Равновесие материальной системы и его устойчивость

Положения равновесия материальной системы, для которых небольшие отклонения от этих положений раз-новесия и небольшие начальные скорости точек системы не приводят к выходу материальной системы из достаточно малой окрестности положения равновесия, называются устойчивыми. [c.41]

Докажем теорему, в которой рассматривается достаточное условие устойчивости равновесия материальной системы. Эту [c.216]

Устойчивость равновесия. Равновесие материальной системы называется устойчивым, если при ее достаточно малом отклонении из этого положения она стремится в него возвратиться (фиг. 41, а). Если же при отклонении система стремится удалиться от поло- [c.368]

РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. XV [c.420]

Точная математическая формулировка условия устойчивости равновесия материальной системы такова для любой сколь угодно малой величины е > О можно найти соответствующие величины 61 = 61(8) и 62=62(8) так, чтобы при условиях в начальный момент [c.428]

Ценой этих ограничений мы добились результатов большой общности в частности, вывели условия устойчивости равновесия материальной системы (п. 1° 3 этой главы). [c.441]

Из приведенных рассуждений вытекает, что условие минимума потенциальной энергии является достаточным условием устойчивого равновесия материальной точки в потенциальном силовом поле. Вопрос о необходимых условиях устойчивости равновесия не разъяснен еще в общем виде. Мы возвратимся к этим вопросам далее — в динамике системы. [c.383]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Будем говорить, что данное положение несвободной материальной системы есть положение устойчивого равновесия, если можно удовлетворить следующим условиям систему можно переместить из положения равновесия в любое достаточно близкое к нему положение и сообщить ей при этом такую достаточно малую живую силу, чтобы, будучи предоставлена действующим на нее силам, она как угодно мало удалялась от положения равновесия и сохраняла сколь угодно малую живую силу, какова бы ни была продолжительность движения. [c.19]

Основываясь на физической интуиции, мы будем называть со стояние равновесия материальной точки (или системы материальных точек) устойчивым, если при любом, достаточно малом возмущении равновесия (смещение точки или системы из положения равновесия в какое-нибудь другое, достаточно близкое положение, совместимое со связями) силы, действующие на точку (или систему), стремятся возвратить ее в положение равновесия. [c.19]

Теоремы Рэлея. Рэлей ) исследовал, как изменяются главные частоты в материальной системе, колеблющейся вокруг одной из своих конфигураций устойчивого равновесия, и, в частности, как изменяется основная частота, когда [c.372]

В материальной, системе с п степенями свободы, колеблющейся около конфигурации устойчивого равновесия, добавление р< п голономных связей, не будучи в состоянии понизить основной [c.375]

Пусть 5 есть материальная система, отнесенная к нормальным координатам X и находящаяся под действием некоторой консервативной системы сил, которые имеют потенциал U в окрестности конфигурации устойчивого равновесия. Тогда будем иметь (п. 13) [c.403]

Предположим, что для голономной материальной системы с п степенями свободы С является конфигурацией устойчивого равновесия как для одной, так и для другой из различных консервативных систем сил, являющихся производными — первая от потенциала U, вторая от потенциала U . Обозначая через [c.404]

Пусть все связи материальной системы голономны, идеальны, двусторонни и стационарны, а все заданные силы потенциальны, пусть в некотором положении 5" системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, а мгновенные скорости всех точек системы равны нулю тогда 5 — положение устойчивого равновесия системы. В п. 3° 1 мы уже доказали при тех же условиях, что 5 —положение равновесия системы, надо теперь только доказать устойчивость этого равновесия. [c.429]

Найти положения равновесия материальной точки на каждой поверхности и исследовать их устойчивость, если трение в системе отсутствует, а ось О г направлена вверх. [c.150]

Но гладкому параболоиду = ах + (а > О, Р > 0), вращающемуся с постоянной угловой скоростью П вокруг вертикальной оси О г, может двигаться материальная точка. Найти малые колебания точки в окрестности устойчивого положения равновесия в системе координат, связанной с параболоидом. [c.165]

Как известно, еще Г. Галилей и И. Ньютон открыли начала динамики и доказали их достоверность опытами над падением тяжелых тел и объяснением движения планет Ш. Л. Лагранж создал общий метод решения задач динамики. Было, однако, замечено, что не каждое состояние механической системы, отвечающее математически строгому решению уравнений движения или равновесия, наблюдается на самом деле. Это объясняется тем, что в действительности всегда существуют неучитываемые в уравнениях движения малые силы и незначительные отклонения в начальном состоянии материальной системы, которые и возмущают равновесия или движения. Движения, мало изменяющиеся при возмущениях, были названы устойчивыми, а прочие -г неустойчивыми. Таким образом, для выяснения действительной осуществимости движений из числа всех теоретически возможных необходимо было иметь [c.7]

При большом межатомном расстоянии атомы практически не взаимодействуют друг с другом, т. е. силы их взаимодействия близки к нулю. С уменьшением расстояния до некоторого значения Rк силы притяжения Рпр(/ ) возрастают быстрее сил отталкивания Рот (Р)-Последующее сокращение расстояния Р связано с дальнейшим увеличением сил притяжения, но силы отталкивания также растут, и растут быстрее. В результате суммарная сила Р(Р) взаимодействия (притяжение) уменьшается и при некотором значении Р = Ро становится равной нулю. Дальнейшее сближение атомов приведет к тому, что силы отталкивания будут значительно больше сил притяжения. Таким образом, система из двух атомов будет стремиться к устойчивому состоянию, при котором расстояние между ними равно Р . По мере сближения атомов потенциальная энергия системы (Р) снижается (рис. I, б). Состояние равновесия между силами притяжения и отталкивания характеризуется минимальным значением потенциальной энергии системы. Поскольку всякая изолированная материальная система стремится к уменьшению потенциальной энергии, то положение атомов при межатомном расстоянии Ро наиболее устойчиво. [c.17]

