Метрический тензор ковариантные компоненты

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

ЧТО доказывает требуемый результат относительно компонент метрического тензора. Контравариантные компоненты должны совпадать для обеих записей, так как в каждой из них связаны с ковариантными компонентами одной и той же зависимостью. [c.416]

Важнейшим примером тензора поверхности второго ранга является метрический тензор, ковариантные контравариантные (а ) и смешанные (Ор) компоненты которого определены формулами (1.1.2). Метрический тензор позволяет рассматривать задачи вычисления длин кривых, лежащих на поверхности, углов между двумя, заданными в точке поверхности, направлениями, определения площадей областей поверхности [72, 203 ]. Так, формулой [c.17]

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

Метрический тензор yij (т) можно вычислить согласно правилу преобразования ковариантных компонент тензоров, определяемо- [c.112]

Из ковариантных компонент и метрического тензора в точке Х< можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20), имеем [c.126]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Частица движется по геодезической на двумерной поверхности. Компоненты метрического тензора не зависят от координаты qK Доказать, что ковариантная компонента импульса pi постоянна. [c.83]

На основании формул (1.49) и (1.50) с учетом того, что в цилиндрической системе координат компоненты ковариантного метрического тензора [c.41]

Ковариантные компоненты метрического тензора [c.123]

Ковариантные компоненты метрического тензора для рассматриваемой системы криволинейных координат на основании (2 .76) и (2 .77) равны [c.365]

На основании (2 .17) метрический тензор является симметричным. С помощью метрического тензора можно установить соотношения между -контравариантными и ковариантными компонентами вектора а. Исходя из (2 .4) и (2 .3) имеем [c.410]

Здесь VII — символ ковариантной производной в базисе начального состояния, — компоненты метрического тензора в базисе начального состояния. [c.302]

Связь между компонентами тензора с различным строением индексов осуществляется как и между ковариантными и контра-вариантными компонентами вектора 1см. (1.51) и (1.52)1, с помощью компонент метрического тензора [c.37]

Заметим, что инварианты тензора и девиатора могут быть выражены и через ковариантные либо контравариантные компоненты. Но тогда нужно использовать компоненты метрического тензора. Например, учитывая (1.66), (1.91), формулу (1.96) можно преобразовать к виду [c.48]

Теперь выражения ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора G представляется в виде [c.702]

Этим определяются ковариантные компоненты метрического тензора [c.709]

Ковариантные компоненты метрического тензора G в / -объеме определяются формулами [c.720]

Мера деформации У -объема определяется тензором G с ковариантными компонентами в метрике начального у-объема, равными ковариантным компонентом Gst метрического тензора У -объема [c.721]

Ковариантные компоненты метрических тензоров g, G определяются теперь формулами [c.753]

Далее потребуется знание скалярных произведений Rst Rk они выражаются через производные от ковариантных компонент метрического тензора. Имеем [c.852]

Этой формулой определяется правило свертывания по немому индексу с помощью компонент метрического тензора, тогда как формулы (IV. 2.4) иллюстрируют операции подъема и опускания индекса — перехода от ковариантных компонент к контра-вариантным (и обратно) путем умножения на g (на g sfe) с последующим свертыванием по немому индексу. [c.872]

Частое применение имеет теорема Риччи ковариантная производная компонент метрического тензора равна нулю. Это следует из соотношения [c.882]

При ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора играют роль постоянных — их можно выносить [c.882]

Метрический тензор в случае ортогонального триэдра базисных векторов является диагональным его ковариантные компоненты равны [c.885]

Ковариантные компоненты метрического тензора после деформации Qij = Ri Rj, где Rj = 1 . Имеем формулы [c.333]

Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады которых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов. Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры F, F" , F, F = F рассматриваются как двойные тензоры деформации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматриваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим, что одни и те же ковариантные компоненты имеют тензор деформации Коши—Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент движения F (6.45) и единичный (метрический) тензор 1 = G (6.17). [c.90]

Здесь gnk, gnk — ковариантные метрические тензоры соответственно в 5 и dx — компоненты бесконечно малого вектора PQ, определяющего положгаие точки Q относительно точки Р, а dx — компоненты вектора PQ (см. рис. 10), который в силу непрерывности является бесконечно малым. [c.47]

Величины gij представляют собой компоненты ковариантного тензора второго ранга, который называется метрическим тензором. Аналогично, (g ) — контравариантный метрический тензор, (g j) — кон-траковарЯантный метрический тензор и (gj ) — коконтравариантный метрический тензор. [c.410]

Тензор gai (или gi ) называют метрическим те.нзором, gas — ero ковариантные компоненты. Контравариантные компоненты метрического тензора g равны алгебраическим дополнениям элемента gsa в определителе ligsall, деленным на величину определителя. [c.128]

T girg n< l) — S 8irSjn< IJ= A girgjn- Ковариантные компоненты метрического тензора были найдены при решении задачи 1.5 (формула (1.44)1. Для примера приведем подробную запись вычисления одной из компонент [c.40]

Ковариантные производные компонент метрического тензора раины нулю (теорема Риччи),, т. е. Vftgij= — 0. Поэтому компоненты метрического [c.61]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...