Траектория изолированная

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Фазовая траектория (3.5) изолированная, потому что у ав-нения всех других траекторий на фазовой плоскости ху имеют вид [c.47]

Отсюда следует обязательность существования замкнутых фазовых траекторий, окружающих изолированные особые точки, или убегающих траекторий для ограниченных интервалов изменения X и у и невозможность для систем данного типа существования особых точек, в которые стягиваются все фазовые траектории из прилегающей области, называемых фокусом или узлом. [c.23]

Определения устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости допускают, как мы увидим, распространение на случай, когда m > 2. Позже (в 23.7) будет произведено также обобщение понятия устойчивости на случай движения механической системы, когда вместо вырожденных траекторий, состоящих из изолированных равновесных точек, рассматриваются собственно траектории. (Один частный пример на исследование устойчивости двия ения был приведен в 9.6.) [c.371]

Если на фазовой плоскости имеется особая точка седло , то через нее проходят изолированные фазовые траектории (сепаратрисы), точкам которых соответствуют неустойчивые (нереализуемые) движения механической системы. Сепаратрисы делят фазовую плоскость на области, в каждой из которых движение имеет свой в принципиальном отношении тип при этом, если изображающая точка, соответствующая начальным условиям, находится в одной из этих областей, то и последующее движение произойдет так, что вся соответствующая ему фазовая траектория останется в этой области. [c.76]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

В более сложных автоколебательных системах может существовать несколько предельных циклов однако и в этих случаях предельные циклы представляют собой изолированные фазовые траектории. [c.287]

Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории, в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными циклами. [c.25]

В магнетронных системах, в которых конфигурация магнитного поля создает ловушку для вторичных электронов, способных производить дополнительную ионизацию, скорость осаждения выше, чем в обычных диодных системах. Магнитное поле перпендикулярно к электрическому, и электроны описывают замкнутые тороидальные траектории. Благодаря этому подложка оказывается изолированной от вторичных электронов. Магнитное поле, прижимая плазму к поверхности катода, предохраняет подложку [c.425]

Это теоретическое открытие, получившее свое развитие в трудах Форда с сотрудниками, чрезвычайно важно ). Оно показало, что изолированные резонансы не оказывают серьезного воздействия на движение. Однако, как только возникает перекрытие резонансных зон, появляется неустойчивость, причем сравнительно много траекторий покидают свои торы и становятся эргодическими. [c.371]

Формула (2.3.11) позволяет дать наглядную интерпретацию процессов, в результате которых возникает неравновесное состояние. С вероятностной точки зрения эта формула соответствует предположению, что начальные состояния Qq(t ) распределены случайно с экспоненциальной вероятностью = (1/Т)ехр -( - )/Т , где Т = В классическом случае система совершает свободную эволюцию, как изолированная система, по фазовой траектории из начального состояния и, кроме того, она испытывает случайные переходы, при которых фазовая точка перебрасывается с одной траектории на другую с вероятностью Промежутки Т между этими случайными переходами могут быть [c.106]

Предельные циклы представляют собой изолированные замкнутые кривые, к которым наматываются или сходят с них все остальные соседние траектории. Предельные циклы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полу-устойчивыми. Фазовые портреты могут содержать два предельных цикла. [c.24]

В случае уравнения (ПП.5) дифференциальное уравнение (ПП.15) имеет единственную особую точку х = у = 0. Если Ь = = О, то эта особая точка является отдельной интегральной кривой. Такая изолированная особая точка, охватываемая замкнутыми, вложенными друг в друга фазовыми траекториями, называется центром. [c.222]

Изолированные замкнутые кривые—(предельные циклы). Мы видели, что замкнутым кривым на фазовой плоскости соответствуют периодические движения исходной системы. В консервативных системах вся фазовая плоскость заполнена вложенными одна в другую замкнутыми траекториями, и поэтому нет оснований выделять какую-либо из траекторий в качестве особой. Иное дело в неконсервативных системах. Здесь могут существовать только изолированные замкнутые траектории — предельные циклы, а все соседние траектории наматываются на предельные циклы или сходят с них. Естественно поэтому отнести предельные циклы к категории особых траекторий. [c.227]

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда X < 1, то 7 — х > О, и поэтому в системе при х < 1 действует отрицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплитуда колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х> 1, то 1—х < О, и трение делается положительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать. В системе должны установиться незатухающие колебания, к которым будут стремиться при ->оо все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изолированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории. [c.229]

