Замкнутая траектория изолированная

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории, в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными циклами. [c.25]

Изолированные замкнутые кривые—(предельные циклы). Мы видели, что замкнутым кривым на фазовой плоскости соответствуют периодические движения исходной системы. В консервативных системах вся фазовая плоскость заполнена вложенными одна в другую замкнутыми траекториями, и поэтому нет оснований выделять какую-либо из траекторий в качестве особой. Иное дело в неконсервативных системах. Здесь могут существовать только изолированные замкнутые траектории — предельные циклы, а все соседние траектории наматываются на предельные циклы или сходят с них. Естественно поэтому отнести предельные циклы к категории особых траекторий. [c.227]

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда X < 1, то 7 — х > О, и поэтому в системе при х < 1 действует отрицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплитуда колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х> 1, то 1—х < О, и трение делается положительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать. В системе должны установиться незатухающие колебания, к которым будут стремиться при ->оо все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изолированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории. [c.229]

Изолированная замкнутая траектория на фазовой плоскости, соответствующая автоколебаниям системы, называется предельным циклом. [c.531]

Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла. [c.119]

Лемма 1. Если Ьд — замкнутая траектория динамической системы аналитического класса, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее окрестности замкнуты. [c.223]

При исследовании замкнутых траекторий автономных гамильтоновых систем возникает одно новое обстоятельство по сравнению с исследованием положений равновесия систем с периодическими коэффициентами. Дело в том, что замкнутые траектории автономных систем не лежат изолированно, а образуют (как правило) однопараметрические семейства. [c.356]

Однако существенный интерес представляют, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и т. д. [c.35]

Замкнутая траектория Ы, являющаяся либо со-, либо а-предельной траекторией для всех отличных от нее траекторий, про ходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри Ьо, так и вне Ьо), называется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность, кроме него, не проходит больше ни одной замкнутой траектории. С другой стороны, всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией. [c.48]

Корень о функции 113(50), так же как и в случае 1, изолированный. Замкнутая траектория Ьо называется сложным к-кратным предельным циклом. [c.100]

Теорема 1. Если у динамической системы (А), правые части которой — аналитические функции, существует замкнутая траектория, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее окрестности замкнуты. [c.102]

Индекс Фуллера. Этот индекс определяется для изолированной /-обходной замкнутой траектории L потока. Он равен [c.186]

Изолированное положение равновесия или замкнутая траектория потока, периодическая траектория каскада (гл. 1, п. 2.4) могут не быть изолированными замкнутыми множествами (пример — положение равновесия типа центр). Но если они гиперболичны, то являются изолированными и как инвариантные множества. [c.211]

Периодические движения и их устойчивость. Прежде всего периодические движения в консервативных системах отличаются той особенностью, что они никогда не встречаются изолированно. Если для /г = Ло на фазовой плоскости мы имели замкнутую траекторию, т. е. периодическое движение, то, как мы видели, эта замкнутая траектория непременно окружена соседними замкнутыми траекториями, получающимися при близких к. Периодические траектории встречаются континуумами и заполняют целые области фазовой плоскости, причем одна замкнутая траектория охватывает другую. Физически это значит, что если возможно одно периодическое движение, то возможно бесконечное множество их, причем максимальные размахи и максимальные значения скоростей могут в зависимости от начальных условий непрерывно изменяться в известных конечных или бесконечных пределах. [c.149]

Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики — при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, — в так называемых грубых системах, — могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений). [c.327]

Предельным циклом называется изолированная замкнутая фазовая траектория, т. е. такая траектория, в сколь угодно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем в сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям (см. рис. 7.8). [c.155]

Как видно из рис. 118, особые точки типа центра и седла чередуются на оси абсцисс. Это чередование является простым следствием чередования максимумов и минимумов функции П(х). Далее, внутри замкнутой фазовой траектории всегда находится нечетное число особых точек, причем число центров на единицу больше числа седел. Пусть, например, на фазовой плоскости имеется одна замкнутая траектория, пересекающая ось Ох в точках а и р. В этих точках функция Л - П(х) обращается в нуль. Следовательно, между аир лежит по крайней мере одна точка (или нечетное число таких точек), в которой обращается в нуль П (х). Из геометрических соображений очевидно, что если внутри замкнутой кривой такая точка одна, то она обязательно будет центром, соответствующим изолированному минимуму потенциальной энергии. [c.481]

Некоторые общие замечания о катьцеобразиых областях, заполненных замкнутыми траекториями. Одним нз первых важных вопросов, встающих в связи с установлением наличия или отсутствия замкнутых траекторий, является воирос о том, существуют ли целые области, заполненные замкнутыми траекториями, или замкнутые траектории изолированны, т. е. являются предельными циклами. [c.223]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Т е о р е м а 18. Если О — изолированное состояние равновесия, то либо в любой окрестности О лежит замкнутая траектория, содержащая О внутри себя, либо существует полутраектория, стре.чящаяся к О. [c.118]

Изолированная замкнутая траектория, т. е. такая залхкнутая траектория, в некоторой окрестности которой, кроме нее самой, нет больше других замкнутых траекторий, называется пределъньим циклом. [c.119]

