвариантности скалярного произведения сомножитель при 1 в выражении для должен быть объективен а этот сомножитель есть не что иное, как тензор скоростей деформации О причем О — объективная часть первого пространственного градиента от V (ср. соотношения (2.3.4) и (2.3.5)). Среди возможных полей пространства у некоторые представляют особый интерес. К ним относятся виртуальные поля скоростей абсолютно твердого тела, занимающего объем 5г. Согласно уравнению [c.110]

Поток импульса, обусловленный переносом импульса, есть тензор с компонентами pv v . (г,А =1, 2, 3). Объемные силы мы будец считать отсутствующими. Поэтому сила, приложенная к объему, равна результирующей напряжений, приложенных к поверхности объема. Тензор этих напряжений обозначим через 7 ,. .. Он складывается из скалярного давления р и вязких напряжений 8. [c.10]

До сих пор мы не упоминали о скалярных величинах и их поведении при изменении системы отсчета. Не рассматривая таких скаляров, которые могут изменяться даже в рамках одной системы отсчета (например, компоненты векторов и тензоров), мы вновь видим, что все остальные делятся на две категории по отношению к изменению системы отсчета, а именно на нейтральные и ненейтральные. [c.39]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Будем считать недеформированным состояние тела при отсутствии внешних сил при некоторой заданной температуре Тц. Если тело находится при температуре Т, отличной от То, то даже при отсутствии внешних сил оно будет, вообш,е говоря, деформировано в связи G наличием теплового расширения. Поэтому в разложение свободной энергии F (Т) будут входить не только квадратичные, но и линейные по тензору деформации члены. Из компонент тензора второго ранга Ui можно составить всего только одну линейную скалярную величину — сумму иц его диагональных компонент. Далее мы будем предполагать, что сопровождающее деформацию изменение Т — Г, температуры мало. Тогда можно считать, что коэффициент при иц в разложении F (который должен обращаться в нуль при Т Тд) просто пропорционален разности Т— То. Таким образом, получим для свободной энергии следующую формулу (заменяющую (4,3)) [c.28]

Решение. Из компонент симметрического тензора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (гг , и ufi) и три кубических (и Uih itUhl]- Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по со скалярными же (изотропное тело ) коэффициентами, есть [c.148]

На основании правила скалярного умножения i gkmgin представляет собой смешанный тензор Стп. а — контравариант-ные компоненты тензора малой деформации. [c.61]

Амплитуда и форма резонансной кривой поглощения определяются процессами релаксации. Наличие их приводит к тому, что компоненты тензора магнитной проницаемости становятся комплексными величинами. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитная проницаемость скалярна. Ширина резонансной кривой ферромагнитного резонанса АН обычно определяется как разность полей, при которых мнимая часть диагональной компоненты тензора проницаемости ц" составляет половину своего значения м-"рез в точке резонанса. Зависимость ее вещественной ц и мнимой ц" частей от частоты называют магнитными спектрами. Для магнитных спектров ферритов характерно наличие двух областей дисперсии. Низкочастотная область дисперсии обусловлена смещением границ доменов, а более высокочастотная — естественг.ым ферромагнитным резонансом в эффективных полях анизотропии и размагничивающих полях. [c.708]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...