Изолированная замкнутая траектория на фазовой плоскости, соответствующая автоколебаниям системы, называется предельным циклом. [c.531]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Некоторые общие замечания о катьцеобразиых областях, заполненных замкнутыми траекториями. Одним нз первых важных вопросов, встающих в связи с установлением наличия или отсутствия замкнутых траекторий, является воирос о том, существуют ли целые области, заполненные замкнутыми траекториями, или замкнутые траектории изолированны, т. е. являются предельными циклами. [c.223]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

Следует выделить условие, которое приводит к возникновению лучевых свойств механических траекторий, потому что мы фактически произвели определенный отбор среди всех возможных механических траекторий. Световые лучи в заданном оптическом поле образуют двумерное многообразие, в то время как совокупность всех механических траекторий в потенциальном поле образует пятимерное многообразие. С заданной базисной поверхности траектории могли бы начинаться с произвольными скоростями. Мы отбираем те траектории, которые имеют одну и ту же полную энергию и перпендикулярны заданной поверхности. Лучевые свойства устанавливаются именно для них. Механические траектории являются изолированными линиями, не пересекающимися друг с другом. Если при помощи ка-кого-иибудь условия искусственно выделить некоторое семейство траекторий, то, вообще говоря, ничто не мешает добавить к ним некую случайную траекторию, не принадлежащую к этому Лмейству. В противоположность этому оптические лучи не могут существовать в изолированном виде, а всегда являются частью какого-то поля. [c.306]

Если. мы обратим внимание на первую аксиому механики Ньютона (v = onst для изолированного от внешних воздействий тела), то легко убедиться в ее не только внешней, но и внутренней связи с принципом наименьшего действия. Во-первых, для случая отсутствия внешних сил требование экстремума для интеграла vds дает прямую линию или бесконечность. Последнее мы отбрасываем, так как бесконечных траекторий между двумя точками может быть бесконечно много. Таким образом, мы получаем первую аксиому Ньютона из принципа наименьшего действия (однако в самом принципе заключено значительно большее содержание, чем в первой аксиоме Ньютона). Во-вторых, с точки зрения антропоморфно [c.866]

Принцип Гамильтона может быть применен к неконсервативным системам. В этом случае вместо U необходимо будет писать X dx ->г Ydy + Z dz. Несмотря на некоторое усложнение, принцип сохраняет свое значение. Точно так же принцип Гамильтона допускает обобщение и на неголо-номные системы. Принцип Гамильтона рассматривает протекание явлений во времени. Закон же сохранения энергии не включает времени для замкнутой системы он констатирует постоянство баланса энергии при трансформации ее в течение процесса от начального к конечному состоянию. Но закон сохранения энергии не указывает на путь, которым система должна перейти из начального в конечное состояние другими словами, закон сохранения энергии допускает сколько угодно путей из начального в конечное состояние, лишь бы соблюдалось условие постоянства величины энергии в течение процесса. Закон сохранения энергии не дает однозначного ответа на вопрос о течении процесса. Если сравнить этот закон с принципом наименьшего действия, то разница между ними прежде всего проявляется в одном интересном факте. Если взять изолированную точку, то закон сохранения энергии требует для нее постоянства скорости ( = onst), но ничего не говорит о направлении движения (т. е. о характере траектории). Из принципа же наименьшего действия непосредственно следует, что траектория этой изолированной точки будет прямой линией, ибо при г> = onst выражение 6 mvds = 0 дает J ds = min, т. е. прямую линию. [c.871]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Анод выполняют в виде диаграммы с отверстием, причем анод заземлен, а катод изолирован. Между катодом и анодом прилагается основное разгоняющее напряжение до 30 кВ. Ниже анода располагается трубка лучепровода, вокруг которой расположена фокусирующая система, собирающая пучок электронов в узкий луч и фокусирующая его на нагревательном объекте. Далее следует отклоняющая система, направляющая луч в любое место заготовки или разворачивающая луч по определенной траектории, например по кругу, спирали Архимеда и т. п. Отклоняющая и фокусирующая системы представляют собой электромагнитные катушки, создающие управляемое магнитное поле. Взаимодействие магнитного поля с электронным пучком оказывает нужное воздействие на пучок. Для нагрева и проплавления шихты равномерно распределяют энергию пучка по нагреваемому концу заготовки или по шихте, загруженной в тигель. [c.203]

Изолированные фазовые траектории, проходящие через особую точку типа седло, называют сепаратриссами. Движение механической системы, соответствующее движению изображающей точки по сепаратриссе, неустойчиво и физически нереализуемо. Сеиаратриссы разделяют фазовую плоскость на области начальных условий, приводящих к движениям принципиально различных типов (см. гл. HI). [c.25]