Кроме сведений о числе и характере состояний равновесия необходимо иметь также сведения о замкнутых траекториях, нужно знать, заполняют ли замкнутые траектории целые области или являются изолированными, т. е. являются предельными циклами нужно знать число предельных циклов, их взаимное расположение, а также нулаю. иать, какие циклы устойчивы, а какие — неустойчивы. [c.220]

Теорема 7. Пусть Р — изолированное состояние равтве-сия. Тогда либо в любой сколь угодно малой окрестности точки Р лежит замкнутая траектория, содержащая Р внутри себя, либо существует траектория, стремящаяся к Р при -Н оо или при 1- — оо), [c.50]

Корень о функции 11з(я) очевидно изолированный, замкнутая траектория является простым предельным циклом — у ст ойчи-вым, когда [c.100]

Существенная неконсервативность этих систем характеризуется тем, что у них не может быть областей (ячеек (см. 8, 9 гл. 2)), сплошь заполненных замкнутыми траекториями все траектории одно11 и той же ячейки стремятся нри i +о° к одному и тому же центру притяжения, а при к одному и тому же центру отталкивания. Кроме того, замкнутые траектории таких динамических систем всегда являются изолированными, т. е. предельными, циклами. Как мы уже говорили, именно предельный цикл, а не замкнутые кривые консервативной системы, является адекватным математическим образом автоколебаний. [c.130]

Однако это н) дается еще в некотором обосновании. Простейший вариант такового если возмущение мало в смысле С, а а — невырожденное положение равновесия осредненного потока на N, то легко доказать, что вблизи р а действительно должна существовать замкнутая траектория возмущенного потока, замыкающаяся после одного оборота, который она делает возле р а. Но ведь не исключено, что положения равновесия будут вырожденными и даже не изолированными. Конечно, такие случаи, тоже можно исследовать по теории возмущений, но-априори не ясно, каким окажется результат такого исследования, удастся ли единообразно охватить все возникающие здесь варианты и какие условия придется наложить на малость возмущений. Словом, теория возмущений, доставляющая в конкретной ситуации эффективные вычислительные процедуры, в отношении ачественного исследования общего случая уступает топологическим соображениям. Теорему Зейферта—Риба можно получить и с помощью соображений более аналитического характера, но они отличаются от Обычной теории возмущений [42]. [c.187]

Поток имеет при 0<0о замкнутую траекторию в, которая непрерывно зависит от 0, является изолированной, с ненулевым индексом, даже гиперболической (так что раз оиа существует при каком-то 0, то должна существовать и при близких 0), но длина которой при 0- о неограниченно возрастает. В итоге, при 0->0о эта траектория вместе со своим индексом как бы бесследно исчезает в голубом иебе ,. откуда и название данного явления катастрофа голубого неба. (Вероятно, оно первоначально употреблялось в шутку, но потом укоренилось в качестве стандартного термина. Катастрофа —это просто синоним бифуркации , т. е. качественного изменения, происходящего при прохождении параметра через некое критическое значение, но в данном случае эмоциональный оттенок, связанный с этим словом, в какой-то степени оправдан.) [c.188]

Если изолированное инвариантное множество А является дизъюнктным объединением изолированных инвариантных множеств Ах и 2, то А(Л)== А(Л1)УЛ(Лг). Для гиперболической иезакрз) енной замкнутой траектории с индексом Морса а > 1 гомотопический индекс равен 2 /2 "Ч Когда же а Ц=1, то гюедставителем А ( ) может служить (5 и Хо), где лго 5 (Это отличается от частного случая предыдущей формулы при й= Ь 2 /2о меет представителя (5- илео, д 1)г где Х1б5Ч) Для гиперболической закрученной замкнутой траектории I с индексом Морса и (который неизбежно >2) [c.215]

Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами. Пусть гамильтонова система с п + 1 степенями свободы имеет замкнутую траекторию, отличную от равновесия. Такие траектории не лежат изолированно, а образуют, как правило, однопараметрические семейства. Приведем задачу о ко-лебанкя.х в окрестности этого семейства к удобному виду. [c.282]

Прямая 2 = Л(, пересекает и в некоторых точках касается кривой 2 = П(лг) (рис. 118). Фазовьщи траекториями в одном случае будут изолированные точки, соответствующие изолированным минимумам функции П(лг), изображающие устойчивые равновесные состояния системы (точка Л). При увеличении й вокруг такой точки, как А, образуются замкнутые траектории, изображающие периодические движения системы. [c.480]

В другом случае на изолированных конечных участках будут замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим движениям, либо замкнутые кривые особого типа — кривые с самопересечением (в точках Б и С) — сепаратрисы. Точк самопересечения соответствуют изолированным максимумам потенциальной энергии и являются особыми точками типа седла, изображающими неустойчивые равновесные состояния. Сепаратрисы разделяют области фазовой плоскости с фазовыми траекториями различного типа. Сами по себе они не являются кривыми, изображающими реальные движения. Последние всегда отклоняются от сепаратрис или в сторону замкнутых траекторий, заключенных в звеньях сепаратрисы, или же наружу в сторону убе- [c.480]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...