Теоремы Ляпунова

Резаля 155 Теоремы Ляпунова 336 Теория удара 257 Тождество Пуассона 379 Точка изображающая 391 Траектория движения системы 391 Траектории искусственных спутников [c.422]

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Несмотря на принципиальную важность, теорема Ляпунова не дает формальных правил преобразования уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому для выбора новой координатной системы (новых переменных) используется дополнительная информация в виде условия неизменности (инвариантности) процессов электромеханического преобразования энергии и энергетических соотношений относительно координат. Совместный учет математических условий преобразования и дополнительной информации в некоторых случаях делает выбор новой координатной системы однозначным. Иногда же выбор осуществляется путем сравнительного анализа ряда возможных координатных систем. [c.83]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия V (q) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении V (q) в ряд по степеням, q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Теорема Ляпунова. Если можно найти такую непрерывную функцию V (х), что [c.233]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Если с < О, то по теореме Ляпунова, равновесие неустойчиво. [c.455]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков. [c.341]

Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении потенциальной энергии в степенной ряд. [c.341]

Теорема 3 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости д[1И-ження). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V такая, что ее производная в силу этих уравнений в области (1) может быть представлена в виде [c.378]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Согласно первой теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями ( ), устойчиво, если все корни характеристического уравпейия (13 ) имеют отрицательную вещественную часть. В этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (11 ) не влияют на устойчивость движения. [c.652]

Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Теорема 2.4. (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция К(х), для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или тождественно обращается в нуль, ТО невозмущенное движение устойчиво. [c.85]

Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова [c.336]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Теорема Ляпунова об устойчниости движения. В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого метода Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установив1ниеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об усто11чивости. [c.370]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпу-11011 получил следующую теорему, дающую достаточные условия асп.мптотпческой устойчппостн двп/кеппя. [c.373]

Из знакоопределенпости функции V и неравенства (1) па основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положепие равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат qt = 0, [c.386]

Отсюда следует, что характеристическое уравяепие (14) возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре док азана. [c.396]

Алгоритм нормалшшции гамильтоновой системы линейных уравнений с периоднческнмп коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу 11(0 вещественной и ненрерыи-пой 2л-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система [c.396]

В силу непрерывности мультипликаторов они остапутся некратными и при достаточно малых е, отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых 8 мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот ва/кный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 212). Согласно этой теореме мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых мультипликаторы не могут сойти с окружности, не на-рупгив указанной симметрии. [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...