Но условия равновесия (19.12) совпадают с условиями экстремума функции U gi, 2,. .., дп). Значит, при равновесии системы материальных точек, подверженных действию потенциальных сил, потенциальная энергия системы принимает экстремальное значение. По виду экстремума равновесие подразделяется на устойчивое, неустойчивое и седлообразное. [c.175]

На основании изложенного в предыдущих параграфах можно вывести дифференциальные уравнения малых колебаний материальной системы около ее положения равновесия, которое, если не оговорено противное, предполагаем устойчивым. [c.23]

Пусть равновесие материальной точки, тела или системы тел обусловлено действием только потенциальных сил (1.5.2.Г) — сил тяготения, упругости или электростатических сил (111.1.2.2°). Тогда положению устойчивого равновесия соответствует минимальное значение потенциальной энергии (1.5.3.5°) по сравнению с ее значениями в ближайших соседних положениях, допускаемых связями (принцип минимума потенциальной энергии). При любых малых отклонениях точки, тела или системы тел от положения устойчивого равновесия потенциальная энергия возрастает. [c.79]

Приведем теперь достаточный признак устойчивости положения равновесия материальной системы в консервативном силовом поле, даваемый теоремой Лагранжа — Дирихле. [c.42]

Следовательно, для того чтобы равновесне было устойчивым, необходимо, согласно (7.30), чтобы все показатели или характеристичные корни были чисто мнимыми. Это предложение говорит о колебательном характере возмущенных движений вблизи устойчивого положения равновесия материальной системы. [c.237]

Устойчивость равновесия. Равновесие материальной системы называется у/сшог -чивым, если при ее достаточно малом отклонении из этого положения она стремится в него возвратиться (фиг. 41, а). Если же при отклонении система стремится удалиться от положения равновесия, равновесие называется неустойчивым (фиг. 41. б). Если, наконец, [c.377]

Не имея возможности рассмотреть в рамках этой книги основные результаты теории устойчивости движения и отсылая читателя к обширной литературе по этому вопросу, мы остановимся на одном частном случае — именно, на вопросе об устойчивости равновесия материальной системы в этом случае невозмущенное движение соответствует тривиальному реигению [c.428]

Математический критерий, дающий простое достаточное условие устойчивости равновесия материальной системы, был впервые указан Лагранжем (1788 г.) приведенное им недостаточно строгое доказательство уточнил Г. Лежен-Дирихле (1846 г.) ) теорема Лагранжа — Дирихле такова [c.429]

Наиболее общий признак равновесия материальной системы формулируется началом возможных перемещений (принцип Лагранжа), В рассматриваемом случае все действующие силы (силы упругости и силы тяжести) обладают потенциальной функцией и принцип Лагранжа может быть выражен следующим образом необходимым и достаточным условием равновесия служит равенство нулю приращения потенциальной функции всех действующих сил (и внешних и внутренних) при любых возможных отклонениях от рассматриваемого положения. Характер равновесия (устойчивое или неустойчивое) исследуется с помощью принципа Дирихле в устойчивом состоянии [c.765]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

В этой главе рассматриваются, главным образом, движения материальной системы в малой области, к внутренним точкам которой принадлежит начало координат. Предположим, что начало кординат совпадает с положением устойчивого равновесия системы и что выполняется достаточное условие такого равновесия, а именно наличие минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.228]

Теорема Лежен-Дирихле. — Положения материальной системы, для которых силовая функция движущих сил принимает максимальные значения, представляют собой положения устойчивого равновесия. [c.19]

На основании классической теоремы Лежен-Дирихле (п°283), материальная система находится в устойчивом равновесии во всяком положении, в котором силовая функция (в предположении, что она существует) имеет максимум. В рассматриваемом случае работу совершает только сила тяжести, и соответствующая силовая функция проходит через максимум одновременно с направленной вниз вертикальной координатой центра тяжести равновесие будет устойчивым, если при всяком виртуальном перемещении тела центр тяжести поднимается. Мы будем считать очевидным, что равновесие не может быть устойчивым, если имеются виртуальные перемещения, при которых центр тяжести опускается. [c.281]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Мы подчеркивали, что теорема о равновесии для материальной системы (п. 3°, 1) доказана для общего случая материальной системы, имеющей любое число степеней свободы можно ли при этих же условиях считать справедливой и теорему Лагранжа — Дирихле До А. М. Ляпунова все авторы так и поступали — механически распространяли эту теорему, доказанную при конечном числе степеней свободы, на случай бесчисленного множества степеней свободы А. М. Ляпунов, рассматривая устойчивость равновесия твердого тела, плавающего в жидкости, писал по поводу этой теоремы ... мы считаем полезным привести самостоятельное доказательство ее, относящееся к этому случаю, ибо при общем доказательстве ее весьма важное значение имеет предположение, что потенциал зависит от конечного числа переменных, определяющих положение системы, чего не будет в случае, когда система состоит отчасти из жидкости ). [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...