При теоретическом анализе центробежного пылеотделения движение частиц рассматривается изолированно, без воздействия на них других пылинок, а следовательно, и без учета эффекта подталкивания мелких частиц и эффекта торможения крупных фракций. Предполагается, что все пылинки имеют сферическую форму и при гидродинамическом воздействии стационарного потока подчиняются вязкому режиму обтекания, определяемому законом Стокса. В действительности при наличии у частиц двух главных, существенно отличающихся, сечений имеется их неустойчивое равновесие с возникновением эффекта вращения. В итоге появляются радиальные силы, воздействующие на частицы в направлении, перпендикулярном течению газа. Особенность движения нешарообразных частиц состоит в том, что направления их движения и действия сил сопротивления не лежат на одной прямой. Это приводит к появлению относительно направления их движения боковой составляющей силы сопротивления среды, вызывающей изменение траектории движения. [c.80]

Выше было показано, что члены в групповом разложении интеграла столкновений, порождающие вириальные разложения коэффициентов переноса, определяются динамикой изолированных групп молекул. В отличие от равновесных статических корреляций, имеющих протяженность порядка нескольких радиусов взаимодействия Гц, динамические корреляции в изолированных группах частиц могут иметь значительно большую протяженность. Оказалось, что именно это свойство динамических корреляций несет ответственность за расходимость вириальных разложений коэффициентов переноса. Для иллюстрации дальнодействующей природы динамических корреляций рассмотрим пример четырехчастичных процессов, которые дают расходящиеся вклады в коэффициенты переноса (см. рис. 3.1а). Видно, что частицы (3) и (4) перемещаются свободно на расстояния, значительно превышающие длину свободного пробега. Более того, эти расстояния могут быть сколь угодно велики. Ясно, однако, что в газе не могут существовать столь протяженные траектории. Поэтому опасный процесс столкновения четырех частиц, изображенный на рис. 3.1а, возникает в результате некоторого многочастичного процесса, в котором частицы (3) и (4) проходят расстояния порядка длины свободного пробега. Например, добавление частицы (5), изображенной на рис. 3.16, обеспечивает обрезание расходящегося вклада в четырехчастичный интеграл столкновений, связанный с аномально большим свободным пробегом частицы (3). [c.180]

Предложенная Эренфестом квазиэргодическая гипотеза ( при достаточно длительном продолжении движения во времени изолированная система сколь угодно близко подходит к любой заданной фазовой точке, совместимой с энергрюй си> стемы ) была использована Розенталем [35] для доказательства равенства временных и фазовых средних. Его доказательство, основанное на разбиении двух областей равной меры на счетное число частей, происходящих друг из друга при движении по фазовым траекториям, оказалось, как показал Миламед, ошибочным в нем ошибочно изменялся порядок операций суммирования бесконечных рядов и перехода к предельным во времени значениям. [c.180]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Пример 2. Движение тел Солнечной системы в неподвижной системе координат. Пренебрегая притяжением далеких звезд, нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е. считать, что на тела Солнечной системы действуют только внутренние силы. По второму следствию теоремы о движении центра масс центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца, находится в покое или двигается прямолинейно и рав- номерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Веги и называемой апексом. Таким образом, движение планет Солнечной системы является сложным их траектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы, — эллипсы (если пренебречь силами взаимного тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд — пространственнее эллиптические спирали. [c.186]

Модификация определения (1) с помош,ью понятия об односторонних производных пригодна для некоторых движений, траектории которых содержат угловые точки. Односторонние производные позволяют описывать движение, при котором в изолированных точках траектории происходят удары (в числе основных аксиом теории сте-реомеханического удара — аксиома о конечном изменении скорости при ударе). Однако уже в задаче о соударении двух тел при наличии сухого трения в месте контакта для описания изменения скорости (при фиксированном времени) составляются дифференциальные уравнения относительно скорости у(А ) как функции монотонно возрастаюш,его импульса нормальной составляющей реакции в месте контакта (Л ") (см., например, [113]). [c.22]

Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно, на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые отображения последования. Изолированным точкам соответствуют невырожденные периодические траектории, а замкнутым кр"йвым, близким к концентрическим окружностям, — колмогоровские торы. [c.230]

Из ограниченности траектории x t,XQ) следует, что множество Q о -предельных точек точки xq не пусто. Пусть у Е Q. Известно [14], что траектория x t,y) G при всех t G R . Поэтому Vi x t,y)) = L для любого t G R . Используя (4.7), получим тождества rj t,y) = О и z t,y) = 0. Из (4.5) и rj t,y) = О получаем, что [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...